Матан. М.В.Ишханян
.pdf
x - 2 ³ 0 |
x ³ 2 |
||
|
- x |
³ 0 |
Û |
4 |
x £ 4 |
||
Таким образом, область определения функции D( y) = [2; 4] .
Пример 5 Найти область определения y = lg (x2 - 9) .
Решение Выражение lg(x2 - 9) имеет смысл при x2 - 9 > 0 .
Решая это неравенство, получим, что x Î(-¥; -3) (3; +¥) . Таким образом, D( y) = (-¥; -3) (3; +¥) .
Пример 6 Найти область определения функции
y = arcsin 2x . 1 + x
Решение Область определения функции y = arcsin x определяется неравенством: x £1 (или −1 ≤ x ≤ 1 ). Следовательно, нахождение области определения сводится к решению неравенст-
ва |
|
2x |
|
£1 . Решая это неравенство, найдем, что область опре- |
|||||
1 + x |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
деления функции |
D( y) = |
- |
|
;1 . |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
Пример 7 Найти область определения функции y = lg (sin (lg x)) .
Решение Так как область определения функции y = lg x определяется неравенством x > 0 , то область определения функции y = lg (sin (lg x)) определяется системой неравенств:
20
sin(lg x) > 0 |
2π n < lg x < π + 2π n, n Î |
Û |
|
|
Û |
> 0 |
|
x > 0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2π n |
|
|
|
|
|
|
|
|
π +2π n |
|
|
Û102π n < x <10π +2π n , n Î |
||||||||
Û |
10 |
|
|
|
< x <10 |
, n Î |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Таким |
|
|
|
образом, |
|
|
область |
|
существования функции |
|||||||||||||||||||
D( y) = (102π n ;10π +2π n ), где n . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Пример 8 Дана функция |
f (x) = x3 × 2x . Найти: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (1), f (2x), |
|
|
, f |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
x |
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
f (1) =13 × 21 = 2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f (2x) = (2x)3 × 2( 2 x) = 23 × x3 × 22 x = 8x3 × 4x |
|
||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
= |
|
|
1 |
|
|
= |
2− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||
|
f (x) |
|
x |
3 |
2 |
x |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
|
|
|
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
f |
|
|
= |
|
|
|
|
2 x |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 9 Исследовать функцию на четность и нечетность:
а) f (x) = x4 - 5 | x | , б) f (x) = ex - 2e− x , в) f (x) = ln |
1 - x |
. |
||||||||||
|
||||||||||||
Решение а) Вычислим f (-x) : |
|
|
|
|
|
1 + x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (-x) = (-x)4 - 5 | -x |= x4 - 5 | x |= f (x) . |
|
|
|
|
|
|
||||||
Следовательно, функция четная. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
б) f (-x) = e− x - 2ex . |
Так как |
f (-x) ¹ f (x) |
и f (-x) ¹ - f (x) , |
|||||||||
то данная функция общего положения. |
|
|
|
|
|
|
||||||
1 - (-x) |
1 + x |
|
1 - x −1 |
1 - x |
|
|
|
|||||
в) f (-x) = ln |
|
= ln |
|
= ln |
|
|
= -ln |
|
|
|
= - f (x) |
|
|
|
|
|
+ x |
|
|||||||
1 + (-x) |
1 - x |
|
1 + x |
1 |
|
|
|
|||||
Следовательно, функция нечетная. 21
Пример 10 Найти наименьший период функции:
а) y = sin 5x , б) y = cos2 5x , в) y = sin 2x + 2sin 3x
Решение а) Пусть T - наименьший период функции. Тогда для всех значений x имеем:
f ( x + T ) = sin (5( x + T )) = sin (5x + 5T ) = sin 5x = f (x)
или
sin (5x + 5T ) = sin 5x sin (5x + 5T ) − sin 5x ≡ 0 2sin 5x + 5T − 5x cos 5x + 5T + 5x ≡ 0
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
5T |
|
5x + |
5T |
≡ 0 |
|
2sin |
|
cos |
|
|
||
|
|
|||||
2 |
|
|
2 |
|
||
Так как последнее равенство должно выполняться для любых
значений x , то sin |
5T |
= 0 |
5T |
= π k , где k . |
T = |
2π k |
, |
|
|
|
|||||
2 |
2 |
|
5 |
|
|||
где k . Отсюда получаем, что наименьший период функции
T = 2π . 5
б) Так как cos2 5x = 1 − cos10x , то наименьший период функ-
|
y = cos2 5x |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||
ции |
совпадает с наименьшим |
|
периодом функции |
|||||||||||
y = cos10x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пусть |
T - наименьший период функции y = cos10x . Тогда |
|||||||||||||
для всех значений x имеем: |
( |
|
) |
|
||||||||||
f |
( |
x + T |
) |
|
( |
( |
x + T |
)) |
|
= cos10x = f (x) |
||||
|
|
= cos 10 |
|
= cos 10x +10T |
|
|||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
cos(10x +10T ) = cos10x cos (10x +10T ) − cos10x ≡ 0 |
|||||||||||||
|
2sin |
10x +10T −10x |
sin |
10x +10T +10x |
≡ 0 |
|||||||||
|
|
2 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2sin 5T cos(10x + 5T ) ≡ 0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22 |
|
|
|
Так как последнее равенство должно выполняться для любых значений x , то sin 5T = 0 5T = π k , где k . Û T = π k , где
k . Отсюда получаем, что наименьший |
5 |
период функции |
|
T = π . |
|
5 |
y = cos10x . Тогда |
в) Пусть T - наименьший период функции |
|
для всех значений x имеем: |
|
f( x + T ) = sin (2( x + T )) + 2sin (3( x + T )) =
=sin 2x + 2sin 3x = f (x)
или
sin (2x + 2T ) + 2sin (3x + 3T ) - sin 2x - 2sin 3x º 0
В частности, при x = 0 и x = π , получим соответственно уравнения, которым удовлетворяет период функции:
sin 2T + 2cos 3T = 0 |
sin 2T = 0 |
|
Û |
sin 2T - 2sin 3T = 0 |
sin 3T = 0 |
Решая последние равенства находим, что период T одновременно должен удовлетворять уравнениям:
T = π k , k Î иT = π n , n .
