Lineynaya algebra i analitich_geom / Ivleva_i_kurs_lekciy_po_lineynoy_algebre_i_analiticheskoy_ge

5.(a b) a b (распределительное свойство относительно суммы векторов).

6.( )a a a (распределительное свойство относительно суммы чисел).

7.( a) ( )a (сочетательное свойство).

Доказываются эти свойства тоже графически.

Рассмотрим теорему 1. Если вектор b коллинеарен вектору a , то существует такое

вещественное число , что b a .

Совместим b и a . В силу коллинеарности они окажутся на одной прямой. Т. е.

равенство длин непосредственно из определения произведения и (*). Наконец, опять из определения произведения следует, что если 0, направления совпадают, и если 0, то a и b -

противоположно направлены.

Определение 1. Линейной комбинацией n векторов мы называем сумму вида

1a1 2a2 ... an n

где i - вещественные числа.

Определение 2. Векторы a1a2...an называются линейно зависимыми, если существуют такие

1 2 ... n , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет место равенство:

1a1 2a2 ... nan 0

Если все i 0, то такие векторы ai называются линейно независимыми.

Докажем теорему 2. Если среди n векторов a1,a2...an хотя бы один нулевой, то эти векторы являются линейно зависимы. Доказательство: пусть для определённости а1 0. Тогда выполняется равенство:

1а1 1а1 ... an n 0

где 1 1; 2 3 n 0.

и по определению линейной зависимости эти векторы линейно зависимы.

Теорема номер три: если среди п векторов аn какие либо (п-1) линейно зависимы, то и все п являются линейно зависимы.

Действительно: линейная зависимость (п-1) векторов означает:

1a1 2a2 ... n 1an 1 0

Добавим сюда равное 0 слагаемое 0 an и получим 1a1 2a2 ... nan 0,

где i не все равны нулю, т.е. теорема доказана.

Линейные комбинации двух векторов.

Теорема 4. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Доказательство необходимости: предположим, что а и b линейно зависимы. Т.е.

a b 0

линейно зависимы в силу теоремы 2. Если а 0и b 0 то в силу теоремы 1 имеем:

b a , или ( 1)b a 0.

Т. к. здесь заведомо (-1) не равно 0, то равенство доказывает линейную зависимость векторов а и b .

Следствие 1. Если векторы а и b неколлинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух неколлинеарных векторов не может быть нулевых. (Иначе они были бы линейно зависимы).

Линейные комбинации трёх векторов Определение: векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости, либо

в параллельных плоскостях.

Теорема 5. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

Необходимость: пусть три вектора линейно зависимы:

a b e 0, 0.

Это равенство означает сложение двух векторов, т.е. все три вектора лежат в одной

плоскости.

Достаточность: пусть a b c компланарны. Исключим случай, когда пара векторов

коллинеарна и когда какой-либо вектор равен 0. Эти случаи тривиальны. Рассмотрим случай, когда

все неколлинеарны.

Перенесём все векторы в одну плоскость. Поскольку они неколлинеарны, то существует их

общая точка пересечения:

c OA OB a b или ( 1)c a b 0. Теорема доказана.

Следствие: Если векторы а иb неколлинеарны, то для любого с , лежащего в одной

плоскости с векторами а и b найдутся такие и , что выполнится равенство:

c a b

Наконец, линейная зависимость трёх векторов.

Теорема 6. Любые четыре вектора линейно зависимы.

Доказательство. Исключим тривиальные случаи, когда один из векторов ноль или когда какиелибо три компланарны. По предыдущим теоремам будут линейно зависимы все четыре вектора. Т.е. все векторы некомпланарны. Сведём их в одну точку и построим параллелепипед:

По теореме 1 найдутся такие числа, что:

OC c

OA a

OB b

Но вектор d равен d OC OA OB или d a b c или ( 1)d a b c 0.

Теорема доказана.

Попутно мы доказали, что если a,b,c , какие-либо некомпланарные, т.е. линейно

независимые векторы, то для любого вектора d можно найти такие числа , , , что

d a b c .

Понятие базиса.

Говорят, что три линейно независимых вектора a,b и c образуют в пространстве базис, если

любой вектор d может быть представлен в виде линейной комбинации векторов a,b,c

координатами вектора d относительно базиса a,b,c . Причём можно доказать, что разложение d по базису a,b,c может быть единственным образом осуществлено.

Определим так называемые афинные координаты. Афинные координаты в пространстве

определяются заданием базиса a,b,c и некоторой точки О, называемой началом координат.

Частным случаем афинных координат являются, очевидно, прямоугольные декартовы

координаты, Здесь введём три взаимно перпендикулярных (ортогональных) единичных векторов

i , j,k . Для каждого вектора d найдётся и при том единственная тройка чисел , такая, что

d xi yj zk

Числа X,Y,Z называют декартовы прямоугольные координаты.

Введём определение проекции вектора на ось v. Дан вектор a AB. Опустим перпендикуляры из точек А и В на ось v. Основания перпендикуляров обозначим А и В .

Проекцией вектора а на ось v назовём величину направленного отрезка А В оси v.

Углом наклона вектора а к оси v назовём угол между направлением вектора а и

направлением оси v. Из рассмотрения треугольника АВС следует, что •рv a a.cos .

