2.4. Статика и динамика пятой

аксиомы Евклида

Созданные в  веке до нашей эры сочинения Евклида под названием «Начала» до ХХ-го века составляли основу всех геометрических знаний. В них геометрия излагалась как небольшое количество априорных аксиом, из которых логическим путем выводятся все теоремы геометрии. Аксиомы в количестве девяти составляют ее основу, а пять первых, определяют метод аксиоматизации и сформулированы Евклидом в следующем виде 22

«Чтобы от каждой точке к каждой точке можно провести прямую линию.

И чтобы ограниченную прямую можно было непрерывно продолжать до прямой.

И чтобы из любого центра любым радиусом можно было описать окружность.

И чтобы прямые углы были друг другу равны.

И чтобы всякий раз, как прямая, пересекая две прямые, образует с ними внутренние, односторонние углы, составляющие меньше двух прямых, эти прямые при неограниченном продолжении пересекались с той стороны, с которой эти углы составляют меньше двух прямых.»

(Дословный перевод пятого постулата Евклида; «Если прямая, падающая на две прямые, образует внутренние и по одну сторону углы, меньшие двух прямых, то продолженные эти две прямые неограниченно, встретятся с той стороны, где углы меньше двух прямых 3.)

Из определения сразу следует, что пятая аксиома в формулировке Евклида по содержанию статична, но динамику в нее вносит возможность их неограниченного продолжения до пересечения. Она резко отличается от первых четырех. Можно было полагать, что это не аксиома, а теорема. Однако многочисленные попытки представить ее теоремой оказались безуспешными. Достаточно четкое логическое обоснование теоремы отыскать не удавалось. К тому же это логическое обоснование и не очень-то требовалось в рамках евклидовой геометрии. Не требовалось потому, что в основу ее была положена многовековая эмпирика многочисленных поколений древних геометров и единая метричность всех геометрических фигур. И в геометрических доказательствах главенствующая роль принадлежала очертанию и измерению. Слабость логического обоснования отсутствия пересечения параллельных на значительных расстояниях (на бесконечности), компенсировалось просто и доказательно параллельным переносом на бесконечность мерного отрезка, равного расстоянию между прямыми. Наглядным образом параллельного переноса могли служить следы колес прямолинейно движущейся колесницы. Иное было непредставимо для греков. Отметим, что образующий луч «соединяющий» точки двух параллельных прямых, функцию которого выполняет ось колесницы, имеет очень большое значение для теории. Его отсутствие в евклидовой геометрии способствовало, по-видимому, появлению противоречивых «неевклидовых» геометрий.

Да и сейчас мы не сможем логически доказать древним грекам, что колеса тепловоза, движущегося миллионы-миллиарды лет по рельсам бесконечной протяженности, где-то там на бесконечности поменяются местами и правое колесо побежит по левому рельсу, а левое  по правому. Однако именно такое понимание и следует из логики геометрических представлений пересечения параллельных на бесконечности. То есть там, где мы не наблюдаем условий движения и не представляем, в каком пространстве оно происходит. Но можно ли полагать, что данное представление истинно?

Проанализируем граничные условия существования первых пяти аксиом исходя из того, что геометрия Евклида отображает актуальную бесконечность, по своей природе статична, и существует как данность. Статичность геометрии предполагает, что в определении первичных элементов и аксиом некорректно использовать механическое движение точек, линий или фигур в пространстве, это понимал еще Евклид. И, потому, недопустимо использование движения этих же элементов на бесконечности.

Статичность актуальной геометрии предполагает также, что все ее элементы как бы уже имеются в скрытом виде (как бы виртуальном) в любом месте пространства и их не нужно проводить. При построении или рассмотрении геометрических фигур и их взаимосвязей  эти фигуры как бы обнаруживаются, проявляются или воспроизводятся в количестве и формах необходимых для рассмотрения и снова исчезают из поля зрения после окончания рассмотрения. Все линии проявляются (воспроизводятся), углы обнаруживаются, а точки «движутся» по уже наличествующим невидимым контурам, воспроизводя их, и никакого реального перемещения элементов фигур на плоскости или в пространстве не происходит, так же, как невозможно и механическое перемещение тел в евклидовом пространстве. Поэтому всякое движение в геометрии Евклида безотносительно к сущностям реального мира и происходит вне времени, только мысленно, являясь формальным математическим преобразованием.

