Lineynaya algebra i analitich_geom / Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge

0 ,0 2

Полярные координаты легко преобразовать в декартовые, если направить ось Х вдоль полярной оси и совместить полюс с началом координат. Очевидно:

x*cos

y*sin

и_далее

x2 y2 ,tg y / x

По этим формулам легко переходят от полярных координат к декартовым и наоборот. Так, уравнение окружности радиуса R в полярных координатах есть =R. Пусть, например, линия в полярной системе координат имеет уравнение%

Определение: линия называется алгебраической, если функция Ф(х,у) представляет собой

алгебраический полином, т.е сумму конечного числа слагаемых вида

alk xl yk

Можно доказать, что если на плоскости задана произвольная прямая линия, и задана декартова система координат Оху, то прямая L определяется в этой системе координат уравнением первой степени. Иначе Ф(х,у)=Ах+Ву+С полином первой степени. Само доказательство мы опустим.

Докажем теперь, что если на плоскости фиксирована произвольная система координат Оху, то всякое уравнение первой степени с двумя переменными х,у определяет прямую относительно этой системы.

В самом деле, пусть задано уравнение

где из А, В, С хотя бы одно не ноль.

Уравнение (**) заведомо имеет хотя бы одно решение х0 у0 (вспомним теорему КронеккераКапелли) или:

A (x - x0) + B (y - y0)=0

Докажем, что это уравнение определяет прямую L, проходящую через точку х0,у0 и перпендикулярную вектору n {A,B}.

В самом деле, если точка М( х,у ) лежит на L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (***), ибо в этом случае векторы n {A,B}

ортогональны и их скалярное произведение А(х - х0) + В(у - у0)

равно нулю. Если же точка М( х,у ) не лежит на указанной прямой, то векторы n {A,B} и ММ0 не

ортогональны и их скалярное произведение не равно нулю. Уравнение

Ax + By + C = 0

называется общим уравнением прямой. Вектор

n {A,B}

называется нормальным вектором прямой (**).

Уравнение прямой в отрезках

Уравнение (**), где все А, В, С отличны от нуля, можно привести к виду:

Числа а и b имеют простой геометрический смысл: это отрезки осей координат, которые отсекает прямая линия, удовлетворяющая этому уравнению.

Каноническое уравнение прямой

Определим направляющий вектор прямой, как ненулевой вектор, параллельный данной

Это уравнение и называют каноническим уравнением прямой линии.

Отсюда легко найти уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2). Очевидно, направляющий вектор такой прямой есть

q {x2 x1,y2 y1} {l ;m }

Уравнение, очевидно, есть:

Параметрическое уравнение прямой

Из уравнения (****) можно получить параметрическое уравнение прямой. Действительно, из этого уравнения можно записать:

x x1 y y1 t l m

х - х1 = l t ; y - y1 = m t , или

x x1 lt

y y1 mt

Эту систему легко наглядно представить. Если считать t временем, то координаты х у есть координаты точки, двигающейся по линии с направляющим вектором q {l,m} и имеющей

Прямая с угловым коэффициентом

Введем понятие угла наклона прямой к оси Ох.

NAM назовем углом наклона прямой к оси Ох. Тангенс угла наклона назовем угловым коэффициентом этой прямой.

k = tg

Из канонического уравнения прямой линии получим:

m

y y1 l (x x1) k(x x1) или y kx b, где b y1 kx1

:

k = tg = m/l

Число b представляет собой величину отрезка, отсекаемого на оси Оу этой прямой.

Угол между двумя прямыми

а). Пусть даны две прямые: A1 x + B1 y + C1 = 0 и A2 x + B2 y + C2 = 0

Т.к. нормальным вектором для первой прямой является вектор n1 {A1,B1}, а для второй n2 {A2 ,B2}, то задача сводится к определению угла между векторами n1 и n2 . Выполним

n OM n прn OM xcos ysin

Т.е. точка М(х, у) лежит на прямой L тогда и только тогда, когда координаты этой точки удовлетворяют уравнению: xcos ysin p 0.

Это уравнение называется нормированным уравнением прямой.

Как привести уравнение Ax + B y + C = 0 к нормированному виду? Так, как уравнения Ax + B y + C = 0 и xcos ysin p 0 должны определять одну и туже прямую, то должно быть:

A2 B2

Знак нужно взять из третьего равенства ct p: поскольку р – расстояние, которое всегда положительно, то знак у t нужно брать противоположным знаку с.

называется нормирующим множителем.

Введем теперь фундаментальное понятие тклонения произвольной точки М от прямой L.

Пусть число d означает расстояние от точки М до прямой L. Назовем отклонением точки М от прямой L число +d, если точка М и начало координат О лежат по разные стороны от прямой L, и число –d в случае, когда М и О лежат по одну сторону от L.

