Деление отрезка в данном отношении

Рассмотрим задачу: дан отрезок . Найти точку, которая делитв заданном отношении:(рис. 14).

z A D B О y x Рис. 14

Введем прямоугольную декартову систему координат (пдск) OXYZ, тогда Обозначим

Так как (лежат на одной прямой) и, тоПереходя от этого векторного равенства к равенству соответствующих координат, получим:

(2.3)

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если – середина отрезка, то, поэтому

(2.4)

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Если ,, то точкалежит за пределами: так как, то при

D B A Рис. 15

В этом случае Пусть (рис. 15).

Скалярное произведение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Скалярным произведением векторов иназываетсяскаляр (число), равный .

Скалярное произведение обозначается так: или.

Рис. 16

Так как (рис. 16) или, то .

СВОЙСТВА СКАЛЯРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1. – очевидно из определения.

2.

Доказательство:

3.

Доказательство:

а) – очевидно.

б)

в) В этом случае

4..

Отсюда следует, что

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения:

5.

Доказательство:

а) пусть

б) пусть или, или.

В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что . В третьем случаеили, то есть.

Используя свойства 4 и 5, составим таблицу вычисления скалярного произведения базисных векторов :

Скалярное произведение
	1	0	0
	0	1	0
	0	0	1

Пусть в некоторой пдск . Найдем скалярное произведение этих векторов:

Таким образом, (2.5)

ПРИМЕР. Найти, при каком значении векторыперпендикулярны.

Два вектора перпендикулярны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю (свойство 5), поэтому найдем скалярное произведение по формуле (2.5):

ПРИМЕР. Найти угол между биссектрисой и медианой, если

Так как ,

то . (2.6)

Найдем координаты векторов и. Точка– середина, поэтому по формулам (2.4).

По теореме о биссектрисе внутреннего угла треугольника . Чтобы найти, вычислим длиныи:

Разделим отрезок в данном отношении по формулам (2.3):

,

отсюда .

Заметим, что . Это замечание позволит нам не иметь дело с дробями, так как

ПРИМЕР. Найти , если

Воспользуемся свойствами 1–4 скалярного произведения:

.

Отсюда

ЗАМЕЧАНИЕ. Так как работа силы по перемещению материальной точки вдоль векторавычисляется по формуле, то.