Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный университет путей сообщения

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Матан. М.В.Ишханян

.pdf

Скачиваний:

266

Добавлен:

09.06.2015

Размер:

1.39 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Пример 15 Используя элементарные преобразования, построить эскиз графика функции y = arcsin(2x)

Решение Воспользуемся правилом построения графика

функции y = f (kx) . Построим график функции		y1 = arcsin(x)	и
сожмем его	вдоль оси Ox относительно	оси Oy в	2

раза.(см.рис.1.13)

Рис. 1.13.

Пример 16 Используя элементарные преобразования, построить эскиз графика функции y = arctg(0.5x)

Решение Воспользуемся правилом построения графика

функции y = f (kx) . Построим график функции		y1 = arc tg(x)	и
растянем его	вдоль оси Ox относительно	оси Oy в	2

раза.(см.рис.1.14)

Рис. 1.14.

1.9.Построение графиков функций с помощью элементарных преобразований

Построение	графика функции y = cf (ax + b) + d сводится к
ряду преобразований графика функции y = f (x) .
		b
Представим функцию y в виде y = cf a x +			+ d . Из такого
Представим функцию y в виде y = cf a x +			+ d . Из такого
		a
представления	y видно, что для построения графика этой функ-
ции достаточно построить график функции y		= cf	a	x +	b	.
ции достаточно построить график функции y		= cf	a	x +		.
	1
					a
	31

Для построения графика функции								y1 достаточно построить
график функции	y	= f	a	x +		b	.	В свою очередь для по-

	2
						a
строения графика	функции				y2 достаточно построить график

функции y3 = f (ax) .

Итак, для построения графика функции y = cf a x +	b	+ d

	a

необходимо с графиком функции y = f (x) произвести следую-

щие преобразования:

y = f (x)

Сжать или растянуть график функции

вдоль

оси

Ox , если a > 0 ; симметрично отобразить относи-

тельно оси Oy и сжать или растянуть вдоль оси Ox , ес-

ли a < 0 .

Сдвинуть по оси Ox полученный график функции

f (ax)

> 0 и вправо, если

< 0 .

на

единиц : влево, если

Сжать

или

растянуть полученный график

функции

f a x +

вдоль оси Oy , если c > 0 ; симметрично

отобразить относительно оси Oy и сжать или растянуть

вдоль оси Ox , если c < 0 .

Сдвинуть полученный график функции

cf a x +

на

d единиц вверх, если

d > 0 , и вниз на

единиц, если

d < 0 .

Последовательность

этих

преобразований

при построении

графика функции

y = cf

a x +

+ d можно представить сим-

волически в виде цепочки

					b
	f (x) → f (ax) → f a x +						≡
	f (x) → f (ax) → f a x +						≡
					a
		≡ f (ax + b) → cf (ax + b) → cf (ax + b) + d
На практике удобно начинать построение графика функции
		b
y = cf a x +			+ d с написания цепочки
y = cf a x +			+ d с написания цепочки
		a
	cf (ax + b) + d ← cf (ax + b) ← f (ax + b) ≡
				b
			≡ f a x +			← f (ax) ← f (x)
			≡ f a x +			← f (ax) ← f (x)
				a

Пример 17

Используя

элементарные преобразования, по-

строить эскиз графика функции y =

sin

3x +

+ 1 .

Решение Напишем цепочку преобразований:

y =

sin

+ 1

←

sin

3x +

← sin 3x +

≡

≡ sin 3 x

← sin 3x ← sin x

Итак, построение графика функции

y =

sin

3x +

+ 1 начина-

ется с построения графика функции

y1 = sin(x) , затем сжатия

полученного графика в 3 раза вдоль оси Ox ,

сдвига графика

функции

= sin(3x) на

влево

вдоль

оси Ox ,

растяжения

π в 2 раза вдоль оси Oy и сдви-

графика функции y

= sin 3x +

гом его на 1 единицу вверх по осиOy (см. рис.1.15).

Рис. 1.15.

Пример 18 Используя элементарные преобразования, построить эскиз графика функции y = log3 (2x + 3) .

Решение Напишем цепочку преобразований:

y =

log3 (2x + 3)

← log3

(2x + 3) ≡ log3

x +

← log3 (2x) ← log3

(x)

Итак, построение графика функции

y =

log3 (2x + 3)

начинается

с построения графика функции y1 = log3 (x) , затем сжатия полученного графика в 2 раза вдоль оси Ox , сдвига графика функ-

ции y2 = log3 (2x) на 3/2 влево вдоль оси Ox , и симметричного

отображения части графика, расположенной ниже осиOx наверх

(см. рис. 1.16).

Рис. 1.16.

