Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матан. М.В.Ишханян

.pdf

Скачиваний:

266

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

21.21.

y =

sin2 21x

tg 4

21cos 42x

21.22.

y = cos (ln13) −

cos2 22x

44 sin 44x

21.23.

y = ln cos

sin2 23x

23cos 46x

cos2 24x

21.24.

y = ctg sin

−

sin 48x

21.25.

y = sin ln 2 +

sin2 25x

25 cos 50x

21.26.y = 3 cos 2 − 1 cos2 26x

52			sin 52x
21.27. y = 7		+	sin2 27x
	tg (cos 2)

27cos 54x

=− cos2 28x

21.28.y sin 3 tg 2

56 sin 56x 21.29. y = cos2 sin 3 + sin2 29x .

29cos 58x

21.30.y = sin3 cos 2 − cos2 30x

60sin 60x

Задание 22

Применяя метод логарифмического дифференцирования, найдите производные функций:

22.1.	y = (arctg x)(1 2) ln(arctg x)					22.4.	y = (arcsin x)ex
	y = (sin		)ln (sin		)
22.2.				x			y = (ln x)3x
22.2.		x		x		22.5.	y = (ln x)3x
22.3.	y = (sin x)5 ex					22.6.	y = xarcsin x
						110

22.7.y = (ctg 3x)2 ex

=tg x

22.8.y xe

22.9.y = (tg x)4 ex

22.10.y = (cos 5x)ex

22.11.y = ( x sin x)8 ln( x sin x)

22.12.y = ( x − 5)cos x

22.13.	y = (x3			+ 4)tg x
22.14.	y = xsin x3
	y =	(		)
22.15.	y =		x2	−1 sin x
22.16.	y = ( x4			+ 5)ctg x
22.17.	y = (sin x)5 x 2
	y =	(		)
22.18.	y =		x2	+ 1 cos x

22.19.y =19x19 x19

22.20.y = x3x ×2x

22.21.y = (sin x )e1 x

= ctg x

22.22. y xe

=cos x

22.23.y xe

22.24.y = x2x ×5x

=sin x

22.25.y xe

22.26.y = (tg x)ln(tg x)4

=arctg x

22.27.y xe

22.28.y = x29x ×29x

22.29.y = (cos 2x)ln(cos 2 x)4

22.30.y = xex x9

Задание 23

Проверьте, что данная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению:

23.1. y = ln	1	, xy¢+1 = ey

1	+ x

23.2. y = C1+ e2 x , ye2 x − (1+ e2 x ) y′ = 0

23.3. y = arcsin x , (1− x2 ) y′ − xy = 1

1 − x2

111

	1				, y′ = ex+ y
23.4.	y = ln
		C - ex
					x2 (1- ln x) y¢¢ + xy¢ - y = 0
23.5.	y = x + ln x ,
23.6.	y = 1 - ln		x	, x − y + xy′ = 0

23.7. y = x2 - x , x2 + y2 − 2xyy′ = 0 23.8. y = (1+ x) e− x - 2 , y′′ − 2 y′ + y = −2

23.9. y = ex + e− x , xy′′ + 2 y′ − xy = 0 x

23.10.y = x ln 2 x , y′x = x + y

23.11.y = xe2x+1 , y¢x = y (ln y - ln x)

23.12.	y = ln (3 + ex ) , y′ = ex− y
	π	− arctgx ,	(1+ x2 ) y¢ + y = 0
23.13.	y = e 4

23.14.y = arccos e4x , ln cos y + xy′tgy = 0

23.15.2x - 2 y = 3 , y′ = 2x− y

	32
23.16.	y = ln tgex , y′ = ex+ y + ex− y
23.17.	y = x arcsin x , xy¢ - y = xtg	y
23.17.	y = x arcsin x , xy¢ - y = xtg	x
		x

23.18.y = Ce1− x2 , xy + 1- x2 × y¢ = 0

23.19.

y = tgx −1+ e−tgx , y′cos2 x + y = tgx

23.20.

y = x sin x ,

xy′ − y = x2 cos x

23.21.

y =

x2e− x2

, y′ + 2xy = xe−x2

23.22.

y =

x cos x

y′ cos x + y = 1 − sin x

1 + sin x

23.23.

y =

4 ( x -1)

y¢ +

y =

23.24.y = arctgx −1+ e−arctgx , (1+ x2 ) y′ + y = arctgx

112

23.25.

y =

x2 ln x , y¢ -

= x ln x

x ln x

− x

23.26.

, y¢ + y =

y ×e

y = e

y = e−arcsin x + arcsin x −1, y¢

23.27.