Однако формулировки первой, второй и пятой аксиом нарушают это условие. И если в первых двух аксиомах перемещение мыслится как реальное движение в ограниченном пространстве, не выходящее на бесконечность, а потому находящееся в рамках математических преобразований и не приводящее к двойственности (к невозможности движения в статическом пространстве), то движение на бесконечность в пятой аксиоме автоматически вызывает возникновение внутреннего противоречия между статическим характером геометрии Евклида и динамической структурой потенциального бесконечного пространства, в котором только и возможно механическое движение.

Здесь следует еще раз вернуться к потенциальной бесконечности. Как уже говорилось, ее основные свойства  неопределенность и незавершенность на бесконечности. Свойства неопределенность и незавершенность не находят отображения в количественных величинах и потому не могут быть использованы в математике. Будучи свойствами динамическими, связанными с неопределенными формами и количествами движения, они по природе своей неопределенности не могут «входить» в систему математических преобразований, и, следовательно, не могут отображать движение в математике. Математические преобразования недействительны на бесконечности, поскольку производятся только с конечными элементами геометрии. Таким образом, и в этом случае мы сталкиваемся с дихотомией конечного и бесконечного, покоя и движения. И если собственная формулировка аксиомы Евклидом затушевывает эту дихотомию, то сложившаяся в последующем ее дефиниция достаточно определенно выражает ее.

«Через точку, лежащую на плоскости вне прямой, можно провести одну и только одну прямую, параллельную данной».

Данная дефиниция в свою очередь не концентрирует внимание на бесконечности, а только неявно предполагает возможность ее существования. Однако именно эта двусмысленность обусловливает логическую возможность различного толкования, как процесса движения, так и обоснования параллельности прямых.

Статический характер евклидовой геометрии требует также однозначного статического определения параллельности в рамках актуальной бесконечности. И эта однозначность может быть отображена следующей формулировкой:

Две бесконечные прямые на плоскости, не пересекающиеся в одной точке всегда параллельны.

В этой формулировке задействована актуальная бесконечность, отсутствует движение и потому не имеет места логическая неопределенность. В ней четко фиксируется основной признак параллельности  отсутствие точки пересечения прямых на бесконечной плоскости.

Неопределенная формулировка пятой аксиомы Евклида включает неявным образом несколько факторов, связанных с потенциальной бесконечностью и противоречащих бесконечности актуальной:

 она постулирует существование на поверхности одной бесконечной линии и точки (статика) и движение вдоль нее другой линии, проходящей через точку (динамика);

 условия движения линии и качественные параметры пространства на бесконечности (например, существование плотности пространства) не определены, так же как отношение точки и прямой. Поэтому в движении линия может взаимодействовать с пространством или не взаимодействовать (если мысленно допускается такой нонсенс, как наличие пустого пространства). А если существует взаимодействие, то оно будет проявляться в изменении прямизны линии (что и наблюдается в геометриях Лобачевского и Римана).

 она постулирует возможность существования плоскости (а при переходе к объему  пространства) с различной метрикой в ортогональных направлениях. Следствие анизотропии напряженности потенциальной бесконечности.

 она постулирует возможность длительного периода движения линии. То есть постулирует существование времени, которое отсутствует в статической геометрии по определению, и наличие потенциальной бесконечности.

Все четыре неявных постулата относятся не к актуальной бесконечности, а к бесконечности потенциальной. Их наличие показывает, что плоскость, на которую нанесены геометрические элементы (в частности точки и линии), имеет неоднородную напряженность поверхности (независимо от того, понимаем ли мы это или нет, но в структуре уравнений существует память числа, фигуры и состояния пространства, которые проявляются в результатах решения). И эта неоднородность обусловливает искривление прямой, движущейся вдоль существующей (?) линии как в одну сторону от точки, так и в другую сторону от нее. (Кстати, постулируемая в аксиоме прямая на плоскости может оказаться только в нашем воображении, а движутся, оставляя следы, точки.) Характер же искривления зависит от того, какие граничные условия и в каком направлении пространства определяют движение точки.

Изменение напряженности пространства искривляет прямую движущуюся на бесконечность. Движение же на бесконечности обусловливает возможность формулировки нескольких вариантов пятой аксиомы Евклида. Эти формулировки могут задействовать как свойства статики, так и динамики, что и проявилось в определениях Лобачевского и Римана при рассмотрении пятой аксиомы Евклида. Новые определения стали основами так называемых «неевклидовых» геометрий.