2 3
При k = 2, n = 3 получим значение T = π . Проверим является ли оно периодом функции:
f ( x + π ) = sin (2x + 2π ) + 2sin (3x + 3π ) =
= sin 2x - 2sin 3x ¹ f (x)
Таким образом, T = π не является периодом функции. следующее значение T , которое может быть периодом функции получается при k = 4 и n = 6 : T = 2π . Проверяем является ли данное значение наименьшим периодом функции:
f ( x + 2π ) = sin (2x + 4π ) + 2sin (3x + 6π ) =
= sin 2x + 2sin 3x = f (x)
Таким образом, T = 2π - наименьший период функции.
23
Задачи
10. |
Даны |
функции f (x) = |
x - 2 |
и |
|
g(x) = |
|
|
x - 2 |
|
|
. Найти: |
||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
x +1 |
|
|
x +1 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
f (0); f (1); f (2); f (-2); f |
- |
|
; f ( |
2); g(0); g(1); g(2); g(4). |
|||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. |
Дано: |
y = z2 , z = x +1. Выразить y как функцию x . |
||||||||||||
Найти области определения следующих функций:
12.f (x) =
13.f (x) =
14.f (x) =
15.f (x) =
16.f (x) =
17.f (x) =
1 |
|
. |
|
x2 - 5x |
|
tgx |
, если x [−π ;π ] . |
3x2 - 2x -1 |
log x+1 (3 + 5x − 2x2 ) .
|
2 x |
|||
1 |
+ arcsin |
x + 2 |
|
|
2 x |
. |
|||
|
||||
|
3 |
|
||
|
|
5 |
|
- 7 cos 2x . |
|||
|
|
|
|
||||
3 2x - x2 |
|||||||
|
|
|
|
||||
log5 |
(x2 + 4x) |
||||||
|
|
|
|
|
. |
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
25 − x2 |
|||||
Исследовать функцию на четность и нечетность:
18.f (x) = cos x + x sin x .
19.f (x) = x × 2− x .
20.f (x) = 3− x - 3x .
|
2 |
|
2 |
||
21. |
f (x) = ( x − 2) |
|
+ ( x + |
2) |
|
3 |
3 |
||||
22. |
f (x) = 2x sin2 x - 3x3 . |
|
|
||
23. f (x) = sin x . x
24.f (x) = x × 4− x2 .
25.f (x) = 5log2 ( x +1) .
24
Найти наименьший период функции:
26.y = sin 4x .
27.y = tg x .
2
28.y = sin x + cos 2x .
29.y = sin(3x + 1) .
30. y = sin2 x .
3
31.y = sin4 x + cos4 x .
32.y = cos2 3x .
33.y = sin x .
