Однородные системы линейных уравнений

Система линейных уравнений вида

(1.15)

называется однородной.

Однородная система всегда совместна, так как – ее решение. Такое решение называетсянулевым или тривиальным.

ТЕОРЕМА. Для того чтобы система линейных однородных уравнений (1.15) имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее основной матрицы был меньше числа неизвестных.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1) Достаточность: (1.15) имеет нетривиальное решение.

По теореме о числе решений система в этом случае имеет бесконечное множество решений, среди которых содержатся и нетривиальные.

2) Необходимость: (1.15) имеет нетривиальное решение .

Пусть , тогда по теореме о числе решений система (1.15) имеет единственное решение. Это решение тривиальное, что противоречит условию. Поэтому сделанное предположение неверно и.

СЛЕДСТВИЕ. Для того чтобы однородная система уравнений снеизвестными имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы ее основной определитель был равен нулю.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

1) Достаточность: система имеет нетривиальное решение.

Так как единственный минор -го порядка равен нулю, то, значит, нетривиальное решение существует.

2) Необходимость: система имеет нетривиальное решение .

Если , то не равен нулю минор-го порядка основной матрицы, значит,и решение единственно, что противоречит условию.

Метод гаусса

Этим методом можно решить любую систему линейных уравнений (1.14) или доказать, что она несовместна. Он состоит в последовательном исключении неизвестных системы (1.14) по следующей схеме: выписывается расширенная матрица системы и приводится к наиболее простому виду – треугольному или виду трапеции – с помощью следующих преобразований над еестроками:

1) перемена местами двух строк (уравнений);

2) умножение любой строки (уравнения) на число ;

3) отбрасывание одной из двух равных или пропорциональных строк (уравнений) ;

4) прибавление к любой строке (уравнению) другой строки (уравнения), умноженной на число .

После выполнения преобразований возможны три случая:

а). В этом случаеэквивалентна треугольной матрице и

, значит, решение системы единственно. Последовательно вычисляя неизвестные снизу вверх, находим решение системы.

б). В этом случаеэквивалентна трапециевидной мат-

рице, значит, и система имеет бесконечное множество решений: () переменных перенесем вправо и будем считать их свободными (известными), тогда оставшиесяпеременных определятся единственным образом как функции свободных.

в). В этом случае, и система несовместна.

ПРИМЕР. Решить систему линейных уравнений: .

Выпишем расширенную матрицу и системы и упростим ее с помощью элементарных преобразований над строками:

Очевидно, что по теореме

Кронекера-Капелли система совместна.

, значит, по теореме о числе решений система неопределенная, то есть имеет бесконечное множество решений и – число свободных переменных.

Выпишем систему, соответствующую матрице и эквивалентную исходной:

.

Перенесем в правую часть переменные , считая их свободными (– зависимые переменные):

.

Теперь подставим в первое уравнение и выразимчерез свободные переменные:

–общее решение системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Общим решением системы (1.14) называется решение, содержащее информацию обо всех неизвестных, в котором зависимые переменные выражаются как функции свободных.

Решение, полученное из общего при конкретных значениях свободных переменных, называется частным решением.

Например, частными решениями этой системы являются:

Сделаем проверку частного решения (для всех уравнений исходной системы!):

.