5.3. Введение в плотностную n-мерность

Пространственное расположение фигур и расстояния между ними описываются в современной геометрии в основном методами координат, и в частности декартовых. Три взаимно ортогональные координатные оси обусловливают возможность привязки к их пересечению всех точек пространства. Метод базируется на постулировании независимости и равнозначности каждой координатной оси, а их общее количество как бы отображает трехмерность реального пространства. И остается под вопросом возможность существования большего количества мерностей. Однако, как уже упоминалось, это не мешает математикам оперировать с любым количеством мерностей. Основа этих п-мерных операций заложена в постулате Римана о многократно протяженных величинах. Им, вслед за Декартом, постулируется, что все координатные оси равнозначны и каждое сверхтрехмерное измерение является самостоятельной мерностью, не связанной ни со свойствами пространства, ни со свойствами тел.

Но природа едина, свойства ее взаимосвязаны, она не излишествует свойствами, обладающими «свободной волей», и поэтому надо искать в отображениях ее образований подсказку того, как и в чем проявляет себя пространственная n-мерность. За геометрической подсказкой снова обратимся к евклидовой геометрии.

Одной из наиболее известных теорем этой геометрии, как неоднократно подчеркивалось, является теорема Пифагора. В ней утверждается, что:

«Квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов».

Это знали еще древние египтяне, а священный прямоугольный треугольник со сторонами численно равными 3, 4 и 5, служил основой построения прямого угла на плоскости и носит название священного египетского треугольника.

Теорема проста, и ее изучение в школе сопровождается иллюстративным доказательством справедливости посредством построения на каждой стороне треугольника квадрата. Если же площади квадратов сложить, то они оказываются равными площади квадрата гипотенузы:

a² + b² = c². (5.8)

В аналитической геометрии уравнение (5.8), путем деления левой части на правую часть, превращается в уравнение окружности на плоскости:

a²/c² + b²/c² = 1. (5.9)

Особенность уравнения (5.8) в том, что подстановка в его левую часть вместо индексов а и b квадратов последовательности чисел а = 3 и b = 4 приводит к получению квадрата следующего числа натурального ряда с = 5. Существует еще одно аналогичное (5.8) суммирование, но уже не квадратов сторон, а их кубов:

a³ + b³ + c³ = d³. (5.10)

И в этом уравнении сумма кубов, построенных на длинах последовательного числового ряда египетского треугольника а = 3; b = 4; с = 5, равна кубу длины следующего числа ряда  6. Поскольку кубы образуются на базе метрического числового ряда, то сумма их, равная кубу последующего числа, смотрится как некоторая случайность. Но два уравнения, подчиняющиеся одинаковой последовательности (5.9) и (5.10), образоваться случайно уже не могут. Они  следствие непознанной закономерности.

Логика геометрических построений подсказывает, что на этом ряд степенного суммирования не заканчивается и следует ожидать его продолжения добавлением к уравнению (5.10) очередной цифры числового ряда, а к показателю степени  очередной единицы.

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴ (5.11)

Но, увы, левая сумма неравенства (5.11) не равна четвертой степени очередного числа. И на этом степенная последовательность уравнений как бы прерывается. Однако остается вопрос: почему она прерывается? Вопрос важен и потому, что со временем уравнение (5.8) стало геометрическим аналогом двумерного пространства, а подобное ему по структуре уравнение (5.10) аналогом трехмерного пространства. И не может ли неравенство (5.11) оказаться некоторым аналогом пространства четырехмерного?