1.10. График дробно-линейной функции

Дробно-линейной называется функция вида

y = ax + b ,c ¹ 0 cx + d

Если числитель и знаменатель дробно-линейной функции имеют общий множитель x − α , то функция всюду, кроме точки x = -d / c , есть постоянная a / c и график ее имеет вид, изображенный на рис.1.17.

Рис. 1.17.

Если же рассматриваемая дробь несократима (т.е. bc ¹ ad ), то имеют место следующие преобразования

ax + b

bc − ad

cx + d c

x +

Итак, график дробно-линейной функции –

гипербола y = k / x ,

сдвинутая по осиOx на | d / c | единиц вправо или влево в зависимости от знака d / c и по оси Oy на | a / c | единиц вверх или

вниз в зависимости от знака a / c . Таким образом, чтобы построить эскиз графика дробно-линейной функции, достаточно знать ее асимптоты и расположение относительно них одной из ветви гиперболы.

Асимптотами являются прямые x = −	d	и y =	a	, а положение
	c		c

одной из ветви определяется точкой пересечения гиперболы с осью абсцисс или осью ординат.

Пример 19 Построить эскиз графика функции y = 3x + 1 . 5x + 2


Решение Асимптотами являются прямые x = −	2	, y =		3	.
5			5
Точкой пересечения гиперболы с осью ординат есть			точка

A(0, 1 ) . Эскиз графика функции изображен на рис.1.18. 2

Рис. 1.18.

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2

Используя элементарные преобразования, построить эскизы графиков функций:

			π		1		π
2.1.	y = 2sin	x −		2.2. y =		cos x +
2.1.	y = 2sin	x −		2.2. y =		cos x +
			6		2		3
				37

	1	π
2.3. y =		sin		− x
2.3. y =		sin		− x
	3		3

2.4.y = 2cos π − x

2.5.y = tg 2x + π

	2π
2.6.	y = tg		− 2x

		3

2.7.y = 3cos π − x

2.8.y = cos 2x + π

2.9.y = − sin 2x + π

2.10.y = sin 3x + π

2.11.y = 2cos 3x − π

2.12.y = 4cos 2x − π

2.13.y = cos 2x + π

2.14.y = 4sin π − 2x

2.15.y = cos 2x + 2π

2.16.y = sin x − π

2.17.y = ctg 2x + π

2.18.y = −2cos x + π

2.19.y = 2cos − x + π

2 3

2.20.y = 1 + ctg x

2.21.y = 1 − sin 3x − π

2.22.y = 1 − sin x + π

2 3

2.23.y = 1 ctg x − π

2 4

2.24.y = 2 cos x + π

2.25.y = 2cos 3x − π

2.26.y = cos 2x + π

2.27.y = −tg 2x + π

2.28.y = − 3ctg x + π

2 6

2.29.y = 2cos − x + π

2 3

2.30.y = − sin 2x + π

Используя элементарные графиков функций:

3.1.y = 3x + 7

x+ 1

3.2.y = 2x + 1

x−1

3.3.y = 2 − 3x 2 − x

3.4.y = x −1

x− 3

3.5.y = 2 − 3x 2 + x

3.6.y = 4 x −1

x−1

3.7.y = 2 x + 3

x+ 3

3.8.y = x − 2

x+ 2

3.9.y = 3x + 7

x+ 1

3.10.y = 4x + 6

x+ 3

3.11.y = 2x + 1

x−1

3.12.y = 6 − 4x

x−1

Задание 3

преобразования, построить эскизы

3.13.y = 3 x −11

x− 2

3.14.y = 3 x + 7

x+ 1

3.15.y = 8 − x

x− 2

3.16.y = 5 − 3x

x−1

3.17.y = 2 − 3x − x2

3.18.y = 2x + 3

x+ 3

3.19.y = x − 2

x+ 2

=3x −11

3.20.y

x− 2

3.21.y = 4x −1

x−1

3.22.y = 5 − 3x

x−1

3.23.y = 7x + 5

+65x

3.24. y = 4 − x 5 + 2x

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 184 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
09.06.201523.18 Кб63Маржинальный анализ.docx
#
09.06.201550.34 Кб8Маркетинг лекции.docx
#
28.03.20162.5 Mб14Мастер редактирования фото и изображений.pdf
#
09.06.2015782.85 Кб32Мат.+ТКМ+Св.doc
#
09.06.2015150.17 Кб22мат.pdf
#
09.06.20151.39 Mб266Матан. М.В.Ишханян.pdf
#
09.06.2015781.97 Кб20матан.pdf
#
28.03.2016322.44 Кб19Математика КР4,5.pdf
#
19.11.20191.02 Mб5Математика новая.doc
#
09.06.20151.98 Mб285Математика ответы на билеты(1курс).docx
#
09.06.20151.05 Mб12Математика работа 1.pdf