3.3. Поэлементное деление отрезка

в крайнем и среднем отношении

Отметим еще раз: задача деления отрезка в крайнем и среднем отношении, рассмотренная в предыдущем разделе, может решаться двумя качественно различными способами: геометрическим и алгебраическим. Причем переход от одного способа к другому может явно не фиксироваться и в результате какое-то качество либо теряется (при переходе от геометрической формы к алгебраической) либо добавляется (переход от алгебраической к геометрической форме), что не отражается на количественных величинах, но изменяет понятийный смысл полученных результатов. Поэтому в процессе решения необходимо отслеживать каждую операцию, во избежание ошибок, обусловленных процессом перехода от одного метода к другому. Это изменение можно наглядно проследить на широко известном примере деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Рассмотрим процедуру деления отрезка поэлементно.

Дан отрезок АС (повторим рис. 42), следовательно, он имеет определенную длину, допустим, в см. и скрытое за длиной качество определенной отдельности – отрезок, и это его качество не может исчезнуть в процессе проведения геометрического решения, но после разделения может оказаться другим.

А В С

а с

Делим его на две части-доли АВ и ВС. После деления имеем только две доли отрезка АС (другие качества). Одна АВ = а см., другая ВС = с см. Теперь отрезок АС не существует. Он сохраняется только на бумаге и в нашей памяти. В натуре остались только две его доли-отдельности а и с, и появилось другое, отличное от отрезка, качество – доли (рис. 43):

а 

с 

Рис. 43

И именно с ними производятся все математические операции для получения золотой пропорции. Формализуем отношение отрезков в виде уравнения:

с/а = (а + с )/с, (3.13)

Для решения (3.13) отношение модулей са приравнивается к b:

b = с/а, b = (с сма см) (3.14)

Записав отношение (3.14) мы в неявной форме переходим от геометрического метода решения задачи к алгебраическому, поскольку размерность в (3.14) сокращается, и в результате решения находится безразмерностный коэффициент b. Подставляя (3.14) в (3.13) совершаем законный математический подлог, поскольку а и с имеют размерность, а b ею не обладает. И получаем чисто алгебраическое уравнение, не имеющее никакого отношения к геометрии и к пропорции (3.13):

b² – b – 1 = 0 (3.15)

Решение уравнения (3.15) дает безразмерностную величину b, численно равную золотому числу Ф, но не причастную к делению отрезка в крайнем и среднем отношении. Оно может оказаться следствием отношения между любыми случайными числами, или входить в некую математическую последовательность, или в степенной ряд, определяемый уравнением подобный уравнению (3.15). Число b не делит отрезок на две части, а отмечает количественное отношение модулей образовавшихся долей. Оно – алгебраическое следствие получения в результате деления некоторых пропорциональных размерностных величин, совпадающее с золотым числом по модулю. Оно безразмерностно и потому не относится к (3.13). Только получение размерностных величин долей в (3.13), образующих в результате решения ту же величину пропорции, может свидетельствовать о его делении в золотом сечении.

Кажущаяся простота и элегантность «превращения» геометрического уравнения в алгебраическое скрывают подводный камень в виде размерностной или формальной двух – трех качественности геометрических параметров (свойств) и двухкачественности (отдельность) безразмерностных элементарных алгебраических символов и знаков. Преобразование геометрического уравнения в алгебраическое сопровождается потерей качественности геометрических параметров и «отчуждением» всего уравнения от геометрии. Обратное «возвращение» уравнения из алгебры в геометрию возможно только с приданием алгебраическим знакам и символам качеств, присущих параметрам данного геометрического уравнения и в таком количестве и признаке, которое содержало первородное уравнение. Только в этом случае операция преобразования геометрического уравнения в алгебраическое и обратно может оставаться логически корректной.

