Гипербола

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Гипербола – совокупность точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная, не равная нулю и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Чтобы вывести уравнение гиперболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокусы и, а ось ординат – посередине отрезкаперпендикулярно оси абсцисс. Тогда– фокусы гиперболы (рис. 30). Пусть– произвольная точка, лежащая на гиперболе.

У Х О Рис. 30

–расстояние между фокусами, – модуль разности расстояний от точек на гиперболе дои, (рис. 30). Запишем свойство точек, принадлежащих гиперболе, сформулированное в определении:

, (3.16)

(3.16) – уравнение гиперболы в выбранной системе координат ( «+» – если разность расстояний положительна, и «–» – если отрицательна). Чтобы привести это уравнение к более простому виду, умножим (3.16) на сопряженное выражение и выполним такие же действия, как при упрощении уравнения эллипса, после чего получим:

. (3.17)

По определению Обозначим, тогда (3.17) перепишется в виде:

, (3.18)

(3.18) – каноническое уравнение гиперболы.

Исследуем форму гиперболы по ее каноническому уравнению.

Из (3.18) следует, что гипербола симметрична относительно осей координат. Если , значит, точек пересечения снет; если, то. Точки пересечения с осями симметрии называютсявершинами гиперболы. Кроме того, из (3.18) следует, что . Точка пересечения осей симметрии называетсяцентром гиперболы. Ось симметрии, на которой расположены фокусы, называется фокальной осью. При этом фокальная ось также называется действительной (с ней гипербола пересекается), а ось симметрии, с которой гипербола не пересекается, называется ее мнимой осью.

–полуфокусное расстояние, –действительная полуось, –мнимая полуось. Отношение полуфокусного расстояния к длине действительной полуоси называется эксцентриситетом гиперболы: . Так как по определению, то.

Считая, что из (3.18) получим, что– уравнение части гиперболы, расположенной в первой четверти. Заметим, что при неограниченном возрастанииразность, то есть при достаточно большихгипербола приближается к прямой, причем ординаты точек на ней меньше соответствующих ординат точек на этой прямой:. Прямаяназываетсяасимптотой гиперболы.

У b -c -a О a c Х -b Рис. 31

Из симметрии гиперболы следует, что то же самое происходит во второй, третьей и четвертой четвертях. Поэтому – также асимптота. Итак, прямые –асимптоты гиперболы (3.18), а гипербола – кривая, состоящая из двух ветвей (рис. 31).

Если фокусы гиперболы лежат на , то ее уравнение имеет вид:

(3.19)

Гиперболы (3.18) и (3.19) называются сопряженными (рис. 31). Уравнения асимптот (3.19) такие же, как и для (3.18), но действительной является ось .

Если , то гипербола называется равносторонней:– уравнения ее асимптот (рис. 32 ).

У -a О a x Рис. 32

Очевидно, в этом случае асимптоты перпендикулярны. После поворота осей координат на против часовой стрелки, получим гиперболу, задаваемую уравнением. ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если центр гиперболы в точке , а оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид . (3.20)

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка гиперболического типа относится также пара пересекающихся прямых: .

ПРИМЕР. Найти координаты центра и написать уравнения асимптот гиперболы .

Приведем данное уравнение к виду (3.20):

Таким образом, – центр, а– уравнения асимптот данной гиперболы.