Рассмотрим этот проблематичный ряд несколько с иной позиции. Уравнение (5.9) подсказывает, что в египетском треугольнике может быть зашифрована не сумма квадратов катетов, а сумма площадей некоторых окружностей, имеющих радиусом модуль чисел египетского треугольника. И это достаточно просто показать, превратив уравнение (5.8) из суммы площадей квадратов в сумму площадей окружностей, добавив в качестве сомножителя каждого члена :

a² + b² = c² (5.12)

Становится ясным то, что сумма квадратов площадей (5.8) была получена так же, как и третий закон Кеплера, посредством сокращения всех членов уравнения (5.12) на общий для них коэффициент . Результатом сокращения стало изменение смыслового значения самого уравнения. Иррациональная площадь одних фигур  кругов оказалась подменена рациональными площадями других фигур  прямоугольных треугольников. (Очередной пример изменения качественной значимости уравнения при сокращении всех его членов на иррациональный коэффициент.)

Однако в (5.12)  не коэффициент пропорциональности радиуса и окружности.   это их соизмеримость. И в (5.12) складываются не площади. Сложение плоскостей и объемов _п  мерностей есть сложение иррациональных степенных отображений свойств. Есть соизмерение несоизмеримого. Соизмеримость новое качество, элемент бесконечности и поэтому складываются степенные образования, а сложение оказывается элементом неопределенности. И поэтому сокращение на  в принципе невозможно ни в одной математической операции, поскольку сопровождается качественным изменением смысла уравнения, неявным превращением иррационального в рациональное. Отсюда следует, что уравнение (5.8) качественно отличается от уравнения (5.12). Например, иррациональная неопределенность отсутствует у площадей многоугольников и их можно складывать в любых операциях. Сложение таких площадей не сопровождается появлением иррациональностей (конечно, если стороны многоугольников не иррациональны). При сложении площадей кругов или объемов шаров наличие иррациональности неизбежно как следствие иррационального качества соизмеримостей.

И

Рис. 74.

з (5.12) следует, что в действительности складываются площади, но не треугольников, а двумерных окружностей. И сумма двух площадей, образуемых радиусами числовой последовательности 3, 4, составляет площадь окружности с радиусом 5. Если считать, что стороны египетского треугольника являются радиусами некоторых окружностей, то на их базе можно построить три взаимно пересекающиеся окружности. На рис.74 приведен один из вариантов такого построения. Взаимное расположение окружностей по координатным осям как бы показывает, что метричность двумерного пространства не меняется при любом положении окружностей в нем. Эту неизменность и демонстрирует равенство суммы площадей двух меньших окружностей  большей. Именно этот результат заставляет предположить, что формула (5.10) описывает аналогичное сложение объемов.

Переходя теперь к уравнению (5.10), следует отметить, что и его достаточно просто можно превратить в сумму, но уже не площадей окружностей, а объемов сфер-шаров на базе радиусов того же последовательного ряда чисел умножением каждого члена уравнения на коэффициент 4/3:

4/3a³ + 4/3b³ + 4/3c³ = 4/3d³. (5.13)

И здесь, аналогичным сокращением на 4∕3 из шаров численно неопределенного объема были получены численно определенные кубы (5.10), которые окончательно скрыли зависимость количественной величины  от мерности, а, следовательно, и плотности получаемой геометрической фигуры. Уравнение (5.13), хотя и аналогично уравнению (5.10) по структуре и как бы следует из него, являет совершенно иной физический смысл. Оно показывает, что в трехмерном пространстве три радиуса любой области одной как бы рациональной числовой последовательности а, b, с, образуют сферы-шары, суммарный объем которых равен объему четвертой сферы  шару с радиусом d из той же числовой последовательности.

Таким образом, последовательность уравнений (5.12) и (5.13) демонстрирует некоторую однородность и изотропность двумерной и трехмерной части пространства. И эта однородность прерывается на неравенстве (5.11) либо потому, что мир трехмерен, либо потому, что переход в более высокие измерения сопровождается изменением плотностной метричности пространства, а, следовательно, и изменением численной величины коэффициента . В этом случае уравнение числовой последовательности (5.13) запишется следующим образом:

4/3a⁴ + 4/3b⁴ + 4/3c⁴ + 4/3d⁴ = 4/3_ee⁴. (5.14)

Если считать, что каждое слагаемое имеет собственное числовое значение, соответствующее п-мерности, то логика последовательности может быть показана построением пространственного мерного ряда уравнений (Таблица 6).