1- x2 + y = arcsin x

23.28.y = ( x +1)( x - arctgx) , y − y′ = y2 + xy′

23.29.	y =	1	x4 e−2 x2		, y′ + 4xy = 2xe−x2
		1					y
							y
	4
23.30.	y = -			1		, y¢ = y ( y3 cos x + tgx)
23.30.	y = -					, y¢ = y ( y3 cos x + tgx)
			cos x	× 3 3tgx

5.4.Производные высших порядков


Производную от производной f ¢( x)		называют второй произ-
водной от функции f(x) и обозначают		f ¢¢( x) : f ¢¢( x) = ( f ¢( x))′ .
Производную от	f ¢¢( x) называют третьей производной функции
f(x) и обозначают f ¢¢¢( x) . Таким образом,
f ¢¢( x) = ( f ¢( x))′ ,	f ¢¢¢( x) = ( f ¢¢( x))′ , . . . , f (n) ( x) = ( f (n −1) ( x))′ , . . .

Общепринятыми являются и другие обозначения производ-

ной n-го порядка функции y = f(x):

d n y

или

d n f ( x)

dxn

Пример 19 Найти y′′, y′′′ , если y = ln (sin x) .

Решение

¢ ¢

y¢¢ = (ln (sin x))

(ln (sin x))

cos x

= (ctgx)¢ = -

;

sin

sin x

113

² ¢

′

−2

y¢¢¢ = (ln (sin x))¢¢¢ =

(ln (sin x ))

= -((sin x)

) =

sin

= -(-2)(sin x )−3 cos x =

2 cos x

sin3 x

Задачи

Найти производные второго порядка:

143. y = tgx

145. y =

arctgx

1+ x2

144. y = 1 x5 (5 ln x −1) 5

Найти производные третьего порядка:

146. y = x ln x	148. y = xe−x
147. y = arcsin x

Задачи для самостоятельного решения

Задание 24

Найти производную второго порядка:

24.1.y = ln tgx

24.2.y = ln sin (2x + 5)

24.3.y = ln ctg 2 x

24.4.y = 2x2

24.5.y = sin3 x

24.6.y = ln (x2 + 5)

24.7.y = ln tg x

24.8.y = 1− 3x2

24.9.y = e 2 x (2x -1)

24.10.y = sin2 x

24.11.y = cos3 x

24.12.y = 2x2 +1

24.13.y = ln ctg x

114

24.14.y = tg 3

24.15.y = arcsin 2x

24.16.y = arctg 3x

24.17.y = ctg 1

24.18.y = ctg x

24.19.	y =	1

		sin 2x
		sin 2x
24.20.	y =	1

cos 3x

24.23.y = ln cos x

24.24.y = arccos x

24.25.y = arcctg 2x

24.26.y = tg 2 x

24.27.y = ctg 3 x

24.28.y = arctge2x

24.29.y = 3x3

	1
24.30.	y = e		.
		x2

24.21.y = ln cos 2 x

24.22.y = cos 2

5.5.Производная функции, заданной параметрически

Производная первого порядка

Пусть даны две функции x = x(t ) и y = y(t ) одной независи-

мой переменной t , определенные и непрерывные на некотором промежутке. Предположим теперь, что функции x = x(t ) и

y = y(t ) имеют производные, причем x(t ) ¹ 0 на этом промежутке. Тогда y можно рассматривать как функцию, зависящую от

переменной x посредством переменной t , называемой параметром. В этом случае говорят, что функция y от x задана пара-

метрически.

Производная функции y по переменной x вычисляется по формуле

115

y′	(t) =	yt′(t)	.

x		xt′(t)

Производная второго порядка

Вторая производная функции y , заданной параметрически, по переменной x находится по следующей формуле:

y′′ (t) =

′′(t)x′(t) − x′′(t) y′(t)

( xt′(t))3

Пример 20 Найти

y′

(t)

и y ′′

(t ) функции,

заданной параметри-

чески:

1 − t

x =

t (−1; 0) (0; 1).

y = 1 / t,

Решение Находим производные xt′(t)

и yt′(t)

′

xt′ = ( 1− t2 )

(−2t ) = −

;

1− t2

′

1− t2

y′

= −

;

Таким образом, в точках, в которых xt′(t ) ¹ 0 , имеем

y′

= −

−

1− t

;

xt′

1− t

y ′′ (t ) вычислим

Для

нахождения

производной

производные

x′′

(t), y′′(t) :

− t (

)′

t 2

′

1 − t 2

1 − t2

1 − t 2

′′

′

1 − t

xtt

(t) =

( xt

)

−

= −

1− t

1 − t

1− t

= −

(

− t 2

)

116

y′′ =	−	1		′	=	2
							3
tt		t	2			t

Подставляя найденные производные в формулу , получаем:

y′′

(t) =

y′′(t)x′

(t) − x′′

(t) y′(t)

( xt′(t))3

−

t 2 1− t 2

(

)

1− t

−

1− t2

2						t									1							1
			−						+												−
		3																					2
		3											(					)					2
		t			1− t2								(		− t		2	)	3			t
		t			1− t2								1				2		3			t
=													1											=
=												t				3								=
												t				3
						−

										1− t2
										1− t2
−	(2 (1− t 2 ) +1)
	(2 (1− t 2 ) +1)									(1− t 2 )3								=		3 − 2t 2
													)					=
			t2		(	− t2	)	3	(		−t		)	3							t5
			t2	1		− t2		3			−t			3							t5

Задачи

Найти y′ (t)

149.

