Lineynaya algebra i analitich_geom / Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge

В пространстве, рассуждая аналогичным образом, можно записать:

OM xi yj zk

Итак, каковы бы ни были две произвольные системы координат в пространстве, координаты x y z некоторой точки относительно первой системы являются линейными функциями координат x’ y’ z’ этой же точки относительно второй системы координат.

Умножая каждое из равенств (***) скалярно на i’ j’ k’ получаем:

Выясним геометрический смысл формул преобразования (****). Для этого предположим, что обе системы имеют общее начало: a = b = c = 0.

Введем в рассмотрение три угла, полностью характеризующих расположение осей второй системы относительно первой.

Первый угол – образован осью х и осью u, являющейся пересечением плоскостей xOy и x’Oy’. Направление угла – кратчайший поворот от оси x к y. Обозначим угол через . Второй угол – это не превосходящий угол

между осями Oz и Oz’. Наконец, третий угол – это угол между осью u и Ox’, отсчитываемый от оси u в направлении кратчайшего поворота от Ox’ к Oy’. Эти углы называются углами Эйлера.

Преобразование первой системы во вторую можно представить в виде последовательного проведения трех поворотов: на угол относительно оси Oz; на угол относительно оси Ox’; и на угол относительно оси Oz’.

Числа ij можно выразить через углы Эйлера. Эти формулы мы записывать не будем из-за громоздкости.

Само преобразование представляет собой суперпозицию параллельного переноса и трех проводимых последовательных поворотов на углы Эйлера.

Все эти рассуждения можно провести и для случая, когда обе системы левые, или разной ориентации.

Если имеем две произвольные системы, то, вообще говоря, можно их совместить путем параллельного переноса и одного поворота в пространстве вокруг некоторой оси. Искать ее не будем.

Поверхности второго порядка.

Поверхностью второго порядка будем называть геометрическое место точек в пространстве,

удовлетворяющих уравнению:

a11x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13xz 2a23 yz 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0

где по крайней мере один из a11 a22 a33 0. Это уравнение называется общим уравнением поверхности второго порядка.

Назовем группу слагаемых a11x2 a22 y2 a33z2 2a12 xy 2a13xz 2a23 yz группой старших членов, а 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 - линейной частью. a44 – свободный член.

Перейдем к новой системе координат с целью упростить общее уравнение.

Сначала осуществим параллельный перенос:

xx x0

yy y0

zz z0

Подставив в общее уравнение, получим:

a11x 2 a22 y 2 a33z 2 2a12 x y 2a13x z 2a23 y z 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0где

a14 a11x0 a12 y0 a13z0 a14

a24 a12 x0 a22 y0 a23z0 a24

(*)

a34 a13x0 a23 y0 a33z0 a34

a44 a11x02 a22 y02 a33z02 2a12 x0 y0 2a23y0z0 2a13x0z0 2a14 x0 2a24 y0 2a34z0 a44

Важный вывод: при параллельном переносе системы координат коэффициенты при старших членах не изменяются! Преобразуются коэффициенты группы линейных членов по некоторым формулам.

Рассмотрим поворот осей:

x m11x m12 y m13z

y m21x m22 y m23z

z m31x m32 y m33z

Если введем эти координаты в общее уравнение поверхности, сгруппируем члены при различных степенях x’ y’ z’ и получим:

коэффициенты старших членов зависят лишь от mij и старых коэффициентов старших членов, а

Центр поверхности второго порядка.

Поставим задачу найти такую систему координат, в которой уравнеие поверхности не содержало бы линейных слагаемых, т.е. a14 a24 a34 0. Пусть точка O(x0 y0 z0) это точка начала координат искомой системы. Тогда, вспоминая формулы для параллельного переноса системы координат (*), имеем:

Эти уравнения называются уравнениями центра поверхности второго порядка. Если координаты

центра найдены, то осуществляя параллельный перенос начала координат в центр, получим

уравнение поверхности:

a11x 2 a22 y 2 a33z 2 2a12 x y 2a13x z 2a23 y z a44 0

Ну и наконец, запишем без доказательства, что всегда существует некоторая декартова система

координат, в которой последнее уравнение не содержит членов с x’y’ ; x’z’ ; z’y’. К этой системе

можно прийти путем поворота осей координат координатной системы. В этой системе координат

уравнение поверхности примет вид:

a11x 2 a22 y 2 a33z 2 a44 0

Процедура параллельного переноса и последующего поворота системы координат с целью

получения этого уравнения называется стандартным упрощением уравнения поверхности.

