Проекция вектора на ось. Координаты вектора

Осью называется направленная прямая.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортом оси называется единичный вектор, направление которого совпадает с направлением оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортогональной проекцией точки М на ось называется основание М₁ перпендикуляра, опущенного из М на .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ортогональной проекцией вектора на осьназываетсядлина отрезка А₁В₁ этой оси, заключенного между ортогональными проекциями его начала и конца, взятая со знаком «+», если направление вектора совпадает с направлением оси, и со знаком «–», если эти направления противоположны (рис. 8).

Рис. 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Углом между вектором и осью называется угол, на который нужно повернуть в положительном направлении ось до совпадения ее направления с направлением вектора (положительным считается поворот против часовой стрелки).

(рис. 8).

Очевидно, проекцию вектора на ось можно найти по формуле

Можно показать, что проекция линейной комбинации векторов равна такой же линейной комбинации их проекций:

.

В частности, проекция суммы векторов равна сумме их проекций:

.

Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат ХОY. Обозначим – орт оси ОХ,– орт осиOY. Выберем точку , и пусть– проекции ее на ОХ иOY,то есть координаты этой точки (рис. 9).

Y y A2 A A1 О x X Рис. 9

– радиус-вектор точки и , но Аналогично – разложениепо ортам координатных осей(разложение единственно по теореме 1).

Аналогично в пространственной системе OXYZ – орты координатных осей) (рис. 10):

– разложение по ортам координатных осей (единственно по теореме 2).

Z A3 z A O A2 Y y A1 x B X Рис. 10

Таким образом, если задана прямоугольная декартова система координат (пдск), то со всяким пространственным вектором можно связать три числа(или два числа, если вектор плоский), которые являются коэффициентами разложения этого вектора по ортам координатных осей, а также являются проекциями этого вектора на координатные оси.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Координатами вектора в любойпдск называются коэффициенты в разложении этого вектора по ортам координатных осей.

Таким образом, можно дать еще одно определение вектора.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектором называется упорядоченная тройка чисел (упорядоченная пара, если вектор плоский).

ПРИМЕР. Если , то=(2,3,4) и наоборот, если, то

Так как, с одной стороны, вектор – объект, имеющий длину и направление, а с другой, – упорядоченная тройка чисел, то, зная длину и направление, можно определить его координаты и наоборот. Направление вектора в заданной системе координат характеризуется его направляющими косинусами (рис. 11):

.

Пусть

Z O Y X Рис. 11

Из этих формул очевидно следует основное свойство направляющих косинусов: Если известны длина и направляющие косинусы вектора, то его координаты вычисляются по формулам:

z O y x Рис. 12

Пусть – произвольный вектор в системеOXYZ, – радиус-векторы его начала и конца, , (рис.12). Тогда

(см. свойства линейных операций над векторами). Таким образом, , то естьдля определения координат вектора надо из координат его конца вычесть координаты начала.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом в пространстве называется любая упорядоченная тройка некомпланарных векторов (рис. 13).

Рис. 13

Если – базис, то– другой базис, так как изменился порядок следования векторов. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базис называется прямоугольным декартовым, если базисные векторы взаимно перпендикулярны и длина каждого равна 1.

Такой базис принято обозначать .

Из теоремы 2 следует, что всякий вектор может быть разложен по базису, то есть представлен в виде:. Числаназываются координатамив базисе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом на плоскости называется любая упорядоченная пара неколлинеарных векторов.

Если – базис, то представление вектора в виде называется разложениемпо базису и – координаты в этом базисе.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом на прямой называется любой ненулевой вектор этой прямой.