Lineynaya algebra i analitich_geom / Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge

и коэффициентами характеристического уравнения dk для линейного оператора, действующего в трехмерном пространстве , при n = 3. Учитывая это, можно записать удобную формулу для нахождения характеристического уравнения линейного оператора, дейстующего в трехмерном пространстве:

( ) 3 I1 2 I2 I3

Лекция 14

Линейные операторы в евклидовом пространстве

Пусть линейный оператор А действует в евклидовом пространстве En и преобразует это пространство само в себя.

Введем определение: оператор А* назовем сопряженным оператору А, если для любых двух векторов x,y из Еn выполняется равенство скалярный произведений вида:

(Ax,y) = (x,A*y)

Еще определение: линейный оператор называется самосопряженным, если он равен своему сопряженному оператору, т. е. справедливо равенство:

(Ax,y) = (x,Ay)

или, в частности (Ax,x) = (x,Ax).

Самосопряженный оператор обладает некоторыми свойствами. Упомянем некоторые из них:

1.Собственные числа самосопряженного оператора - вещественны (без доказательства);

2.Собственные векторы самосопряженного оператора ортогональны. Действительно, если x1 и x2 – собственные векторы, а 1 и 2 – их собственные числа, то: Ax1 = 1x; Ax2 =

2x; (Ax1,x2) = (x1,Ax2), или 1(x1,x2) = 2(x1,x2). Поскольку 1 и 2 различны, то отсюда

(x1,x2) = 0, что и требовалось доказать.

3.В евклидовом пространстве существует ортонормированный базис из собственных векторов самосопряженного оператора А. Т. е. матрицу самосопряженного оператора

всегда можно привести к диагональному виду в некотором ортонормированном базисе,

составленном из собственных векторов самосопряженного оператора.

Еще одно определение: назовем самосопряженный оператор, действующий в евклидовом пространстве симметричным оператором. Рассмотрим матрицу симметричного оператора.

Докажем утверждение: чтобы оператор был симметричным, необходимо и достаточно, чтобы в ортонормированном базисе его матрица была бы симметричной.

Пусть А – симметричный оператор, т. е.: (Ax,y) = (x,Ay)

Если А – матрица оператора А, а x и y – некоторые векторы, то запишем:

Тогда: (x,y) = XTY = YTX и имеем (Ax,y) = (AX)TY = XTATY (x,Ay) = XT(AY) = XTAY,

т.е. XTATY = XTAY. При произвольных матрицах-столбцах X,Y это равенство возможно

Т

только при А = А, а это означает, что матрица А – симметричная.

Рассмотрим некоторые примеры линейных операторов

Оператор проектирования. Пусть требуется найти матрицу линейного оператора, осуществляющего проектирование трехмерного пространства на

Размерность пространства образов равна рангу линейного оператора и равна 1, что меньше размерности пространства прообразов. Т. е. оператор А – вырожденный. Матрица А тоже вырождена.

Еще пример: найти матрицу линейного оператора, осуществляющего в пространстве V3

(базис i, j, k) линейное преобразование – симметрию относительно начала координат.

точка стоит на месте, поворачивается координатная система. Но можно рассматривать и так, что координатная система остается прежней, а перемещается точка из положения М* в положение М.

Координаты точки М и М* определены в той же координатной системе.

Все сказанное позволяет подойти к следующей задаче, которую приходится решать программистам, занимающимся графикой на ЭВМ. Пусть необходимо на экране ЭВМ осуществить поворот некоторой плоской фигуры (например треугольника) относительно точки О’ с

координатами (a,b) на некоторый угол . Поворот координат описывается формулами:

x* x* cos y* sin y* xsin ycos

Параллельный перенос обеспечивает соотношения:

x* x a

y* y b

Для того, чтобы решить такую задачу, обычно применяют искусственный прием: вводят так зазываемые “однородные” координаты точки на плоскости XOY:

(x, y, 1). Тогда матрица, осуществляющая параллельный перенос, может быть записана:

Рассматриваемая задача может быть решена в три шага:

1й шаг: параллельный перенос на вектор А(-а, -b) для совмещения центра поворота с началом координат:

2й шаг: поворот на угол :

Искомое линейное преобразование в матричном виде будет выглядеть:

По формуле (**) можно пересчитать координаты любой точки плоской фигуры, а затем построить ее на экране, осуществив тем самым ее поворот.