Предположим, что:

а - индекс какого-то числа натурального ряда или абстрактное числовое обозначение длины, не связанной с плотностной мерностью;

а¹ - длина одномерного луча;

aⁿ, bⁿ, cⁿ, l,…, kⁿ - длины лучей, у которых показатель степени

соответствует мерности пространства.

Таблица 6

Мерность пространства	Уравнения
Безмерностное	a
Одномерное	a1 = b1
Двумерное	a2 + b2 = c2
Трехмерное	a3 + b3 + c3 = d3	(5.15)
Четырехмерное	a4 + b4 + c4 + d4 = e4
Пятимерное	a5 + b5 + c5 + d5 + e5 =f5
... ... ... ... ...	... ... ... ... ... ... ... ...
n  мерное	an + bn + cn + ... + kn = ln

Этот ряд:

- логически последователен;

- свидетельствует о том, что пространство многомерно, а количество членов левой части уравнений, и числовое значение степени при них соответствует номеру мерности;

- показывает, что координатные оси не равнозначны. Каждая ось многомерного пространства связана со всеми остальными;

- что существуют ортогональные и не ортогональные координатные оси;

 двух  и трехмерная ортогональность обусловливает через  некоторую стабильность метричности, которая следует из уравнений (5.12) и (5.13);

 nмерность пространства, похоже, характеризуется возрастанием пространственной плотности.

Отметим еще раз, что левая часть уравнений (5.15),  суммируемое количество степенных осей-лучей, как и показатель степени при них, соответствует мерности рассматриваемого пространства, и потому переход от кубичности длин к п-мерности суммируемых сфер-шаров происходит умножением трехмерных длин на коэффициент 4/3₂, а всех последующих на 43_n-2. И в модифицированных уравнениях сумма мерных величин будет приводиться к следующему виду:

4/3aⁿ + 4/3bⁿ + 4/3cⁿ +...+ 4/3kⁿ = 4/3_n-2lⁿ. (5.16)

Из уравнения (5.16) следует, что его левая часть есть определенная числовая последовательность объемного, для данной мерности, типа. И, в первом приближении, констатируется, что коэффициенты 4/3 и  остаются неизменными в трех мерностях. А каждый прибавленный член последующей мерности находится из решения предыдущего уравнения. Он-то и определяет степень плотностной деформации пространства в данной мерности и в систему суммирования левой части входит в недеформированном виде как натуральный член числового ряда.

Однако в современной геометрии не деформируемое  постулируется неизменным коэффициентом, который количественно равен числу 3,14159.... и остается, как полагают, неизменным не только в трехмерном евклидовом пространстве и при описании плоскостей этого пространства, но и при описании объемных пространственных мерностей.

Думается, что здесь мы имеем дело с другими факторами. Обратим внимание на то, что одномерное пространство - линия  не имеет никакого пространственного коэффициента. Это и понятно - она ничего не образует и потому для нее ₁ = 1, и потому, не обнаруживается в уравнениях. Но вот круг  плоская фигура, качественно отличающаяся от линии, и образование круга на плоскости сопровождается появлением трансцендентного коэффициента ₂ = 3,14159.... единого для окружностей любых недеформированных плоскостей.