Поскольку b не имеет отношения к делению отрезка и не имеет размерности, его невозможно подставить в (3.13), и с помощью b из (3.15) мы не можем отыскать количественную величину долей-отрезков. Однако, получив величину b, мы успокаиваемся, так и не выяснив, а каковы же длины долей а и с. А ведь геометрический смысл деления отрезка и заключался в попытке сначала выяснить длину долей, а уже потом определять их отношение. И если б мы заранее не знали, что Ф золотое число и не искали бы именно его безразмерностную величину посредством деления отрезка, то не обратили бы на результат никакого внимания. Значит решение уравнения (3.15) не дает нам геометрического ответа на поставленный вопрос.

Для решения задачи и получения размерностного золотого числа надо найти геометрическую формализацию уравнения (3.13). Это можно сделать, перемножив числители на знаменатели, и убрав последние, решить полученное уравнение:

a² + ас = c². (3.16)

Заменив в уравнении (3.16) ас на b²:

b² = ас, (3.17)

и подставив имеющий геометрический смысл b², (b² – смсм) в (3.16) получаем:

a² + b² = c², (3.18)

Итак, из (3.13) «найдено» уравнение Пифагора для прямоугольного треугольника. Хотя в геометрии оно трактуется как сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, его можно понимать и как сумму соотношения качеств долей а, b, и с в виде:

а²(смсм) + b²(смсм) = c²(смсм), (3.19)

не нарушая, таким образом, геометричности уравнения и не сокращая размерностей. Появление в (3.18) новой геометрической величины b, как бы не имеющей отношения к АС, свидетельствует о том, что к одной из долей бывшего отрезка виртуально “примыкает” еще одна доля, о которой мы ничего не ведали, но о которой “помнят” образовавшиеся в результате деления доли (память числа, память формы [26]).

В результате доли исчезнувшего отрезка, разделенного надвое, образовали виртуальный прямоугольный треугольник (рис. 44). И в н

Рис. 44.

его, в качестве одной из сторон, входит безразмерностная численная величинаb, полученная из решения (3.15), равная по модулю золотому числу, приобретая в (3.19) размерность как сторона прямоугольного треугольника. Таким образом деление отрезка в крайнем и среднем отношении на две части  доли геометрическим методом приводит к появлению третьего отрезка – доли, равного по модулю золотому числу Ф, и образование ими прямоугольного треугольника. Совместное решение уравнений (3.13) и (3.18) (приведенное выше) дает численные величины долей-сторон треугольника а = 1,272…см, b = 1,618… см, с = 2,058… см, модули которых следующим образом соотносятся между собой: а³ = b² = с¹. И, следовательно, являются золотыми числами, а образованный ими треугольник – золотым треугольником. Только в этом случае величина b как размерностная сторона треугольника и равная по модулю золотому числу b = Ф, т.е. имеющая алгебраический и геометрический смысл в уравнениях (3.15) и (3.18), становится решением задачи о делении отрезка в крайнем и среднем отношении.

Задачу о делении отрезка в крайнем и среднем отношении иногда формализуют в «обобщенной форме»:

BC/AB = (AC/BC)^P, (3.20)

необоснованно, вводя в правую часть (3.20) в качестве степени целое неотрицательное число р, (р = 0, 1, 2, 3, … .) 30. Пропорция (3.13) в виде (3.20) не может включать отрезка АС поскольку он, после разделения, отсутствует. Его же доли не могут геометрически складываться, они размерностные отдельности, и потому заменять (а + с) на АС логически некорректно, поскольку АC – одно качество, а доли – другие качества, несопоставимые и несовместимые с AC. Они всегда остаются отдельностями. Заменив в (3.20) из (3.13) суммы долей (а + с) на АС мы, с одной стороны, проводим математически некорректную операцию. С другой качественно меняем смысл уравнения, смешивая доли и отрезок. Это видно по такой записи уравнения (3.20):

ВСАВ = (АСВС)^Р = (долядоля)= (отрезокдоля)^Р (3.21)

