Lineynaya algebra i analitich_geom / Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge

x1y1 + x2y2 + … + xnyn = 0

вспомним, что это условие ортогональности двух векторов, которое в векторной алгебре мы получим из скалярного произведения.

В пространстве c(a, b) условие ортогональности имеет вид

b

(t) (t)dt 0

a

Например, векторы x = cos nt и y = sin mt, где m и n – целые, ортогональны при a = - и b =

С этим важным примером мы будем часто встречаться в математике.

Теперь введем определение: линейное пространство R называется нормированным, если выполнены следующие два требования:

1. любому элементу x пространства ставится в соответствие или определяется норма

x(x,x) .

2.Указанное правило введения нормы подчинено следующим аксиомам: 10 || x || > 0, если x 0; || x || = 0, если x = 0

20 || x || = | | || x ||.

30 справедливо равенство || x + y || || x || + || y || называемое неравенством Минковского или неравенством треугольника.

Всякое евклидово пространство является нормированным, если в нем норму любого элемента х определить равенством x(x,x) . Первые две аксиомы непосредственно вытекают из аксиом скалярного произведения 30 и 40.

Справедливость неравенства Минковского докажем, опираясь на неравенство Коши – Буняковского:

(x, y) (x,x) (y, y)

x yx y,x y (x,x) 2(x, y) (y, y) (x,x) 2(x,x)(y, y) (y, y) [(x,x) (y, y)]2 (x,x) (y, y)] xy

Ортонормированный базис конечномерного Евклидового пространства

В линейном пространстве, как мы установили в предыдущих лекциях, существует базис – любые n линейно независимых векторов. Все базисы были одинаковы. В евклидовом пространстве существуют специальные, особо удобные базисы, называемые ортонормированными базисами.

Введем определение ортонормированного базиса: будем говорить, что k элементов e1, e2, … en n –

мерного евклидового пространства Е образуют ортонормированный базис этого пространства, если эти элементы попарно ортогональны и норма каждого из этих элементов равна единице, т.е. если

1 при i k

(ei ,ek )

0 при i k

Существует теорема: во всяком n – мерном евклидовом пространстве E существует ортонормированный базис.

Доказательство: согласно определению размерности в пространстве E найдется n линейно независимых векторов 1, 2, …, n. Докажем, что можно построить n элементов e1, e2, … en, линейно выражающихся через 1, 2, …, n и образующих ортонормированный базис.

Определим вектор e1 как нормированный вектор 1, e1*= 1:

e1 1

( 1, 1)

построим вектор e2 так, чтобы он был ортогонален вектору e1:

Вектор e3 определим следующим образом:

e3* 3 1e1 2e2

Коэффициенты 1 и 2 найдем из условия ортогональности вектора е3 к вектору е1 и вектору

е2:

Продолжая этот процесс n раз, получим для вектора en:

Т.о. мы доказали теорему, что во всяком пространстве Е существует ортонормированный базис. В процессе доказательства мы построили этот базис. Процесс построения называется ортогонализация или процесс ортогонализации .

В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений координат этих векторов – этим свойством мы уже пользовались в векторной алгебре:

(x, y) = x1y1 + x2y2 +… + xnyn

Действительно:

x1 y1 x2 y2 ... xn yn

Ортогональные матрицы и их свойства

Рассмотрим теперь, какими свойствами обладает матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому в евклидовом пространстве. Вспомним перехода от одного базиса к другому: если e1 Ae , то x AT x . Матрицу АТ мы называли матрицей перехода от одного базиса к другому. Столбцы этой матрицы представляют собой координаты векторов en в

базисе en .

Введем сначала определение: матрица Т с вещественными коэффициентами называется ортогональной, если Т’ = T-1 – транспонированная матрица равна обратной. Т.е. Т Т’ = T’ T = E.

Отсюда следует det (T T’) = det T det T’ = det E = 1 или det T = 1.

Обратная матрица T-1 также ортогональна:

(T 1) (T ) T (T 1) 1, или (T 1) (T 1) 1 .

Запишем еще свойства ортогональной матрицы, вытекающие из того, что

Лекция 13.

Линейные операторы.

Пусть L1 и L2 – линейные пространства, размерности которых соответственно n и m. Будем называть

~

оператором A, действующим из L1 в L2 отображение L1 L2, если задан закон, по которому

каждому вектору x L1 ставится в соответствие единственный вектор y L2. При этом у называется

представляет собой в некотором смысле обобщение известного из анализа определения функции на случай, когда областью задания функции является произвольное линейное пространство L1, а

область значений принадлежит пространству L2.

Если пространство образов L2 совпадает с пространством прообразов L1, то линейный оператор в этом случае отображает пространство само в себя. Такой оператор называют также линейным преобразованием пространства.