Переход от плоскости к пространству сопровождается новым изменением коэффициента связанного с окружностью. Безразмерностный трансцендентный коэффициент ₂ умножается на такой же безразмерностный, но уже иррациональный коэффициент 43 = 1,333333... и в этой связке употребляется во всех расчетах. Но правильно ли такое понимание объемности? Не имеем ли мы дело с другим безразмерностным, трансцендентным, объемным коэффициентом равным 43₂ = ₃ = 4,18879.... . И не свидетельствует ли этот трансцендентный коэффициент 4,18879... о том, что существует определенное изменение качества при переходе от плоскостных фигур к объемным фигурам. То есть каждое изменение численной величины пространственной мерности сопровождается изменением пространственного коэффициента . К тому же образующиеся в точечных местах координатные оси не равнозначны (метрически), скорее они отражают изменение плотности пространства , а не возникновение новых координатных осей (мерностей) 35. Отметив такую возможность, проведем расчеты по выявлению плотностной мерности пространства учитывая, что степень деформации определяется числом _п-2 и индивидуальна для каждого  при п > 2.

Проведем, используя в качестве примера, параметры чисел египетского треугольника, расчет для четырех- и пятимерного пространства:

4/3(a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴) = 4/3₄e₄⁴. (5.17)

где: e₄  количественная величина радиуса четырехмерного, объемного образования, равного сумме объемов левой части уравнения; ₄  коэффициент отношения окружности к диаметру в четырехмерном пространстве.

Имеем:

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = ₄e₄⁴ /₃. (5.18)

Поскольку очередной член числового ряда е = 7, то

e⁴ = ₄e₄⁴/₃. (5.19)

Подставляя значение e₁⁴ из (5.19) в (5.17), имеем:

a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ = e⁴. (5.20)

Перейдем к числовой записи:

3⁴ + 4⁴ + 5⁴ + 6⁴ = e⁴

Решая уравнение (5.20), получаем, что e = 6,8933604..., и находим значение ₄ :

₄ = e⁴₃/e₄⁴ = 3,3405509,

где ₄  коэффициент четырехмерности. Для нахождения коэффициента пятимерности ₅ продублируем уравнение (5.17) для пяти членов в левой части:

4/3(a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ + e⁵) = 4/3₅f⁵.

Приравнивая правую часть

f⁵ = ₄₄⁵/₅

и имеем следующее числовое уравнение:

3⁵ +4⁵ + 5⁵ + 6⁵ + 7⁵ = f⁵.

Определяем величину пятимерного радиуса f⁵ = 7,8055712 и по нему находим ₅:

₅ = f⁵₄/f₅⁵ = 3,55284.

Аналогичным образом можно получить _n любой плотностной мерности.

Появление многих _п свидетельствует об изменении плотности пространства от некоторой поверхности к центру, о «подвижности» трансцендентного соизмерения. Сама трансцендентность числа  означает его «нераскрытость» (своего рода сакральность), поскольку нам неизвестны точные величины пропорционирования динамической окружности с радиусом.

Уравнение плотностной, пространственной размерности (5.15), начинающееся в числовом отображении с цифры 3 может начинаться и с числа 1 (что одно и то же). В этом случае оно имеет следующую _п-мерную числовую последовательность:

1 = 1,

1² + 1,333²... = 1,666²..., (5.15)

1³+ 1,333³ + 1,666³ = 2³ ... и т.д.

Где 1,333... и 2  коэффициенты трехмерности, такие же, как  для двухмерности. И, следовательно, встречающаяся во многих уравнениях цифра 2, рассматриваемая как удвоение какого-то параметра, может в отдельных конкретных случаях играть роль неявного индекса трехмерности, так же как и 43 = 1,333.... И, возможно, коэффициенты многомерности образуются именно набором чисел, входящих в уравнения (5.15), (5.15).

Таким образом, обращение к основам геометрии Евклида позволило нам перейти от трехмерной плотности пространства к плотности многомерной. Но в данном случае многомерность не является дополнительной размерностью к трем существующим. Числа, члены матричных уравнений, отображая различную плотностную мерность, остаются взаимосвязанными объемами одного пространства, различные точки которого имеют неодинаковую пространственную плотность. Последние и сравниваются с плотностью точек, входящих в квантованные уравнения посредством пространственных коэффициентов соизмерения _n. Они, похоже, отличают плотностную деформированность различных областей пространства, приводя ее к некоей одной деформированности, с использованием пространственных коэффициентов, своих для каждой его точки.