И хотя каждый член уравнения (3.21) имеет одинаковую размерность, например в см, качественно они различны и по этой причине не могут корректно вводиться в одно уравнение. Геометрически в левой части уравнения (3.21) отдельности имеют одинаковое качество – длину, а правой части  различные качества – отрезок и доля отрезка, которые качественно не адекватны между собой и не могут, поэтому, быть членами одного уравнения. К тому же возводя, например, правую часть (3.20) в степень р, допустим, в квадрат, куб и т.д., мы получаем в левой части отношение долей, а в правой – отношение площадей кубов, и далее что-то геометрически бессмысленное, но никоим образом не отношение долей отрезка. Однако алгебраически в этом случае все корректно.

Само введение числа р устремленного от 1   неявно превращает геометрическое уравнение (3.13) в алгебраическое (3.20), поскольку неявно предполагает сокращение размерности в нем еще до начала решения. Но в постановке задачи не говорится о формализации и решении алгебраического уравнения, а только о геометрическом делении в крайнем и среднем отношении, что заранее обусловливает наличие размерности в уравнении деления. Поэтому привлечение целого неотрицательного числа р есть необоснованное изменение условия задачи, вызванное не геометрическими, а алгебраическими соображениями, поскольку в геометрии степенное изменение размерностной величины (отрезка) означает изменение его качественного содержания: квадрат отрезка – площадь, куб отрезка – объем, а далее в геометрии Евклида нет фигур со степенью  3. Поэтому все дальнейшие рассуждения и решения (3.20) не имеют отношения к золотому сечению. Как полагают, преобразованное уравнения (3.20) с р = 1, 2, 3, …, n позволяет получать бесчисленное множество вариантов деления отрезка в «золотой пропорции». Вот как разделяется отрезок при возрастании р от 0 до 3:

а)р = 0, A C B, _o = 2,

b) p = 1, A B,₁=1,618, C

с) p = 2, А C B,₂=1,465

d)p = 3, A C B,₃=1,380

Рис. 45.

И получаемые результаты обобщаются по всем  как некие «золотые числа», получаемые посредством деления степенных (?) пропорций отрезков в крайнем и среднем отношении.

Покажем, что получаемые при решении (3.20) числа не имеют отношения к золотым пропорциям и не могут обусловливать получение “обобщенных золотых пропорций” [8,30].

Уравнение (3,20) тоже решается методом замены, но другого из ее членов, безразмерностным символом х: х = АС : ВС, при этом ВС : АВ = х^р, а отрезок АВ есть сумма двух долей АС + СВ. Далее геометрическая операция заменяется алгебраической: и получается “аналог” уравнения (3.15) но уже со степенями при неизвестных:

х^р+1  х^р  1 = 0. (3.22)

Алгебраическое уравнение (3.22), при обозначении через _р положительных корней решения задает бесконечное число пропорций как бы деления отрезка АВ в отношении (3.20):

_о = 2;₁ = 1,618…;₂ = 1,465…;₃ = 1,380…;₄ = 1,324, и т.д. (3.23)

Однако эти отношения не являются следствием деления отрезка на доли, и оказываются не отношениями долей, а пропорциями некоторых неизвестных безразмерностных чисел, отнесенных к делению отрезка. Числа же могут быть не причастными к делению отрезка в крайнем и среднем отношении. Их принадлежность к геометрии золотого сечения еще следует доказать нахождением геометрических пропорции длин долей АВ и ВС. И потому, при алгебраическом решении (3.20) со степенями р = 1, 2, 3, … получаемый ряд 2; 1,618; 1,465;1,380; … не имеет никакого отношения к золотой пропорции даже при наличии в нем х = 1,618… .

Тем не менее, в настоящее время, считается возможным обобщить их, на основе не имеющего геометрического смысла алгебраического уравнения (3.22), в единый класс золотых пропорций и считать “обобщенными золотыми р  пропорциями”. Покажем, что корректно этого сделать не удается и ряд (3.23), за исключением одного числа ₁, имеющего численную но не размерностную величину равную Ф, не образует обобщенных золотых пропорций. К тому же использование ^р не обусловливает вычисление длин долей а и с, и построение треугольников типа (3.18) или других геометрических фигур, а члены данного (3.23) обобщения не отвечают критериям чисел Фибоначчи или Люка.

