Lineynaya algebra i analitich_geom / Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge

или гиперболу, если е 1. При этом точка F называется фокусом, а прямая D – директрисой

рассматриваемого места точек.

Лекция 8.

Плоскость. Различные ее виды

Прежде всего, в математике доказывается, что если в пространстве задана произвольная

плоскость и декартова система координат, то уравнение этой плоскости является уравнением

первой степени.

Мы докажем, что если в пространстве фиксирована произвольная система координат Oxyz, то всякое уравнение первой степени с тремя переменными x, y, z определяет относительно этой системы плоскость.

Доказательство: рассмотрим произвольное уравнение первой степени:

A x + B y + C z + D = 0,

Где хотя бы одно из A B C отлично от 0. Тогда это уравнение имеет хотя бы одно решение:

M0 M {x x0; y y0;z z0} ортогонален вектору n и их скалярное произведение равно 0. Если

же точка не лежит в указанной плоскости, то вектор M0 M не перпендикулярен n и скалярное произведение не равно 0. Т.о. уравнение (*) (произвольное!) действительно определяет плоскость.

Уравнение A x + B y + C z + D = 0 называется общим уравнением плоскости, а вектор n - нормальным вектором плоскости. Общее уравнение плоскости называется неполным, если какойлибо коэффициент может и не один, равен нулю. К примеру:

D = 0 : A x + B y + C z = 0

Определяет уравнение плоскости, проходящей через начало координат.

С = 0 : A x + B y + D = 0 – плоскость, параллельная оси Z, так как n A,B,0 - n OZ

A = 0 , B = 0 : C z = 0 – плоскость, параллельная XOY и т.д. Всего 10 вариантов. Если уравнение полное, то его можно свести к уравнению плоскости в отрезках:

Ясно, что a, b, c – это отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат. Действительно, если y = z = 0, то x = a – определяет точку пересечения плоскости с OX.

Угол между двумя плоскостями.

Из определения скалярного произведения можно получить для угла между плоскостями, заданными общими уравнениями величину:

Условие параллельности: A1 B1 C1

A2 B2 C2

Условие перпендикулярности: A1 A2 B1B2 C1C2 0

Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки

Точка M(x,y,z) лежит на плоскости. Значит три вектора компланарны:

M1 M1 {x x1;y y1;z z1} M1 M2 {x x2 ;y y2;z z2}

M1 M3 {x x3;y y3;z z3}

Уравнение плоскости получится из условия компланарности трех векторов, а именно: смешанное произведение трех векторов равно нулю:

Нормированное уравнение плоскости. Отклонение точки от плоскости.

Поставим цель выразить уравнение плоскости через

длину отрезка OP= р и направляющие косинусы единичного вектора n . Очевидно, точка М лежит на

нужной нам плоскости тогда и только тогда, когда

прn OM p или nпрn OM n OM прn OM , но: n OM xcos ycos zcos и тогда уравнение

искомой плоскости, очевидно будет: xcos ycos zcos p 0.

Так же как и в случае уравнения линии, назовем отклонением точки М от плоскости ее расстояние до плоскости со знаком (-), если точка М и начало координат лежат в одной стороне от плоскости и со знаком (+), если по разные стороны. Тогда можно доказать, что для нахождения отклонения точки М от плоскости необходимо в левую часть нормированного условия плоскости подставить на место x, y и z координаты x0 y0 z0 точки М0.

Как привести уравнение плоскости к нормированному виду. Поскольку

Ax Bx Cx D 0

xcos ycos zcos p 0

одна и та же плоскость, то, очевидно, найдется такое число t, что:

t A = cos ; t B = cos ; t C = cos ; t D = -p ;

1

положительно, следует знак у t брать противоположный D.

Уравнение пучка плоскостей.

Определение: совокупность всех плоскостей, проходящих через одну и ту же прямую L,

называется пучком плоскостей. Существует следующее утверждение: если

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Условия двух непараллельных плоскостей, пересекающихся по некоторой линии L, а и -

какие угодно, неравные нулю числа, то

(A1 x + B1 y + C1 z + D1 ) + (A2 x + B2 y + C2 z + D2 ) = 0

Это уравнение определяет плоскость, проходящую через прямую L, а при произвольных и –

пучок плоскостей.

Уравнение связки поверхностей – т.е. поверхностей, проходящих через заданную точку, есть,

очевидно: A (x – x0) + B (y – x0) + C (z– x0) = 0.