Можно констатировать, что изменение пространственной мерности сопровождается не увеличением количества координатных осей, а изменением плотности рассматриваемой области и служит различная количественная величина  отображающая плотностную деформацию соответствующего п - мерного пространства. Поскольку на сегодняшний день и физики и математики исходят из неизменности , то поколебать эту убежденность могут только конкретные доказательства истинности новых значений , например, посредством образования с _п количественной величины некоторых известных в физике безразмерных коэффициентов. Именно такую операцию еще четверть века тому назад предлагал П. Дирак 36 для вычисления самой фундаментальной константы квантовой механики  постоянной тонкой структуры . Приведем дословно его высказывание:

«Одна из них  величина, обратная знаменитой постоянной тонкой структуры hс2е². Она является фундаментальной константой в атомной физике и приблизительно равна 137. Другая безразмерная постоянная определяется отношением массы протона к массе электрона m_p/m_e и составляет около 1840. Удовлетворительного объяснения этих чисел пока нет, но физики надеются, что, в конце концов, оно будет найдено. Тогда приведенные постоянные вычислялись бы с помощью основных математических уравнений; вполне вероятно, что подобные постоянные составлены из простых величин типа 4». (п ∕ж курсив наш - Авт.)

Это предположение было высказано П. Дираком четверть века назад. Но и до сих пор многочисленные попытки вычисления этих констант с использованием трехмерного  не приводят к желаемому результату. Применение плотностных n - мерных , похоже, позволяет приблизиться к решению проблемы. Прежде чем приступать к качественному расчету, попробуем представить, какими величинами «оперирует» природа при построении плоскостей и объемов. Расстояния, плоскости и объемы в природе отсутствуют. Все эти понятия придуманы человеком для облегчения восприятия и описания окружающего мира. В природе имеются только волновые взаимодействия и вещественная среда тел, обусловливающая данные взаимодействия. И эти целостные взаимодействия мы, для получения необходимых результатов, вынуждены расчленять и интегрировать самыми разными способами, не имея даже представления о том, корректно это делается или не очень.

Не исключено, что длину окружности, как и объем, «правильнее» получать не как произведение 2, а как некое r∩² где ∩ = √. То есть пространственный коэффициент соизмерения  в природе не возрастает (и, соответственно, уменьшается) в п раз, а изменяется в степенной пропорции. В этом случае нахождение постоянной тонкой структуры  формализовать достаточно просто исходя из того, что трехмерность равна плоскому , умноженному на пространственный коэффициент трехмерности  = 1,33333...: ₃ = .

Тогда один из вариантов получения :

 = 4² (√)³ = 137,168

Можно полагать, что  = 137,168 - есть некая грань-сфера между трехмерной и четырехмерной плотностью пространства. Причем количественная величина  является «плавающей» характеристикой, зависящей и от свойств атома, и от свойств элементарной частицы, преодолевающей эту сферу (например, для электрона водорода граница близка к 137, а урана к 137,16). Для пространств различных атомов она, вероятно, варьируется от 137,000 до 137,168 и непреодолима для элементарных частиц без изменения их качества. Она свидетельствует, например, о том, что электрон является трехмерной частицей и, «преодолевая» грань-сферу трехмерность-четырехмерность, «разваливается» на два четырехмерных кванта, а фотон, в свою очередь, частица четырехмерная и потому практически не реагирует на воздействие электромагнитных полей трехмерного мира. Преодолевая сферический барьер четырехмерность-трехмерность, он тоже «разваливается» на трехмерностный электрон и позитрон.