150.

151.

152.

153.

154.

и y ′′ (t )

x(t)

функции, заданной параметрически:

=3 cos t, y(t) = −2 sin t

=t 2 , y(t) = t3 − t

=e2t , y(t) = e3t

=t2 , y(t) = t3 + t

=4cos3 t, y(t) = 4sin3 t

=	1− t	, y(t) =	t (1− t )
	(t +1)2		(t +1)2

155.	x(t) =	t		, y(t) =	t 2
		t 2 +1			t 2 +1

Задачи для самостоятельного решения

Задание 25

Найти y′ (t)

функции, заданной параметрически:

117

25.1.x = 2t ,y = 3t − t3 .

x = cos3 t,

y = sin3 t.

25.3.x = 2t3 + t,

y = ln t.

25.4.x = 7(t − sin t),

y = 7(1 − cos t).− t 2

x = 2t − t3 ,
25.5.
y = 2t2 .

		t 2 −1
25.6. x = ln
		4

y = sin t
x = arctg t
25.7.
y = t2 +1
		sin t −1

x = ln
		2
25.8.


y = arcsin t
x = ln t
25.9.			1
y =
y =	t	2	− 5
	t		− 5

25.10. x = e2t

y = ln sin t

25.11. x = ln(1 + t 2 )

y = t − arctgt

25.12.x sin t

y = et cos t= e−t

25.13.x = ln t

y = t 2 − sin t

25.14.x = ln t + sin t

y = t 2 cos t

25.15.x = ln(1+ t2 )

y = tarcctg t

25.16.x = sin t + cos t

y = 2t

25.17.x = t2 cos ty = t 2 sin t

25.18.x = cos t + t sin ty = sin t − t cos t

x = sin t cos2 t

25.19.

y = − cos3 t

x = sin3 t 25.20.

y = cos3 t

x = t +1t4

25.21.

y = 4 + 1t2 3t

25.22.x = et cos ty = e−t sin t

x = sin t + t

y = t3 +1x = 3 t

y = arctgt

118

F(x, y) = 0. Это

25.25.x = ln3 t

y = sin(t +1)

25.26.x = ln(cos t + 1)

y = sin t + t

x = arccos t

y = 1− t 2

25.28.x = arcctgt

y = ln(1+ t2 )

25.29.x = tg t +1

y = sin2 (t − 4)

25.30.x = ctgt

y = t cos t + sin t

5.6.Производная функции, заданной неявно

Пусть функция y = f (x) задана уравнением

означает, что F(x, f (x)) ≡ 0 на некотором интервале. Тогда функция y = f (x) называется неявно заданной функцией.


Для нахождения производной функции y = f ( x) ,			заданной
неявно, следует продифференцировать обе части			равенства
F(x, y) = 0, считая y функцией от	x . Затем полученное урав-
нение, в которое будут входить x,	y	и y′ , следует разрешить
относительно y ′ . Для нахождения	y ′′	равенство (2) дифферен-

цируется дважды, в результате чего получается уравнение, со-


держащее x, y , y ′ , y ′′ ,	которое следует разрешить относи-
тельно y ′′ , затем вместо y ′	подставить функцию от x и y , най-
денную указанным выше способом.
Пример 21 Найти значения y ′ ,		y ′′ , если функция y задана не-
явно уравнением x2 + y2 = 5xy3 .
Решение Пусть y = f ( x) , тогда		x2 + ( f (x))2 = 5x ( f (x))3 .

Продифференцируем обе части данного равенства: (x2 + ( f (x))2 )′ = (5x ( f (x))3 )′

119

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1112 / 1812 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.201523.18 Кб63Маржинальный анализ.docx
#
09.06.201550.34 Кб8Маркетинг лекции.docx
#
28.03.20162.5 Mб14Мастер редактирования фото и изображений.pdf
#
09.06.2015782.85 Кб32Мат.+ТКМ+Св.doc
#
09.06.2015150.17 Кб22мат.pdf
#
09.06.20151.39 Mб266Матан. М.В.Ишханян.pdf
#
09.06.2015781.97 Кб20матан.pdf
#
28.03.2016322.44 Кб19Математика КР4,5.pdf
#
19.11.20191.02 Mб5Математика новая.doc
#
09.06.20151.98 Mб285Математика ответы на билеты(1курс).docx
#
09.06.20151.05 Mб12Математика работа 1.pdf