Матан. М.В.Ишханян

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Представим функцию y = xx в виде y = ex ln x .

y¢ = (ex ln x )¢ = ex ln x ×( x ln x)¢ = ex ln x × 1

×ln x + x ×

= ex ln x (ln x +1).

y¢ = (ex ln x )¢ = ex ln x ×( x ln x)¢ = ex ln x × 1

×ln x + x ×

= ex ln x (ln x +1).

.pdf

Скачиваний:

266

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

1 - x

2 3

arccos(x2

)

32x log5

ctg

3− x

y¢ =

1 + x

3ln 3 × x(2 - x) × 3

)

2 1 - x

(3 - x)

3 - x

1 - x

ln 5 × (1 + x2 )2 sin

(

1 + x2

Пример 14 Показать,

что функция

y =

2ln

1 + ex

удовле-

(

)

y¢

творяет уравнению 1

Решение Найдём производную функции

′

−

1 + ex

y¢ =

2 ln

1 + ex

2ln

1 + e

(1 + ex )

2ln

Подставив это выражение в уравнение, получим

(1 + ex ) 2 ln

1 + ex

+1 ×

= ex , или

= ex .

(1 + ex )

1 + e

2 ln

Это доказывает, что наша функция удовлетворяет уравнению.

5.3. Производная степенно-показательной функции

Для вычисления производной функции вида f (x)g ( x) суще-

ствуют два способа.

Способ 1. Так как в соответствии с основным логарифмическим тождеством f (x) = eln f ( x) , то функцию f (x)g ( x) можно представить в следующем виде

100

f (x)g ( x ) = (eln f ( x ) )g ( x ) = eg ( x ) ln f ( x )

Таким образом, нахождение производной сводится к дифференцированию сложной функции eg ( x) ln f ( x) .

Пример 15 Найти производную функции y = xx .

Решение Данная функция не является ни функцией вида xn , ни

функцией вида ax , поэтому будет ошибкой вычислять производной данной функций одним из следующих способов:

(xx )¢ = x × xx−1 , (xx ) = xx ×ln x .

Пример 16 Найти производную функции y = (sin x )ln x .

Решение

y¢ = ((sin x)ln x )¢ = (eln x ln sin x )¢ = eln x ln sin x ×(ln x × ln sin x)¢ =

=(sin x)ln x ×(ln x × ln sin x)¢ =

=(sin x)ln x ×((ln x)¢ ln sin x + ln x (ln sin x)¢ )=

= (sin x)

ln x

×(sin x)¢

ln sin x + ln x ×

sin x

= (sin x)

ln x

ln sin x

cos x

+ ln x ×

sin x

Способ 2. Данный способ связан с так называемой логарифмической производной функции, т.е. производной от логарифма

этой функции: (ln f (x))¢ = f ′(x) f ¢(x) = f (x) ×(ln f (x))¢ .

f(x)

101

В частности, ( f (x)g ( x) )¢ = f (x)g ( x ) ×( g(x) ×ln f (x))¢ .

Пример 17 Найти производную функции y = ( x +1)arctgx . Решение Предварительно прологарифмируем обе части равенства y = ( x +1)arctgx , имеем ln y = (arctgx) ln ( x +1) . Продифференцируем обе части последнего равенства:

(ln y )¢ =

ln ( x +1) +

arctgx

;

+ x2

ln ( x +1)

x +1

arctgx

Так как y¢ = y ×(ln y )¢ , то y¢ = y

x +1

1+ x

Подставив y = ( x +1)arctgx , получим

y¢ = ( x +1)

arctgx ln ( x +1)

arctgx

1+ x

x +1

Пример 18 Найти производную функции

xsin x × 3

×cos2 x

y =

x -1

(1+ x2 )

( x + 2)3

Решение Действуя так же, находим

ln y = sin x × ln x +

ln ( x -1) + 2ln

cos x

- ln (1 + x2 ) -

x + 2

;

2(-sin x)

× y¢ = cos x × ln x +

sin x

;

3( x -1)

cos x

1 + x2

2( x + 2)

sin x

y¢ = y cos x × ln x +

2tgx -

3( x -1)

1 + x2

2( x + 2)

102

xsin x × 3

x -1

× cos2

× ln x +

sin x

cos x

3( x -1)

(1 + x

) ( x +

- 2tgx -

1 + x2

2( x + 2)

Задачи

113. Найти по определению производные функций:

а) y = x2 ; б) y = x4 ; в)

y =

; г)

y =

; д) y = cos

;

е) y =

y =

; ж)

1+ x2

; з)

y = x × sin x .