Основываясь на разделении пространства по плотностям, можно показать, что размер, известный как классический радиус электрона l; l = e²/mс², есть, по-видимому, расстояние от центра ядра атома до границы перехода из третьего измерения в четвертое, т.е. в область, в которой электрон достигает световой скорости и стоит на «пороге» перехода в четвертое измерение (фотон, находящийся за этой границей, движется всегда со световой скоростью). Определим инвариант скорости v электрона на боровской орбите радиусом а:

аv² = 2,5310⁸, (5.21)

и посмотрим, на каком расстоянии l от центра ядра скорость электрона будет равна скорости света. Подставим в инвариант (5.21) вместо v скорость с, и получим l:

l = 2,5310⁸с² = 2,81410^-13 см,

именно это расстояние и принимается за классический радиус электрона.

По современным представлениям размеры ядер атомов находятся в пределах 10^-13 см. Но из данного расчета следует, что l  не классический радиус электрона и не размер ядра, а граничная сфера между четвертой и пятой плотностной мерностью пространства атома и, следовательно, границу поверхности ядра надо отодвинуть как минимум на два-пять порядков.

Перейдем к рассмотрению другого коэффициента 1840, не имеющего индексации. Обозначим его в данной работе, через , и, рассуждая аналогично предыдущему случаю, приходим к выводу, что по своей величине он должен отражать плотность, находящуюся ближе к поверхности ядра, чем  (не исключено, что к поверхности ядра эфирного атома  псевдоатома, или плотность самого ядра). Скорее всего, эта сферическая поверхность является гранью между четвертым и пятым плотностным измерением. Если предположить, что коэффициент трехмерности 1,3333... содержат все _n, то плотностные расчеты можно производить без коэффициента трехмерности. Находим  как границу четвертого измерения при ₄ = 3,34055... . Формула очень проста и потому несколько сомнительна, хотя результат достаточно правдоподобен:

 = 4₄= 1831,11.

Сразу получаем величину, очень близкую к искомой. Но есть, по-видимому, более корректный результат по ₅

 = 4²₅ = 1838.

Некоторое доверие вызывает то обстоятельство, что в обеих формулах присутствует постоянная тонкой структуры  и коэффициент 4, как это и предполагал П. Дирак. К тому же если  есть переход из третьего плотностного измерения в четвертое, то   из четвертого в пятое, и таким образом, в полученных формулах оказываются, задействованы коэффициенты всех переходных пространств. Граница  между плотностью четвертой и пятой мерностей, вероятно, тоже «плавает» в атомах различных элементов в пределах 1830  1840 и непреодолима для световых фотонов. Именно невозможность ее преодоления фотонами и обусловливает существование преломления и отражения света. И надо полагать, что коэффициент  есть не отношение масс протона к массе электрона, а еще неизвестное отношение плотности пятимерного пространства к плотности четырехмерного. Нельзя исключить и того, что высокая плотность пятимерного пространства оказывается основным фактором существования сильного взаимодействия, поскольку это взаимодействие проявляется именно на таком расстоянии от центра ядра. (Вероятно, как сильное взаимодействие, приборно фиксируется изменение скорости течения времени вблизи ядра.) Тогда слабое взаимодействие может оказаться связанным с переходом из трехмерного пространства в некое промежуточное с двумерным. (А это означает, что и пространственная мерность может оказаться нецелочисленной как вглубь, так и наружу).

Таким образом, вероятность представления о плотностной _п-мерности пространства как об изменении пространственной плотности можно считать достаточно убедительным и отметить следующую градацию плотностной мерности: коэффициент трехмерности равен 43₂ = ₃ = 4,18879..., четырехмерности ₄ = 4,45407..., пятимерности ₅ = 4,73713..., шестимерности ₆ = 4,9812035..., семимерности ₇ = 5,1839564..., восьмимерности ₈ = 5,3532381... и т.д. Естественно также, что они должны быть каким-то образом взаимосвязаны. И эта взаимосвязь прослеживается методом трехчастных делений - методом вурфов. Познакомимся в общих чертах с этим методом.