Лекция 15

Квадратичные формы и их приведение к каноническому виду

При рассмотрении евклидового пространства мы вводили определение квадратичной формы.

С помощью некоторой матрицы

строится многочлен второго порядка вида

n n

L(x1,x2, ,xn ) aijxixj

i 1 j 1

который называется квадратичной формой, порождаемой квадратной матрицей А.

Квадратичные формы тесно связаны с поверхностями второго порядка в n - мерном евклидовом пространстве. Общее уравнение таких поверхностей в нашем трехмерном евклидовом пространстве в декартовой системе координат имеет вид:

a11x2 a22 y2 a33z2 2a12xy 2a13xz 2a23yz a14x a24 y a34z a44 0

Верхняя строка - это не что иное, как квадратичная форма, если положить x1=x, x2=y, x3=z:

положим для общности, что многочлен

a14x a24 y a34z a44

есть линейная форма. Тогда общее уравнение поверхности есть сумма квадратичной формы,

линейной формы и некоторой постоянной.

Основной задачей теории квадратичных форм является приведение квадратичной формы к максимально простому виду с помощью невырожденного линейного преобразования переменных или, другими словами, замены базиса.

Вспомним, что при изучении поверхностей второго порядка мы приходили к выводу о том,

что путем поворота осей координат можно избавиться от слагаемых, содержащих произведение xy, xz, yz или xixj (i j). Далее, путем параллельного переноса осей координат можно избавиться от линейных слагаемых и в конечном итоге свести общее уравнение поверхности к виду:

P(x, y,z) a11x2 a22 y2 a33z2 c 0

В случае квадратичной формы приведение ее к виду

L(x,y,z) 1x2 2y2 3z2

называется приведением квадратичной формы к каноническому виду.

Поворот осей координат есть не что иное, как замена одного базиса другим, или, другими словами, линейное преобразование.

Запишем квадратичную форму в матричном виде. Для этого представим ее следующим образом:

L(x,y,z) = x(a11x+a12y+a13z)+ +y(a12x+a22y+a23z)+ +z(a13x+a23y+a33z)

- матричная форма записи квадратичной формы. Эта формула, очевидно, справедлива и в общем случае:

L(x1,x2 , ,xn ) X T AX

Канонический вид квадратичной формы означает, очевидно, что матрица А имеет диагональный вид:

Матрица S называется матрицей линейного преобразования. Отметим попутно, что всякой матрице n-ного порядка при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор.

Линейное преобразование X = SY заменяет переменные x1, x2, x3 новыми переменными y1, y2, y3. Тогда:

L(x, y,z) X T AX YT ST AXY YT BY где B = S T A S

Задача приведения к каноническому виду сводится к отысканию такой матрицы перехода S,

чтобы матрица В приобрела диагональный вид:

(*)

Итак, квадратичная форма с матрицей А после линейного преобразования переменных переходит в квадратичную форму от новых переменных с матрицей В.

Обратимся к линейным операторам. Каждой матрице А при заданном базисе соответствует некоторый линейный оператор А. Этот оператор имеет, очевидно, некоторую систему собственных чисел и собственных векторов. Причем, отметим, что в евклидовом пространстве система собственных векторов будет ортогональна. Мы доказывали на предыдущей лекции, что в базисе собственных векторов матрица линейного оператора имеет диагональный вид. Формула (*), как мы помним, это формула преобразования матрицы линейного оператора при смене базиса. Положим,

что собственные вектора линейного оператора А с матрицей А - это вектора у1, y2, ..., yn.

~

Ay1 1y1

~

Ay2 2 y2

Т. е.

~

Ayn n yn

А это означает, что если собственные вектора у1, y2, ..., yn взять за базис, то матрица линейного оператора в этом базисе будет диагональной

0 0 n

или В = S-1 А S, где S – матрица перехода от первоначального базиса {e} к базису {y}. Причем в ортонормированном базисе матрица S будет ортогональной.

Т. о. для приведения квадратичной формы к каноническому виду необходимо найти собственные числа и собственные векторы линейного оператора А, имеющего в первоначальном базисе матрицу А, которая порождает квадратичную форму, перейти к базису собственных векторов и в новой системе координат построить квадратичную форму.

Обратимся к конкретным примерам. Рассмотрим линии второго порядка.

x(t)