Можно доказать, что декартовы координаты X,Y,Z вектора d являются проекции вектора d на оси соответственно ортам:

Три числа cos ,cos ,cos называются направляющими косинусами вектора d .

Длина диагонали параллелепипеда равна d x2 y2 z2

Возведём в квадрат и складывая, получим равенство:

cos2 cos2 cos2 1.

Лекция 5.

Скалярное произведение двух векторов

Определение 1.

Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Будем обозначать символами a b

Вспомним определение проекции вектора на ось:

проекцияb a a cos или проекцияa b b cos

Т.е. другое определение скалярного произведения:

Понятие скалярного произведения родилось в механике. Оно означает работу силы, равной

вектору a на перемещении, равном вектору b.

Два вектора называются ортогональными, если угол между ними равен 90о.

Теорема. Необходимым и достаточным условием ортогональности двух векторов является

Алгебраические свойства скалярного произведения:

переместительное свойство.

Эти четыре свойства позволяют при скалярном перемножении векторных многочленов выполнить действия почленно, не заботясь о порядке и сочетая числовые множители. Используем эти свойства практически. Найдём выражение скалярного произведения в декартовых координатах.

ab x1x2 y1y2 z1z2 .

Для доказательства составим скалярные произведения:

Векторное и смешанное произведения векторов Прежде всего назовём три вектора упорядоченной тройкой, если указано, какой вектор

называется первый, второй и третий. Так, запись a b c означает, что a 1, b 2 , c 3

- правая тройка Определим правую систему координат по правилу правой руки или по правилу буравчика.

Определение: аффинная система координат называется правой, если три базисных вектора образуют правую систему координат.

позволяет записывать смешанное произведение, не указывая при этом, какое произведение векторное, какое скалярное. Обозначается смешанное произведение a b c .

Следствие 2: Необходимым и достаточным условием компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения.

Следствие 3: Смешанное произведение трёх векторов, два из которых совпадают,

равно нулю. В самом деле, такие векторы колмпланарны заведомо.

Алгебраические свойства векторного произведения

1)[ab ] [b a ] - антиперестановочность сомножителей.

2)[( a )b ] [ab ] - сочетательное относительно числового множителя.

3)[(a b )c ] [ac ] [ab ] - распределительное относительно суммы векторов.

4)[ a a ] 0 для любого a .

Для доказательства свойства 1 (ограничимся доказательством только первого

Эти четыре свойства позволяют оперировать при векторном перемножении сомножителями почленно, производить сочетание множителей, не меняя при этом порядок векторного умножения.

Выражение векторного произведения в декартовых координатах

a {x1 y1z1}

Если два вектора имеют координаты b {x2 y2 z2 } , то их векторное

произведение можно найти, опираясь на свойства векторного произведения:

Выражение смешанного произведения в декартовых координатах

Смешанное произведение трёх векторов a b c равняется определителю, строки которого составлены из координат соответствующих векторов.

А это разложение определителя по третьей строке.

Следствие: необходимым и достаточным условием коллинеарности трёх векторов с

Лекция 6.

Аналитическая геометрия

Уравнение линии на плоскости

Прямая на плоскости

Предположим, что на некоторой плоскости нам заданы 1) декартовая прямоугольная система координат 0ху; 2) некоторая линия L. Если указано правило, по которому каждой точке М плоскости (или какой-либо части плоскости) сопоставляется некоторое число z, то говорят, что на плоскости (или ее части) задана функция двух переменных: z = f(x,y).

Рассмотрим некоторое уравнение:

Ф(x,y)=0 (*)

Определение: уравнение (*) называется уравнением линии L, если этому уравнению удовлетворяют координаты х,у любой точки, лежащей на L, и не удовлетворяет координаты х,у ни одной точки, не лежащей на L. Саму линию L называют геометрическим местом точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (*).

Параметрическое представление линии

Часто для аналитического представления линии удобно выражать координаты х,у через некоторый параметр t.

x= (t); y= (t)

К примеру, параметром t может быть время в задаче движения тела по траектории. Так, движение точки по окружности можно описать параметрами:

x = r cos t y = r sin t

Исключим t: x2 + y2 = r2 (sint2 t + cos2 t)=r2

Вид уравнения линии L зависит не только от вида самой линии, но и от выбора системы координат. Уравнение линии меняется при переходе от одной декартовой системы координат к другой, либо при переходе от декартовой системы координат к другой системе.

Полярная система координат

В математике часто применяется эта система. Определяется эта система заданием: некоторой точки 0, называемой полюсом, луча 0А, исходящего из этой точки, называемого полярной осью и

масштаба на этой оси.

Полярными координатами точки М называются два числа: =

ОМ – расстояние от точки М до полюса и - полярный угол. Угол, отсчитываемый против часовой стрелки, считается положительным. Он определен с точностью до оборота: 2 n. Точку М с полярными координатами и обозначают

символом М( , ). Для полюса = 0, а полярный угол не определен. Для того, чтобы между точками плоскости, отличными от полюса и парами чисел ( , ) существовало взаимно однозначное соответствие, считают, что полярные координаты изменяются в следующих границах: