Парабола

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Парабола – совокупность точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, и фиксированной прямой, не проходящей через эту точку, называемой директрисой.

Чтобы вывести уравнение параболы, выберем пдск следующим образом: ось абсцисс проведем через фокус перпендикулярно директрисе, а ось ординат посередине между фокусом и директрисой (рис. 33).

Пусть расстояние между фокусом и директрисойравно. Тогда. Если– произвольная точка на параболе, то по определению

y K M D О F x Рис. 33

. (3.21)

(3.21) – уравнение параболы в выбранной системе координат.

Упростим его:

, (3.22)

(3.22) – каноническое уравнение параболы; называется ее параметром.

Из уравнения следует, что парабола симметрична относительно и проходит через начало координат. Кроме того, если, то, поэтому кривая лежит в правой полуплоскости и с ростом величинытакже растет. Точка пересечения параболы с осью симметрии называется ее вершиной (рис. 34).

y О F x	y F О x
Рис. 34

Если фокус параболы на оси ОУ (рис. 35), то ее каноническое уравнение имеет вид .

y F О x	y О x F
Рис. 35

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Если вершина параболы в точке и ось симметрии параллельна, то ее уравнение имеет вид.

ЗАМЕЧАНИЕ 2. К кривым второго порядка параболического типа относятся также – пара совпадающих прямых;– пара параллельных прямых;– пара мнимых параллельных прямых.

ПРИМЕР. Написать уравнение геометрического места точек, равноудаленных от прямой и точки.

По определению множество точек, равноудаленных от данных точки и прямой, является параболой. Пусть – произвольная точка искомой параболы, тогда. Расстояние от точкидо прямойвычисляется по формуле (3.8):. Из условия следует, что

–уравнение искомого геометрического места точек.

У -3 x F -2 Рис. 36

Если оси координат системы повернуть на угол так, чтобы одна из них стала параллельна директрисе, а затем перенести начало координат в точку – вершину параболы, то в новой системе уравнение параболы будет каноническим(рис. 36).

ЗАМЕЧАНИЕ. Можно показать, что, кроме окружности, эллипса, гиперболы, параболы и вырожденных случаев, указанных в замечаниях, других кривых второго порядка не существует.