Векторное произведение векторов

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Тройка некомпланарных векторов , имеющих общее начало, называетсяправой (левой), если с конца третьего вектора вращение первого векторако второму векторупо кратчайшему пути наблюдается против (по) часовой стрелки (рис. 17).

Рис. 17	–левая тройка, –правая тройка, –левая тройка.
Рис. 18	–правая тройка (рис. 18).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Векторным произведением вектора на векторназывается вектор, удовлетворяющий условиям:

1. (перпендикулярен плоскости векторови).

2. Направление таково, что тройка– правая.

3. .

Векторное произведение обозначается так: или.

ЗАМЕЧАНИЕ 1. Геометрический смысл векторного произведения: длина векторного произведения численно равна площади параллелограмма, построенного на этих векторах.

.

Это следует из того, что площадь параллелограмма равна произведению длин смежных сторон на синус угла между ними.

Заметим, что

Таким образом, длину вектора векторного произведения можно вычислить с помощью скалярного произведения по формуле

. (2.7)

ПРИМЕР. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах

.

По формуле (2.7):

ЗАМЕЧАНИЕ 2. Направление вектора можно также (кроме п.2) определить по правилу винта: направление векторасовпадает с направлением поступательного движения винта в правой резьбой при вращении его в сторону поворота первого векторако второму векторупо кратчайшему пути (рис. 19).

Рис. 19

СВОЙСТВА ВЕКТОРНОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ

1.

Доказательство:

а) пусть или, или. В первом и втором случаях один из сомножителей – нулевой вектор. Его направление не определено, поэтому можно считать, что. Если, тоили, то есть.

б) пусть или

2. .

Доказательство: По определению направления векторов ипротивоположны, а модули равны, значит, векторы отличаются лишь знаком.

3. – свойство линейности векторного произведения по первому сомножителю (без доказательства).

Векторное произведение также линейно и по второму сомножителю.

Используя определение и свойства 1 и 2, составим таблицу вычисления векторного произведения базисных векторов : векторы, стоящие в левом столбце, умножаются на соответствующие векторы верхней строки (рис. 20).

Векторное произведение				Рис. 20
			-
	-
		-

Пусть в некоторой пдск . Найдем векторное произведение этих векторов:

Заметим, что это выражение можно получить, вычислив символический определитель (сделать это можно по-разному, но лучше разложить по первой строке):

.

Таким образом,

. (2.8)

ПРИМЕР. Вычислить векторное произведение векторов

По формуле (2.8):

Заметим, что площадь треугольника, построенного на векторах и, можно вычислить двумя способами: как половину длины найденного вектора или используя формулу (2.7). Заметим, что.

или

ПРИМЕР. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах и, если

Так как , то вычислим векторное произведение, используя его свойства:.

Отсюда