Задачи для самостоятельного решения
Задание 1
Найти область определения функции:
1.1.y = logx (x2 − x − 6)
1.2.y = 
2x (x2 − x −12)
1.3.y = logx 
x2 + x +1
1.4.y = arccos(x2 − 1 )
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||
1.5. y = arcsin(x2 + |
1 |
) |
|
|||||||||
2 |
|
|||||||||||
|
y = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1.6. |
cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.7. |
y = |
1 + log |
|
x |
|
|
|
|
|
|||
2 |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1.8. |
y = |
x2 − 4x + |
3 + |
|||||||||
|
||||||||||||
x − 5 |
||||||||||||
|
|
|
x + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
1.9. |
y = lg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3 − x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1.10.y = 
5x (2 + x − x2 )
1.11.y = 
x − x3
1.12.y = arccos(2 + x + x2 )
1.13.y = 
sin 2x
1.14. y = |
|
x |
|
+ x |
|
1 |
||
1.15. y = logx (4 − 4x + x2 )
1.16. |
y = |
|
|
x2 − 8x + 7 |
|
|
|
|
|
x − 4 |
|
|
|||
|
y = |
|
|
||||
1.17. |
logx (3x −1) |
|
|||||
|
|
|
|
x + 1 |
|
||
1.18. |
y = arccos |
|
|
||||
|
|||||||
|
|
|
|
x + 2 |
|
||
1.19. |
y = |
π − arccos x2 |
|||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
25
1.20. y = |
|
x2 |
− 3x + 2 |
|
2x − 3 |
||
|
|
|
1.21.y = 
tg π x
1.22.y = log2 (x3 − x)
1.23. |
y = |
1 |
|
|
|||
lg(x + 1) + lg(x −1) |
|||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||
|
y = |
|
1 |
|
|||
1.24. |
|
arctg |
|
|
|||
|
|||||||
|
|
|
x |
|
|||
1.25.y = log3+ x (x2 −1)
1.26. |
y = arcsin |
4x |
x2 + 3 |
1.27. |
y = |
|
|
log2 x 3 |
|
|
|||||
arccos(2x −1) |
|||||||||||
|
|
||||||||||
1.28. |
y = log |
|
cos |
x |
|
|
|
||||
x |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
y = |
|
|
||||||||
1.29. |
3x (−x2 + x + 2) |
||||||||||
|
|
|
|
|
x + 2 |
|
|||||
1.30. |
y = arccos |
|
|
||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
x +1 |
|
|||||
1.8.Элементарные преобразования графиков функций
Рассмотренные графики основных элементарных функций следует помнить. Пользуясь ими, можно легко строить большое количество графиков элементарных функций, представляя последние как преобразованные основные элементарные функции.
Пусть график функции y = f (x) известен. приведем в виде таблицы важнейшие преобразования этого графика:
Функция |
Преобразование, которое следует провести с |
|
|
графиком функции y = f (x) |
|
|
|
|
y = f (x) + b |
b > 0 |
сдвиг вверх по оси Oy на b единиц |
b ¹ 0 |
b < 0 |
сдвиг вниз по оси Oy на |b| единиц |
|
|
|
y = f ( x + a) |
a > 0 |
сдвиг влево по оси Ox на a единиц |
a ¹ 0 |
a < 0 |
сдвиг вправо по оси Ox на |a| единиц |
|
|
26 |
Функция |
Преобразование, которое следует провести с |
|||||||||
|
|
графиком функции y = f (x) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
y = kf ( x) |
k > 1 растяжение вдоль оси Oy относительно |
|||||||||
оси Ox |
в k раз |
|
||||||||
k > 0, k ¹ 1 |
|
|||||||||
0 < k < 1 |
сжатие вдоль оси Oy в 1 / k раз |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
y = f (kx) |
|
k > 1 сжатие вдоль оси Ox |
относительно оси |
|||||||
|
Oy |
k раз |
|
|||||||
k > 0, k ¹ 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|||||||
0 < k < 1 |
растяжение в 1 / k |
раз вдоль оси Ox |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
f (-x) |
|
симметричное отражение графика относитель- |
||||||||
|
но оси Oy |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
- f (x) |
|
симметричное отражение графика относитель- |
||||||||
|
но оси Ox |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(1) часть графика, расположенная выше оси |
||||
| f ( x) |
| |
|
Ox (включая точки на оси) остается; |
|||||||
(2) |
часть графика, расположенная ниже оси |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Ox , симметрично отражается наверх. |
|||
|
|
|
|
|
|
(1) часть графика, расположенная левее оси |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Oy , отбрасывается; |
|
||
|
|
|
|
|
|
(2) часть графика, расположенная правее оси |
||||
f ( |
|
x |
|
) |
|
Oy (включая точки на оси) остается; |
||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
(3) часть графика, расположенная правее оси |
||||
|
|
|
|
|
|
|
Oy |
(x>0) симметрично отобразить отно- |
||
|
|
|
|
|
|
|
сительно оси Oy в область x < 0 . |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 11 Используя элементарные преобразования, построить эскиз графика функции y = sin(x) + 1 .
Решение Воспользуемся правилом построения графика функции y = f (x) + b . Построим график функции y1 = sin(x) и сдвинем его на 1 единицу вверх по осиOy (см. рис.1.9.)
27
Рис. 1.9.
Пример 12 Используя элементарные преобразования, построить эскиз графика функции y = ( x − 2)2 .
Решение Воспользуемся правилом построения графика
функции y = f (x + a) . Построим график функции y = x2 |
и |
1 |
|
сдвинем его на 2 единицы вправо вдоль оси Ox (см. рис.1.10) |
|
Рис. 1.10.
Пример 13 Используя элементарные преобразования, построить эскиз графика функции y = 3log2 x .
Решение Воспользуемся правилом построения графика функции y = kf (x) . Построим график функции y1 = log2 (x) и
28
сожмем его вдоль оси Oy относительно оси Ox в 3 раза.(см.
рис.1.11)
Рис. 1.11.
Пример 14 Используя элементарные преобразования, по-
строить эскиз графика функции y = 1 log1/3 x . 2
Решение Воспользуемся правилом построения графика
функции y = kf (x) |
. Построим график функции |
y1 = log1/3 (x) |
и |
растянем его |
вдоль оси Oy относительно |
оси Ox в |
2 |
раза.(см.рис.1.12) |
|
|
|
Рис. 1.12.
29