в) нулевым оператором 0 назовем оператор, который действует по правилу 0 х = 0 для любого х;

Тогда множество всех линейных операторов М(L1, L2) с указанными выше операциями и с выбранными нулевым и противоположным оператором образует, очевидно, линейное пространство.

Рассмотрим свойства множества операторов М(L,L), т.е. операторов, действующих из L в L (пространство само в себя).

х.

~

Будем говорить, что линейный оператор A действует взаимно однозначно, из L в L, если любым

~ ~

двум различным х1 и х2 отвечают различные Aх1 и Aх2.

~

Отметим без доказательства, что для того, чтобы линейный оператор A из М(L, L) имел обратный,

необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из L в L.

Введем понятие ядра и образа линейного оператора.

~

Ядром линейного оператора A называется множество всех тех элементов х пространства L, для

~

которых Aх = 0.

обратный.

~

Образом линейного оператора A назовем множество всех элементов у пространства L,

~

представляемых в виде у = Aх.

Матрица линейного оператора.

Матрица А, транспонированная АT называется матрицей линейного оператора, k-й столбец

~

этой матрицы составлен из координат вектора Aеk в базисе g1 g2 … gm.

Оказывается, что некоторые характеристики этой матрицы не зависят от базисов и характеризуют внутренние свойства оператора. Так, запишем без доказательства, что ранг матрицы линейного оператора равен размерности пространства образов. Будем называть этот ранг – рангом линейного оператора. Если этот ранг совпадает с размерностью пространства L, или размерность

~

пространства образов совпадает с размерностью пространства прообразов, то оператор A назовем невырожденным.

Эта система линейных однородных уравнений относительно координат искомого вектора х.

Т.к. х 0, то системы должна иметь ненулевое решение. Значит, для этого, должно быть det ( A - E ) = 0, или

Уравнение ( ) = 0 называется характеристическим уравнением для линейного оператора

~

A, а многочлен

n

( ) det(A E) dk k

k 0

степени n относительно - характеристическим многочленом.

По основной теореме алгебры, каждый многочлен степени n имеет n корней с учетом их кратности. Значит, характеристическое уравнение имеет по крайней мере один корень, т.е. каждый оператор имеет хотя бы один собственный вектор. Правда в вещественном пространстве многочлен может не иметь вещественных корней и поэтому в нашем линейном пространстве не каждый

линейный оператор имеет собственные векторы.

Т.о. для нахождения собственного вектора надо составить характеристический многочлен,

найти все его корни, которые будут собственными числами. После этого нужно каждое собственное число i подставить вместо в систему и найти все ее линейно – независимые решения. Число таких решений есть n – ri, где ri – ранг матрицы A - iE. Отсюда следует, что размерность пространства

собственных векторов, соответствующих одному собственному числу i равна n – ri.

Вспомним, что матрица линейного оператора изменяется при изменении базиса:

A* = T-1AT.

Найдется ли такой базис, в котором матрица А* имела бы диагональный вид? Справедлива следующая теорема: для того, чтобы матрица А в данном базисе {ek} была диагональной,

А отсюда матрица А необходимо имеет вид

0 0 n

и наоборот. Пусть А – диагональная матрица оператора А в данном базисе {ek}. Тогда соотношнния

Aek = 11e1+ 12e2+ 1nen (k = 1,…,n)

примут вид (*), а это значит, что ek - собственные векторы.

Запишем без доказательства свойство линейного оператора: собственные векторы линейного

оператора, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы.

Определение: назовем оператор А, матрица которого приводится к диагональному виду,

оператором простой структуры. Запишем без доказательства, что оператор имеет простую

структуру в двух случаях: 1) характеристический многочлен имеет n различных корней; 2) для каждого корня i кратности ki ранг матрицы (A- iE) был равен n-ki.

Рассмотрим, чему равен определитель матрицы линейного оператора А при смене базиса. det(A*) = det(T-1AT) = det(T-1)det(A)det(T) = det(A)det(T-1T) = det(A)det(E) = det(A)

Таким образом, можно сделать вывод, что величина определителя матрицы линейного оператора не зависит от выбора базиса. Для поиска собственных чисел линейного оператора мы составляли характеристический многочлен

n

( ) det(A E) dk k

k 0

Поскольку величина определителя не зависит от выбора базиса, то величины dk являются инвариантами – не зависят от базиса. Принято называть коэффициент при n-1 : dn-1 = a11+a22+…+ann

следом оператора А и обозначать trA (trace – след).

trA = a11+a22+…+ann = 1+ 2+ n.

Нетрудно проследить связь между инвариантами преобразования систем координат, с

которыми мы сталкивались при преобразовании уравнений поверхностей второго порядка: