5.4. Плотность состояний для электронов и дырок в полупроводниках.

При анализе работы различных приборов одной из важнейших характеристик является число электронов dnв некотором интервале энергий, например в интервалеdE. Для того, чтобы определить это число, необходимо знать число энергетических состояний в этом интервале энергийdZи вероятность заполнения этих состояний электронами, или функцию распределения электронов по энергиям.

(5.13)

Число состояний можно получить через плотность энергетических состояний N(E), которую определим как число состояний в единичном интервале энергий в единице объёма полупроводника

(5.14).

С учётом (5.14) выражение (5.13) запишется как

(5.15).

Множитель 2 в (5.15) отражает принцип Паули, в соответствии с которым в каждом квантовом состоянии может находиться 2 электрона с противоположно направленными спинами. Величина определяется формой изоэнергетических поверхностей в пространстве квазиимпульсов. Положим, пусть изоэнергетические поверхности будут сферы – помним, что это соответствует ситуации сферически симметричного обратного пространства, поскольку. Тогда интервалу значенийdEв пространстве квазиимпульсов будет соответствовать объём шарового слоя между изоэнергетическими поверхностями с радиусамириp+dp. Этот объём будет равен4p²dp. Этому объёму пусть соответствует реальный объёмV. Тогда объём в фазовом пространствеdГ, соответствующий интервалу значений энергииdEбудет

dГ =V4p²dp(5.16).

В этом объёме будет dZ квантових состояний, которое определяется как

(5.17),

а на единицу объёма таких состояний будет

(5.18).

Начало отсчёта энергии совместим с минимумом энергии в зоне проводимости. Тогда, в соответствии с (4.15)

(5.19).

Подставляем выражения (5.19) в (5.18) и получим

(5.20),

откуда следует, что

(5.21)

Аналогичное выражение может быть получено для плотности состояний вблизи потолка валентной зоны.

Лекция 6.

6.1. Функция распределения. Вырожденные и невырожденные полупроводники.

Мы определили плотность состояний как число состояний в единичном интервале энергий в единице объёма. Тогда концентрация электронов будет определяться как

(6.1)

Здесь пределами интегрирования являются минимальная и максимальная энергии электронов в первой зоне Бриллюэна зоны проводимости. Если начало отсчёта энергии совместить с минимумом энергии в зоне проводимости, то нижний предел в интеграле (6.1) будет равным нулю, а верхний предел можно положить равным бесконечности, поскольку электроны занимают состояния вблизи дна зоны проводимости и функция распределения, как мы увидим ниже, резко спадает с увеличением энергии. В таком случае, вместо (6.1) получим

(6.2).

Как мы помним из общего курса физики, электроны являются фермионами¹², и для них необходимо использовать функцию распределения Ферми-Дирака

(6.3)

ЗдесьkT– тепловая энергия,F– энергия Ферми. На рис. 6.1 показана зависимостьf(E)при разных температурах. Из этого рисунка видно, что энергию (уровень) Ферми можно определить двояко. Во-первых, это есть максимальная энергия электронов при0 Ки, во-вторых – это есть уровень, вероятность заполнения которого при всех температурах равна ½. Из (6.3) видно, что функция распределения Ферми-Дирака, а следовательно, и концентрация электронов в зоне проводимости, зависят от температуры и энергии.

Для полупроводников различают два крайних случая. 1. Если уровень Ферми находится в запрещённой зоне, так что , то в этом случае показатель степени в (6.3) больше 1 и функция распределения Ферми-Дирака переходит в классическую функцию Максвелла-Больцмана

(6.4).

Полупроводник при этом называется невырожденными концентрация электронов (6.2) с функцией распределения (6.3) при этом определяется выражением

(6.5).

Здесь - так называемая эффективная плотность состояний для зоны проводимости.

В противоположном случае, когда уровень Ферми находится в зоне проводимости, причём , полупроводник называется вырожденным и для нахождения концентрации необходимо использовать функцию Ферми-Дирака (6.3). При этом, с хорошей точностью получается¹³

(6.6)

Аналогичные выражения можно получить и для дырочного полупроводника. На рис. 6.2 схематично показаны плотность состояний N_c, функция распределенияf(E)и произведение этих величиндля невырожденного и вырожденного полупроводников.