3x + 4

Найти производную функции:

114.y = x4 + 3x2 − 2x +1

115.y = 7x7 + 3x2 − 4x +1

116.y = 3 x + 4 cos x − 2tgx + 3

117.y = 4x2 + sin x + ln x + 1

118.y = x × sin x

119.y = ln tg 2x +1

120.y = sin 2x − cos2 x

121.y = 3x + cos 3x

122.y = ln (x + x2 − 3 )

123.y = 3cos2 x

124. y =	1	arctg	x

2			2

103


125.	y =	1			arcsin	x	3

	6		2		8
126.	y = ln			x2
			1− x2

127.y = ln (3x2 + 9x4 + 1)

128.y = 12 (x1− x2 + arcsin x)

129.y = 1 ex2 (sin 2x + cos 2x)


		2x			1
130.	y =			ln x −
130.	y =			ln x −
		ln 2			x
131.	y = tg 3			x
131.	y = tg 3		3
			3

132.y = 23x2 + ln sin x

133.y = xe x

134.y = ln sin(3x + 2)

135.	y =	e− x2						137. y = ln arc tg	1+ x2
		x	− 3

136.	y = arcsin
						2x +1

138.	y = 3			5		3
			ln		sin		x

						5

Указание. В примерах 24. – 27. прежде чем вычислять производную, целесообразно выполнить логарифмирование.

139.y = (3x2 + 3x − 1)x

140.y = (x +1)ln x

142.y = (x2 −1)3 arcsin x

x4 (3x + 2)

Задачи для самостоятельного решения

Задание 17

Исходя из определения производной (не пользуясь формулами дифференцирования), найти производную функции:

17.1	y = 2x3 + 5x2 − 7x − 4
17.2	y = − ctg x − x
	y = 3
17.3	y = 3			x2
17.4	y = 5(tg x − x)
17.5	y =
17.5	y =			x
17.6	y =	1
17.6	y =		x3
			x3
17.7	y =				1

			ex + 1
			ex + 1

17.8	y =		1
		x2	+ x − 6

17.9y = 3x2 + 3x − 5

17.10y = sin 3x − x

17.11y = x + cos 2x

17.12y = 1− x

1+ x

17.13y = x −1

104

17.14

y =

17.23

y =

− 2)2

x + 3

y =

17.15

y =

3 (x + 1)2

17.24

sin x

17.16

y =

− 2x

17.25

y =

cos x

y = 3

17.17

y = tg 2x − 5

17.26

x2 −1

17.18

y =

4x +1

17.27

y =

17.19

y = 3 + ctg 2x

3 − x

17.20

y =

17.28

y =

x2 + 3

+ 4

+ 1

17.29

y = 2x − cos 3x

17.21

y = x + 3x2 −

17.30

y =

x2 − 1

y = 33

+ 4

17.22

Задание 18

Найти производную:

18.1.

y = 3x2 + 3

x −

+ 3

18.9.

y = 3x12 + 4 3 x7

−

+ 4 10

y = 4x5 − 4

− 3

y = 7x3 +

18.2.

18.10.

x + 3

2x2

18.3.

y = x10 − 2

x −

+ 4 2

18.11.

y = 5x7 + 6

−

+ 3 3

18.4.

y = 7x4 − 7

−

18.12.

y = 4x9 − 7

− 7

18.5.

y = 8x3 − 35

−

+ 3

18.13.

y = 9x5 − 7 3

− 2 4

18.6.

y = x10 − 33

x7 +

− 3 10

18.14.

y = −7x3 + 2 5

− 3

3 4

18.7.

y = 10x5 −

18.15.

y = −5x4 − 34

− 5

4x4

18.8.

y = 7x5 − 2 3

105

18.16.	y = −3x6 + 54											−				2				− 5							18.23.		y = 7x8 − 64					x				+ 7
									x3
																									6
																x7									6																			1
																x7
															7												18.24.		y = 4x17 + 4 5						x8					−						+ 4 19
	y = −6x			−				9				−							+																									9
			8							5														8																				9
18.17.			8			4			x	5													3	8		3																		x
18.17.						4			x						x6								3			3			y = 3x7 +		1					+
																											18.25.																2x + 3
	y = 8x		−						+			6				−																																5
18.18.				5																											3x			4
		3						6													9
							x											4					5

											x9																	18.26.	y = x15 − 35										+			6			−
																																	x2
															3																																34
									6																																	5
				4								7														3																5
18.19.	y = −12x			4	+ 2					x		7		−									+	7		3	2															x
18.19.	y = −12x				+ 2					x				−			x7						+	7			2		y = 7 x5 −			1			+
																	x7										18.27.													3
															4
18.20.	y = −4x			+ 3				7				+								−												2x
			7						x	3													2	5		3
			7							3														5
															x3												18.28.		y = 5x7 − 35								+
											1				x3												18.28.		y = 5x7 − 35					x			+			7
18.21.	y = x7 − 34								+							− 3
							x7
																						13
																						13
											x5
18.22.	y = 12x6 −					2
18.22.	y = 12x6 −					3x3
						3x3
															1														1


18.29.	y = 7x19 + 2 3 x5										−							+					5 16				18.30.		y = x7 +					+							x2 + 3 5
18.29.	y = 7x19 + 2 3 x5										−		x7					+					5 16				18.30.		y = x7 +	9x3				+							x2 + 3 5

Задание 19

Найти производную:

		1									19.9.	y = 5
19.1.	y = (	1			+ 2)tgx						19.9.	y = 5	x sin x
19.1.	y = (				+ 2)tgx							y = 4x arctgx
19.2.	y = (		x	− 4) cos x							19.10.	y = 4x arctgx
19.2.	y = (		x	− 4) cos x							19.11.	y = arccos x ctgx
	y = 3										19.11.	y = arccos x ctgx
19.3.	y = 3	x2		tgx							19.12.	y = sin x arcsin x
19.4.	y = 5x (1 −						6		)		19.13.	y = arcctgx log3 x

						13 x8
											19.14.	y = 5
											19.14.	y = 5	x log2 x
19.5.	y = 2x arctg4x										19.15.	y = sin x log 7 x
								6			19.15.	y = sin x log 7 x
19.6.	y = cos x(1 +							6		)	19.16.	y = ex arcctgx
19.6.	y = cos x(1 +									)	19.16.	y = ex arcctgx
									x3		19.17.	y = exctgx
19.7.	y = (		x3 − 7)tgx								19.17.	y = exctgx
											19.18.	y =
													x cos x
19.8.	y = 2cos x(x2 −1)												x cos x
19.8.	y = 2cos x(x2 −1)
											106

19.19.	y = 6x arctgx							19.25.	y = ex arcsin x
19.20.	y = ( 3						+1)arctgx	19.26.	y = xarctgx
				x
	y = (x3 +1)sin x							19.27.	y =		sin x
19.21.										x
19.22.	y = (					− 4) sin x		19.28.	y = sin x ×arctg x
				x
19.23.	y = 3							19.29.	y = 2x tgx
			x cos x
19.24.	y =	1			sin x			19.30.	y = 3x ctgx

	3		x

Задание 20

Найти производную:

20.1.

y =

2(3x3 + 4

x2 −

x − 2)

15 1+ x

y = (2x2 −1)

20.2.

1+ x2

3x3

20.3.

y =

x4 − 8x2

2(x2 − 4)

20.4.

y =

2x2

− x −1

2 + 4x

y =

(1 + x8 )

20.5.

1 + x8

12x12

20.6.

y =

1− 3x4

y = ( x2 − 6)

20.7.