Деление отрезка в золотой пропорции приводит, как показано выше, к появлению уравнения прямоугольного золотого треугольника. Следовательно, по аналогии, и делению по формуле (3.22) должно соответствовать некое уравнение, отображающее геометрическое смысл этого деления. Получим его для р² и р³, исходя из (3.20):

с^р+1 = аd^р

при р² имеем: с³ = аd², (3.24)

при р³ имеем: с₁⁴ (?) = а₁d³. (3.25)

Уравнение (3.24) приравнивает объем куба к объему некоего “бруска”, а уравнение (3.25) геометрически бессмысленно. Но алгебраически все верно. Решаем их подставляя соответствующие значение х в (3.24) и (3.25) получаем: с = 2,146а, с₁ = 2,268а₁. Т.е. длина долей остается неизвестными, а образуемая пропорция может быть отнесена не только к долям отрезка, а к любым пропорциональным 1,464 и 1,380 случайным числам.

Предположим однако, по аналогии с золотым сечением, что, например, ₃ как доля отрезка полученная при р = 3, образует прямоугольный треугольник в той же пропорции, что золотой треугольник, т.е. а³ = b² = с¹. Или в численном выражении: 1,175; 1,38; 1,621 и проверим предположение.

(1,175)² + (1,380)² = (1,38) + (1,904) = 3,287  (1,621)² = 2,628

Итак, численная величина ₃ = 1,38 с приданием ей функции долей-отрезков не образует прямоугольного треугольника, что указывает на отсутствие у числа 1,38 золотых качеств.

Другой критерий: при последовательном делении или умножении 1 на золотое число 1,618 образуется греческий ряд чисел

…; 0,056;0,090;0,146; 0,236; 0,382;0,618;1,000;1,618;2,618; (3.26)

в котором выполняется правило Фибоначчи сложения двух последовательных чисел с образованием следующего за ними числа ряда:

0,056 + 0,090 = 0,146 + 0,236 = 0,382 и т.д.

Образуем, например, из числа 1,38 аналогичный ряд и проведем операцию сложения двух любых последовательных чисел:

…; 0,1998; 0,2757; 0,3805; 0,5251; 0,7246; 1,000; 1,380;1 ,904; … (3.27)

0,3805 + 0,5251 = 0,9056  0,7246,

или

0,7246 + 1,000 = 1,7246  1,380 и т.д.,

равенства слагаемых последующему числу не получается, что также свидетельствует об отсутствии у ₃ золотых качеств. И так по всем _р, образуемым числами “обобщенных золотых пропорций”.

Наконец, главным свидетельством отнесения образуемых чисел к золотым является получение, при делении одного из них на другое, золотого числа Ф с тем большей точностью, чем дальше от начала ряда берутся числа. Все числа греческого ряда этому критерию соответствуют, поскольку получены именно через золотое число Ф. Числа рядов, полученных из “обобщенных золотых рсечений” не соответствуют и этому критерию. И можно сделать вывод: золотая пропорция в виде (3.13) единственна в математике и потому не может быть обобщена. Надо отметить, что ряд (3.27) как и (3.26) является геометрической прогрессией и как таковой имеет прямое отношения к золотому ряду, но в неявном виде (об этом разговор отдельный). Однако в виде (3.27) те золотые качества, которые имеются у греческого ряда, он не проявляет и потому к золотой пропорции не принадлежит.

И можно сделать вывод: Деление отрезка в крайнем и среднем отношении производится геометрическим методом с сохранением за долями – отрезками формальных и размерностных качеств, с соблюдением качественных переходов от геометрии к алгебре и обратно и является единственной операцией деления, не поддающейся обобщению.