Если же начало координат лежит на прямой L, то отклонение +d положим, когда М лежит по ту сторону от L, куда направлен нормальный вектор n , и –d в противном случае.

Запишем без доказательства, что левая часть нормированного уравнения прямой равна отклонению точки М с координатами (x,y) от прямой, определяемой этим нормированным уравнением. Это дает возможность легко определить расстояние от точки до прямой. Для этого достаточно нормировать уравнение прямой и подставить в него координаты точки (x,y):

d x*cos y*sin p

Уравнение прямой линии в полярных координатах

Из рисунка видно, что:

P

или

acos bsin

Лекция 7.

Линии второго порядка

Линии второго порядка это эллипс, гипербола, парабола. Эти кривые представляют собой так называемые конические сечения. Это сечения конуса плоскостью. В зависимости от того, как проходит плоскость получается либо эллипс, либо парабола, либо гипербола. В механике линии второго порядка определяют траектории движения теля в поле центрального тяготения. Так, материальная точка (спутник) движется в поле тяготения Земли по эллипсу. Если его скорость равна второй космической, то по

параболе, а если превысит вторую космическую – то по гиперболе.

Общее уравнение кривой второго порядка – это полином второй степени:

a11 x2 + 2 a12 x y + a22 y2 + 2 a13 x + 2 a23 y + a33 = 0

В математике доказывается (мы этим займемся через несколько лекций), что путем преобразований координат – поворотов осей и переносов осей можно всегда данное уравнение привести к виду:

a11 x2 + a22 y2 = a33 или y2= 2px

Такой вид уравнения кривой второго порядка называется каноническим.

Более того, доказывается также, что этими тремя линиями ( эллипс, парабола, гипербола)

исчерпываются все линии второго порядка.

Рассмотрим в отдельности каждую кривую.

Каноническое уравнение эллипса. Эллипс получается, если плоскость пересекает все образующие конуса.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная. Очевидно, при совпадении точек

F1 и F2 эллипс представляет собой окружность.

Выведем каноническое уравнение эллипса: выберем начало координат в середине отрезка

F1F2. Обозначим длину отрезка F1F2=2с, а расстояние, о котором мы говорили в определении эллипса – через 2а.

Лучше проделать следующие преобразования: умножим правую и левую части (*) на

разность радикалов

4xc 2a((x c)2 y2 (x c)2 y2 ) , сложим снова с (*) и возведем в квадрат

4((x c)2 y2 ) 4a2 8xc 4x2c2 / a2 _;__ x2 (a2 c2 ) / a2 y2 a2 c2

Отсюда x2 / a2 y2 / b2 1

Величины a и b называются большой и малой полуосями соответственно. Строим эллипс:

Каноническое уравнение гиперболы. Гипербола получается, когда плоскость пересекают образующие обеих полостей конуса.

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых

фокусами, есть величина постоянная.

Выберем опять оси координат и начало координат посередине отрезка F1F2. Расстояние F1F2 равно 2с. А разность расстояний обозначим через 2а.

Аналогично предыдущему выводу уравнения эллмпса, имеем:

Величины a и b называются действительной и мнимой полуосями гиперболы соответственно. Строим гиперболу:

Сопряженная гипербола – ее ветви будут направлены вверх и вниз. Асимптоты гиперболы очевидно определяются уравнениями:

b b

a a

действительная и мнимая оси гиперболы соответственно.

Каноническое уравнение параболы. Парабола получается, когда плоскость, пересекающая конус, параллельна одной из образующих. В механике космического полета существует так называемая параболическая скорость. Иначе еще она называется второй космической скоростью.

Тело, имеющее вторую космическую скорость, движется по параболе, а если скорость больше – то по гиперболе.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F этой плоскости равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой. Точка F называется фркусом параболы, а фиксированная прямая – директрисой параболы.

Для вывода уравнения построим:

Согласно определению:

точки эллипса M(x,y) до фокуса F1 к расстоянию d1 от этой точки эллипса до директрисы D1 есть

величина постоянная, равная эксцентриситету эллипса: r1 e. d1

Действительно:

Теорема доказана.

Определим директрису для гиперболы. Директрисой D1 гиперболы, отвечающей фокусу F1

называется прямая, расположенная в полуплоскости, где расположен фокус F1, перпендикулярно

расстоянию до директрисы d1 равно r1 e. d1

Эти свойства эллипса и гиперболы позволяют дать новое определение этих кривых. Действительно следующее утверждение: геометрическое место точек М на плоскости, для которых отношение е расстояния r до точки F к расстоянию d до некоторой прямой D есть величина постоянная, представляет собой эллипс, если e < 1 или параболу, если e = 1,