(4 + x2 )3

120x5

y = (x2 − 8)

20.8.

x2 − 8

6x3

20.9.	y =				4 + 3x3

			x 3			(2 + x3 )2
			x 3			(2 + x3 )2

				1+ x3 4			)	2
20.10.	y =	3 (					)
20.10.	y =					x3 2
						x3 2
20.11.	y =	x6			+ x3 −		2

					1 − x3
					1 − x3

20.12. y = (x2 − 2)4 + x2

24x3

20.13.

y =

1 + x2

1 + 2x2

(3x + 2)

20.14.

y =

x −1

4x2

1 + x2

)

20.15.

y =

(

3x3

20.16.

y =

x6 +

8x3 −

128

8 − x3

( x − 2)

20.17.

y =

2x + 3

107

20.18. y = (1 - x2 ) 5 x3 + 1

20.19. y = (2x2 + 3) x2 - 3 9x3

20.20.	y =	x -1
		(x2 + 5)
			x2 + 5

20.21.y = (2 x + 1) x2 − x

20.22.	y = 2		1-	x

	1+			x
20.23.	y =			1

		( x + 2)
					x2 + 4x + 5

20.24.y = 3 3 x2 + x + 1

x+ 1


20.25.	y =	3× 3	( x +1)
20.25.	y =	3× 3	( x -1)2
20.26.	y =		x + 7
20.26.	y =

6 x2 + 2x + 7

20.27.y = x x +1

x2 + x +1

20.28.	y =	x2	+ 2

		2 1	− x4

20.29.y = ( x + 3) 2x −1

+72x

20.30. y = 3x + x x2 + 2

Задание 21

Найти производную:

=+ 1 sin2 3x

21.1.y sin 3

3 cos 6x

=- 1 cos2 3x

21.2.y cos ln 2

3 sin 6x

21.3.y = tg lg 1 + 1 sin2 4x

34 cos 8x

21.4.y = ctg 35 - 1 cos2 4x

8 sin 8x

= cos sin 5 ×sin2 2x

21.5. y

2 cos 4x

= sin cos 3×cos2 2x

21.6. y

4 sin 4x

108

21.7.	y =	cos ln 7 ×sin2 7x
21.7.	y =
			7 cos14x
21.8.	y = cos (ctg 2) -											1						cos2 8x
21.8.	y = cos (ctg 2) -
											16 sin16x
21.9.	y = ctg (cos 2) +												1			sin2 6x
21.9.	y = ctg (cos 2) +												6 cos12x
													6 cos12x
21.10.	y = 3				-		1			cos2 10x
			ctg 2				1			cos2 10x
			ctg 2				20 sin 20x
							20 sin 20x
21.11.	y =	1						1		+						1 sin2			10x
			cos tg																	.
			cos tg																	.
		3						2							10 cos 20x
21.12.	y = ln sin			1		-			1				cos2 12x
21.12.	y = ln sin					-			24 sin 24x
			2						24 sin 24x
21.13.	y = 8sin (ctg 3) +													1			sin2 5x
21.13.	y = 8sin (ctg 3) +													5 cos10x
														5 cos10x

21.14.y = cos (ctg 3) × cos2 14x

28sin 28x

cos tg

×sin

15x

21.15.

y =

15 cos 30x

sin tg

×cos

16x

21.16.

y =

32 sin 32x

ctg sin

×sin

17x

21.17.

y =

17cos 34x

21.18.y = 5ctg 2 ×cos2 18x

36 sin 36x

21.19.y = tg (ln 2) ×sin2 19x

19 cos 38x
21.20. y = ctg (cos 5) -	1		cos2 20x
21.20. y = ctg (cos 5) -			sin 40x
40			sin 40x
		109

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011 / 1811 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.201523.18 Кб63Маржинальный анализ.docx
#
09.06.201550.34 Кб8Маркетинг лекции.docx
#
28.03.20162.5 Mб14Мастер редактирования фото и изображений.pdf
#
09.06.2015782.85 Кб32Мат.+ТКМ+Св.doc
#
09.06.2015150.17 Кб22мат.pdf
#
09.06.20151.39 Mб266Матан. М.В.Ишханян.pdf
#
09.06.2015781.97 Кб20матан.pdf
#
28.03.2016322.44 Кб19Математика КР4,5.pdf
#
19.11.20191.02 Mб5Математика новая.doc
#
09.06.20151.98 Mб285Математика ответы на билеты(1курс).docx
#
09.06.20151.05 Mб12Математика работа 1.pdf