Заметим, что не всякая поверхность может быть центральной, а лишь та, где I3 0.

Действительно, I3 является определителем системы уравнений (**) и для существования

единственного решения этой системы по теореме Кронеккера-Капелли I3 не должен быть равен

нулю. Если же I3 = 0, то у поверхности нет центральной точки. Ее уравнение может быть сведено

к виду

a11x2 a22 y2 a33z2 2a14 x 2a24 y 2a34z a44 0

Такая поверхность называется нецентральной.

Лекция 10.

Классификация поверхностей 2го порядка

Итак, путем стандартного упрощения уравнения поверхности, уравнение может принять

вид:

a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + a44 = 0

Это уравнение есть уравнение только центральной поверхности! Тогда, поскольку I3 0, то

I3 = a11* a22* a33 0 означает, что a11 0, a22 0, a33 0.

Возможны следующие случаи:

1). a11 a22 a33 одного знака. а44 0. Поверхность S называется эллипсоидом. Причем мы будем рассматривать только случай, когда знак у a11 a22 a33 и у а44 противоположный – вещественный эллипсоид. Каноничаская форма уравнения эллипсоида:

Оси OX OY OZ – центральные оси этих четырех поверхностей.

Нецентральные поверхности второго порядка.

Очевидно, нецентральная поверхность имеет уравнение: a11 x2 + a22 y2 + a33 z2 + 2 a14 x + 2 a24 y + 2 a34 z + a44 = 0

Поскольку I3 = 0, то один из a11 a22 a33 должен быть равен 0. Положим, что это a33: a11 x 2 + a22 y 2 + 2 a14 x + 2 a24 y + 2 a34 z + a44 = 0

и т. д., т. е. избавиться от линейных слагаемых по х и по у и свести уравнение к виду a11x 2 a22 y 2 2pz q 0. Не нарушая общности, можно считать, что уравнение поверхности

Поверхность распадается на пару плоскостей, причем, эти плоскости вещественны, когда знаки у a11 и a22 противоположны.

б). р = 0 q 0

a11x2 a22 y2 q 0

Это уравнение цилиндра, с образующими, параллельными оси OZ. Причем цилиндр вещественен, если коэффициенты различных знаков.

Здесь также два случая:

2. Гиперболоиды.

1). Однополостный гиперболоид: a2 b2 c2 1

Однополостный гиперболоид

Cечение однополостного гиперболоида координатными плоскостями: XOZ:

Т.е. начало координат – это центральная точка, координатные плоскости – это плоскости симметрии.

X1 Y1 Z1

2). Двуполостной гиперболоид.

x2 y2 z2 Двухполостный гиперболоид

a2 b2 c2 1

Начало координат – точка симметрии. Координатные плоскости –

плоскости симметрии. Плоскость z = h пересекает

Сечение гиперболоида плоскостями x = 0 и y = 0 - это гиперболы.

3. Параболоиды.

1). Нецентральная поверхность – эллиптический

a* ah b* bh . Из уравнения видно, что z 0 – это бесконечная чаша.

X Y Z

Гиперболический цилиндр:

a2 b2 1

Параболический цилиндр

Параболический цилиндр: y2 2px

X1 Y1 Z1

Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка.

Оказывается, кроме конуса и цилиндров, состоящих из прямолинейных образующих, однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид тоже состоят из прямолинейных образующих. А более точно справедливо следующее утверждение:

Через каждую точку однополостного гиперболоида и гиперболического параболоида проходят две различные прямые линии, целиком располагающиеся на указанных поверхностях. Т.е. эти поверхности целиком покрыты двумя различными семействами прямолинейных образующих. Это мы приводим без доказательства.