Прямая линия в пространстве.

Мы уже определили прямую линию, как пересечение двух плоскостей:

A1 x + B1 y + C1 z + D1 = 0

A2 x + B2 y + C2 z + D2 = 0

Теперь определим уравнение линии в пространстве как уравнение прямой, проходящей через

заданную точку (x1 y1 z1) и имеющей заданное направление: q {l,m,n}. Очевидно, векторы

M1 M {x x1,y y1,z z1} и n {l,m,n} должны быть коллинеарны.

Условие коллинеарности двух векторов:

x x1 y y1 z z1 l m n

Это и есть каноническое уравнение прямой в пространстве. Отсюда легко вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Действительно, искомая прямая должна быть коллинеарна вектору x2 - x1; y2 - y1; z2 - z1, т.е.

Параметрическое уравнение прямой в пространстве.

x = x1 + l t

y = y1 + m t

z = z1 + n t

Если t – время, то эти уравнения представляют собой движение материальной точки в

пространстве. Если вам знакомы производные, то Vx| = l ; Vy| = m ; Vz| = n.

V Vx2 Vн2 Vя2 l2 m2 n2

A1x B1 y C1z D1 0A2 x B2 y C2 z D2 0

A3 x B3 y C3z D3 0

Очевидно, для единственности решения необходимо и достаточно, чтобы определитель

A1 B1 C1

A2 B2 C2 0.

A3 B3 C3

2). Уравнение прямой, проходящей через данную точку M1(x1 y1 z1) и перпендикулярную данной

плоскости A x + B y + C z + D = 0.

3). Уравнение плоскости, проходящей через заданную точку M0(x0 y0 z0) и перпендикулярной

заданной прямой x x1 y y1 z z1 : l m n

Вспомним уравнение связки плоскостей, т.е. уравнение всех плоскостей, проходящих через точку x0 y0 z0:

A (x – x0) + B (y – x0) + C (z– x0) = 0.

Искомая плоскость в качестве нормали имеет направляющий вектор заданной прямой

q {l,m,n}. В итоге получаем уравнение: l (x – x0) + m (y – x0) + n (z– x0)=0.

Искомая плоскость принадлежит связке: A (x – x0) + B (y – x0) + C (z– x0) = 0.

С другой стороны, этому уравнению должны удовлетворять координаты точки x1, y1, z1:

Расстояние от точки М0 до прямой L1 есть площадь

параллелограмма q M1 M0 деленная на основание q:

q M1 M0

d

q

7) Найти расстояние между двумя скрещивающимися прямыми:

Расстояние равно объему параллелепипеда,

построенного на сторонах q1, q2, M1M2, деленному на

площадь основания

d q1q2 M1 M2 q1 q2

Лекция 9.

Преобразование декартовых прямоугольных координат на плоскости и в пространстве

Пусть на плоскости заданы две произвольные декартовы

прямоугольные системы координат. Первая определяется началом О и

базисными векторами i j , вторая – центром О’ и базисными векторами i’ j’.

Поставим цель выразить координаты x y некоторой точки М относительно первой системы координат через x’ и y’ – координаты той же точки относительно второй системы.

OM xi yj

Обозначим координаты точки О’ относительно первой системы через a и b:

OO ai bj

Разложим векторы i’ и j’ по базису i j:

i 11i 12 j

j 21i 22 j

(*)

Кроме того, имеем: OM OO O M . Введем сюда разложения векторов по базису i’ j’:

xi yj x ( 11i 12 j) y ( 21i 22 j) ai bj (a 11x 21 y )i (b 12 x 22 y ) j

отсюда

x a 11x 21y y b 12 x 22 y

Можно сделать вывод: каковы бы ни были две произвольных декартовы системы на плоскости,

координаты любой точки плоскости относительно первой системы являются линейными функциями координат той же точки относительно второй системы.

Умножим скалярно уравнения (*) сначала на i, затем на j:

Обозначим через угол между векторами i и i’. Система координат i j может быть совмещена с системой i’j’ путем параллельного переноса и последующего поворота на угол . Но здесь возможен и дугой вариант: угол между базисными векторами i i’ также , а угол между базисными векторами j’j’ равен - . Эти системы нельзя совместить параллельным

переносом и поворотом. Необходимо еще и изменить направление оси у на противоположное.

Из формулы (**) получаем в первом случае: