2.7. Динамика аксиомы о параллельных

Существование евклидовой и неевклидовых геометрий опирается, как уже упоминалось, на три определения аксиомы о параллельных. Все три аксиомы базируются на использовании как свойств актуальной, так и потенциальной бесконечности и предполагают бесконечное движение «прямой» линии через точку параллельно другой бесконечной линии, неявно исходя из того, что движение в этом случае является математическим преобразованием.

Однако имеются аргументы, которые ставят под сомнение возможность проведения математического преобразования на бесконечности:

не доказано, что движение бесконечной с одного конца линии на бесконечность может описываться математическим преобразованием;

при рассмотрении движения прямой через точку (например слева направо) необходимо сначала установить параллельность левого бесконечного, прямолинейного отрезка существующей линии, которая движется через точку (доказать его параллельность слева, т.е. доказать то, что провозглашается аксиомой) и дополнительно доказать, что она пройдет через указанную точку (аксиома это предполагает);

следует доказать, что бесконечную прямую можно двигать в плоскости, не разрывая ее;

также доказать, что бесконечная прямая не изменяет своих размеров по длине (не изменяется количество элементов преобразования);

доказать, что движется прямая, а не точка-пилот (первая правая точка линии). Если движется точка-пилот, то происходит не преобразование, а «наращивание» следа (заполнение новыми точками);

если же отсутствует левый отрезок бесконечной длины или он представлен конечным отрезком, то через точку движется не прямая линия, а сама точка-пилот (конечный отрезок можно представить точкой), которая в своем движении на бесконечность, и образует траекторию, заполняемую новыми точками;

появление новых точек по следу движения точки-пилота будет свидетельствовать о том, что в неевклидовых геометриях наличествует не математическое преобразование, а механическое движение точки в анизотропном пространстве (в пространстве с изменяемой плотностью);

механическое движение точки в анизотропном пространстве, с возникновением новых точек, сопровождается «взаимодействием» ее с пространством, появлением времени и скорости;

взаимодействие движущейся точки-пилота с анизотропным пространством и вызывает ее отклонение от прямолинейного направления, обеспечивая геометриям Лобачевского и Римана искривление «прямых». Угол отклонения свидетельствует о характере взаимодействий и скорости движения точки.

Данные аргументы также вызывают недоверие к однозначно статическому пониманию математической формализации геометрий Лобачевского и Римана. К тому, что эти геометрии описывают движение только как математическое преобразование фигур. Недоверие возникает и потому, что, похоже, отсутствует в неевклидовых статических геометриях возможность определения аксиомы о параллельных в статической постановке. Тогда как для геометрии Евклида, как показано выше, такую формулировку предложить достаточно просто. И возникает вопрос: А возможно ли геометрическое описание бесконечного механического движения? Или иначе: Можно ли сформулировать аксиому о параллельных в динамической постановке?

Динамическая постановка осуществима в том случае, если удастся отобразить математически бесконечность механического движения в пространстве. Именно это качество  движение, которое остается незавершенным на бесконечности, является основным свойством потенциальной бесконечности. Это качество и должно быть отражено в динамической постановке. Но как выразить бесконечное движение в бесконечном пространстве, если математика не отличает качественно различные бесконечные пространства без определенных количественных величин и потому не может оперировать с ними. Положение кажется безвыходным. Однако выход из него имеется, и он подсказывается, например, необычной структурой древнерусских соизмерительных инструментов  саженей.

Древнерусские сажени имеют много особенностей, отсутствующих у других измерительных инструментов (подробнее в 23). Одна из них  способ образования из сажени более мелких частей. Большинство известных инструментов делится при этом на несколько равных долей (метр, например, на десять дециметров или сто сантиметров, фут на двенадцать дюймов и т.д.). Сажени же делились методом раздвоения: сажень пополам  полсажени, полсажени пополам  четверть сажени или локоть, локоть пополам  пол-локтя или пядь и т.д. до вершка, на котором деление заканчивалось. Но могло бы и не заканчиваться, а продолжаться и далее в бесконечность, поскольку это деление невозможно завершить. Оно бесконечно. И получается, что отрезок, вроде бы имеющий конечную длину, оказывается в последовательном делении пополам бесконечным. Бесконечное «вложилось» в конечное. Но вложилось не как длина, а как нескончаемый процесс, переводя который в движение во времени, можно получить необходимую нам математическую модель бесконечного механического движения.

Если предположить, что от одного конца сажени к другому движется с постоянным замедлением точка таким образом, что в первую секунду она проходит полсажени, в следующую секунду  локоть, в третью пядь и т.д., то данная точка в своем движении в бесконечность не сможет достичь другого конца сажени за бесконечный промежуток времени. «Конечное» пространство для движущейся по закону минусового ускорения точки оказывается бесконечным.

Если теперь соединить две сажени одним концом под углом друг к другу и «пустить» с другого конца каждой сажени точки в движении к месту соединения по закону минусового ускорения, то эти точки никогда не сольются в одну. Воспользуемся этим обстоятельством и сформулируем динамическую аксиому о параллельных:

 Следы-прямые (АА и АА), образованные движущимися к единому центру из разных областей пространства точками и не достигающие этого центра за бесконечный промежуток времени,  параллельны (рис. 31)

В этой аксиоме предполагается, что прямые, образуемые движущимися точками, совместно стремятся к единому центру, который может находиться в любой точке пространства, но оставаться недостижимым, поскольку свойства напряженности (анизотропности) пространства изменяются и своим изменением замедляют их движение (точно так же, как это происходит в температурной сфере А. Пуанкаре). Каждый последующий шаг для них оказывается меньше предыдущего, и поэтому расстояние до центра О не может быть пройдено даже за бесконечный промежуток времени. То есть эти движущиеся прямые никогда не встретятся, а значит − не пересекутся и, следовательно, они параллельны (рис.31). Геометрия, основанная на данной аксиоме, является неевклидовой динамической геометрией.

А

Рис. 31.

низотропность пространства (возрастание плотности и напряжен- ности пространства при движении к некоему плотностному центру) отображается в форме невидимых эквипотенциальных плотностных сфер вокруг точки-центра (на рис. 31 изображены пунктиром), и тела (точки) движутся к нему в «падении», оставляя след-траекторию с тождественной плотностной деформацией всех своих точек.

Динамически параллельные следы-прямые от движущихся к единому центру точек, с прекращением движения (с «замораживанием»), становятся двумя линиями в статике. При их продолжении, они пересекаются, и в статической геометрии образуется угол. Так начинается переход от динамической геометрии к статической, а анизотропное пространство превращается, при отсутствии в нем механического движения, в пространство изотропное  мыслимое.

Надо отметить, что до сих пор отсутствует четкое представление и о такой древней фигуре, как угол, о его образовании и измерении. Нам кажется, что наиболее точное представление об угле и его измерении изложено у А. Митрохина 6. Он констатирует:

«…образованию места пересечения предшествует наличие двух непараллельных линий или плоскостей, поэтому правильнее будет говорить не об измерении угла, а об измерении степени непараллельности, величины раскрытия или раствора линий и плоскостей. И далее: Сам угол не подлежит измерению, измерить можно только не параллельность, раскрытие (раствор) двух линий или плоскостей».

Здесь, похоже, на интуитивном уровне констатируется то обстоятельство, что непараллельные линии, хотя и образуют угол, тем не менее, могут и не пересекаться и, следовательно, точка их «пересечения» может отсутствовать. Но это к слову.

Свойство анизотропии пространства, обусловливающее силовую деформацию падающим к плотностному центру телам-точкам в движение динамической параллельности, проявляет себя в статической геометрии в виде математической гомотетии. В этой геометрии гомотетия есть тождественное преобразование фигуры со сжатием к точке. Однако такое представление ошибочно. Оно постулативно предписывает бесконечному процессу движения фигуры вглубь превращение ее в конечную точку. Гомотетия в статической геометрии не математическое преобразование, а отображение реального механического движения, т.е. является элементом динамики. В динамической геометрии гомотетия предполагает определенное движение тела с минусовым ускорением (или замедлением скорости течения времени) к некоторому отсутствующему центру анизотропного пространства с тождественной плотностной силовой деформацией всех его точек (рис. 32). Отметим, что «силовая» деформация при движении к неявному центру и отображает в статической геометрии наличие формально подобных фигур (на рис. 32 проявление подобия показано окружностями).

Гомотетия же, как тождественное пропорционирование параметров тел при нескончаемом механическом движении, обусловливает существование инвариантного аппарата, который обеспечивает пропорционирование количественных отношений численных величин свойств в процессе перемещения тел по шкале гомотетической бесконечности. В этом случае точкой отсчета является положение тела в той системе, в которой оно сопоставлено плотностному телу.

Д

Рис. 32.

вижение тела в плотностном пространстве с деформацией основа динамической геометрии. Без деформации движение отсутствует. Деформация есть «выделение» системы из целого и превращение его в отдельное. Выделение может быть частичное и полное. Частичное выделение сопровождается переменой места в одной системе, полное выходом из одной системы и переходом в другую с гомотетической деформацией формы, либо с образованием новой системы и другой формы.

В материальном мире гомотетия есть постоянное преобразование (самопульсация) всех элементов одной системы. Самопульсация обусловливает орбитальную гомотетию тела и возвратно-поступательное движение по оси, соединяющей его центр с центром плотностного тела. Траекторию движения определяет как самопульсация, так и вынужденная пульсация (реакция деформации на волны пульсации других тел, планет, Солнца, центра Галактики и т.д.). А поскольку небесные тела движутся по орбитам геометрической формы, то данное возвратно  поступательное движение сопровождается образованием волнообразной траектории их полета [2].

Динамическая геометрия описывает реальные физические процессы и следует предполагать, что явление силовой «гомотетии» может наблюдаться, например, и в деформации планет Солнечной системе. Поскольку планеты движутся не строго по круговым траекториям, а по эллиптическим орбитам, то в афелии и перигелии этих орбит планеты должны иметь различную величину своего радиуса. Так расчетный радиус Земли в афелии должен превышать радиус в перигелии более чем на 200 км. Однако ни люди не ощущают, ни приборы не фиксируют столь значительные колебания размеров земного шара потому, что происходит тождественное сжатие или расширение всех молекул и атомов, образующих планету Земля. И эта тождественная деформация молекул изменяет показания всех приборов пропорционально общей деформации, нейтрализуя возможность их различения (именно так, как это происходит у Пуанкаре при описании температурных изменений). А еще потому, что современные ученые даже не предполагают и потому не верят в возможность столь значительной деформации планет. А раз не предполагают, то и не наблюдают, более того, когда наблюдают, не верят глазам своим, игнорируя даже результаты астрономических наблюдений. Похоже, что именно это обстоятельство отражено в последовательном определении размеров планеты Меркурий.

Меркурий наиболее близкая к Солнцу планета Солнечной системы имеет очень большой эксцентриситет своей орбиты. Поэтому разница в размерах планеты, находящейся в афелии и в перигелии, будет превышать тысячу км, около четверти диаметра. Естественно, что не засечь такую разницу ну просто невозможно, разве что если уж очень постараться. И тут на «помощь» астрономам приходит природа. Расположение Меркурия вблизи Солнца очень неудобно для наблюдения, да и максимальное время наблюдения составляет менее двух часов. К тому же в лучах либо восходящего, либо заходящего Солнца. Немало и других неблагоприятных факторов. Вот и получается, что лучше всего наблюдать планету в период ее нахождения в афелии, то есть в наибольшем удалении от Солнца, тогда, когда она имеет «неизменный» размер. И, похоже, астрономы только там ее и наблюдают. И все же эти наблюдения дают существенный разброс размеров радиуса планеты. Вот как это отображено в астрономическом ежегоднике:

1960 г. 2570 км,

1962 г. 2385 км,

1973 г. 2439 км,

1976 г. 2420 км,

2001 г. 2439 км.

Конечно разброс не очень значительный (все же постоянная точка наблюдения  афелий) но достаточный, чтобы задуматься, почему же это происходит, тем более, что в справочниках точность наблюдения дается  5 км, но не  50 же км. И хотя бы один раз попробовать определить, для уточнения, радиус Меркурия в перигелии. И прежде чем вернуться к геометрии, добавим, что в квантовой механике именно процесс гомотетии, сопровождающийся возрастанием энергии деформируемой элементарной частицы, обусловливает ее прохождение через потенциальный барьер.

Отметим, что для динамической геометрии, похоже, становится неприменимым евклидово понятие "прямая линия", поскольку последняя может не проходить через две существующие точки. Вероятно, более подходит следующее определение прямой: Прямая линия  след точки движущейся к другой точке по кратчайшему пути или перпендикулярно эквипотенциальной поверхности напряженности. Евклидово определение понятия "точка" можно временно сохранить.

Рассмотрим, к каким последствиям приводит аксиома о параллельных в динамической постановке (рис. 31). Предположим, что из точки А к точке О движется с отрицательным ускорением тело-точка и за прошедшее неопределенное время она прошла расстояние АА, след-траектория которого есть прямая линия. Будем называть ее прямой. Одновременно из точки А к тому же центру О и по тому же закону движется другое тело-точка. И эта точка прошла расстояние АА. Ее след-траектория тоже прямая линия или просто  прямая, как и след всех последующих точек. Прямые АА и АА, оставленные движущимися точками, по геометрии Евклида не являются параллельными. Но в динамической геометрии они параллельны, поскольку никогда не в состоянии достичь центра О и, следовательно, пересечься в одной точке. К тому же, в отличие от «прямых» Лобачевского и Римана, они действительно прямые.

Определим, какие зависимости возникают между движением этих прямых и элементами фигур, образуемых ими. Продолжим построение (рис. 33). Проведем дополнительные прямые А'А', А"А" , ... АⁿАⁿ так, чтобы по длине они оставались равными между собой, а расстояние между ними определялось отрезком, выходящим из некоторой точки к прямой АА до точки k, лежащей на прямой А'А' под углом Akk' к прямой А'А' и равным ему углом A'kk прямой АА.

Следующую прямую проводим по тем же правилам из точки k прямой А'А' к точке k" прямой А"А". И так до тех пор, пока отрезок, выходящий из точки kⁿ прямой АⁿАⁿ, не замкнет построение ломаной линии прямой АА. Поскольку расстояние между прямыми одинаково, а углы в пересечении каждого отрезка с прямой равны, то замыкающий отрезок попадает в ту же точку k прямой АА, из которой вышел отрезок kkⁿ. Замкнутая ломаная kk'k" ... kⁿ образует равносторонний многоугольник.

В

Рис. 33.

результате получаем на плоскости «частокол» прямых, имеющих своим стремлением недостижимый в бесконечности, а потому фиктивный, центрО. Все прямые в своем движении к недостижимому центру параллельны и по определению, и по структуре напряженности на поверхности плоскости. А основная особенность образовавшегося правильного многоугольника  дихотомия конечного и бесконечного в том, что конечный периметр замыкает в себя площадь бесконечной величины. Если теперь через центры отрезков, образующих стороны многоугольника kk', k'k", k"k"', ..., kⁿk, провести новые прямые и соединить их отрезками по правилам, изложенным выше, то получим многоугольник с количеством сторон, превышающем количество первого в два раза. При продолжении этой операции бесчисленное число раз длина отрезков kk, k'k",..., kⁿk будет стремиться к минимуму, а углы Аkk, A'kk, A'kk,... устремятся к 2, и в пределе многоугольник kkk ... kⁿ превратится в окружность на плоскости. Плоскость окружности одновременно будет обладать свойствами евклидовой статической геометрии и содержать в своих границах площадь конечной величины, и свойствами неевклидовой геометрии и содержать в тех же границах площадь величины бесконечной. Две несовместимые бытийно площади как бы налагаются друг на друга. (И здесь дихотомия конечного и бесконечного.)

В

полном соответствии с геометрией Евклида длина окружностиS обеих геометрий будет равна 2 радиан, а радиус одной будет конечен, другой же, напротив, будет стремиться к бесконечности, никогда не достигая центра О. У данной окружности центр отсутствует. Прямая может исходить из какой-то точки окружности динамической геометрии или входить в нее, но никогда не может пройти бесконечность, то есть дойти до центра. В то же время, по геометрии Евклида, центр у данной окружности имеется, длина радиуса конечна и определяется уравнением R = S2.

Получается, что одни и те же геометрические элементы можно одновременно мерить и жесткими стержнями (геометрия Евклида) и динамическими изменяемыми эталонами. А это означает, что между геометрией статической и динамической имеется определенная взаимосвязь. Попробуем ее отыскать.

Отложим от точки k вправо и влево (см. рис. 33) по отрезку kk₁ и kk₂ одинаковой длины в евклидовой мерности и, используя предыдущее правило построения, проведем через них еще две окружности k₁k₁k₁... k₁ⁿ и k₂k₂k₂...k₂ⁿ. Естественно, что окружности k₁ и k₂ по отношению к окружности k будут описанной и вписанной. И это единственное, что общее в структуре, как для евклидовой, так и для неевклидовой геометрии.

Отличие начинается с того, что наружу от окружности k обе геометрии допускают проведение бессчетного числа окружностей на одинаковом расстоянии друг от друга. А внутри окружности k по геометрии Евклида, число таких окружностей ограничено, по динамической же геометрии  количество их неограниченно. Каждая окружность динамической геометрии  эквипотенциальная линия напряженности относительно точки О. И длина ее (или площадь) равна бесконечности одного ранга, т.е. они равны между собой. Это есть следствие гомотетии и аксиомы о динамических параллельных. Она может быть сформулировано следующим образом:

Дуги-хорды kk , k₁k₁, пересекающие прямые АА и АА под одним углом и на некотором расстоянии друг от друга, имеют одинаковую длину.

Это следствие  теорема требующая доказательства. В настоящей работе оно предлагается как аксиома. И на ее основе получается, что:

 В геометрии Евклида длина всех окружностей различна, в неевклидовой же одинакова. Линия окружности является прямой.

 В геометрии Евклида длина окружности непрерывна, а в неевклидовой  дискретна. Она состоит из бесчисленного множества одинаковых отрезков бесконечной длины.

 В статической геометрии радиус окружности – конечен. В динамической бесконечен.

 В статической геометрии взаимодействие между радиусом и окружностью отсутствует, в динамической наличествует.

 В статической геометрии радиусы и окружности не связаны со временем, в динамической такая связь имеется и т.д.

Таким образом, отсутствие одинаковых качеств у окружностей двух геометрий лишает нас возможности определения взаимосвязи между ними по качественным признакам и вынуждает использовать свойства несоизмеримых чисел (что вполне понятно, поскольку конечное и бесконечное несоизмеримы по определению). Возьмем, например, два евклидовых круга одинакового радиуса r и площадью S. Сложим площади вместе так, чтобы образовался новый круг в два раза большей площадью S и определим, насколько радиус R нового круга больше радиуса r маленького круга. Площадь большого круга S= R² , малого S =r²:

R² = 2r² R = r2 = 1,41421... r .

Число 2, по Дедекинду  несоизмеримое иррациональное число. Символ особого способа распределения соизмеримых чисел. Однако, в динамической геометрии это символ связности, соизмеримости, а в данном случае  качественный коэффициент, обусловливающий изменение качества пространства при движении в нем двух линий к отдаленному центру. При коэффициенте связности, равном 2, две линии, движущиеся на плоскости к одному центру, всегда параллельны, или, что то же самое, никогда не пересекаются на бесконечности. При устремлении 2  1 соизмеримость бесконечности меняется, и при достижении 1 динамическая геометрия переходит в статическую геометрию Евклида на плоскости.

Определим, чему равно несоизмеримое число, описывающее пространство. Используем вышеприведенный метод построения окружности и при образовании сферы. Для этого проведем множество прямых А, параллельных АА не в плоскости, а в объеме, и получим «ежик» прямых, образующих объем и устремленных в одну точку на бесконечности. Пересечем их прямыми, исходящими из точки k₁, по ранее описанному методу. В результате построения получаем сферический многогранник, сходящийся при бесчисленном увеличении граней в правильную сферу, имеющую конечную площадь поверхности, но бесконечную длину радиуса.

Имеется и более простой способ построения сферы путем вращения образовавшегося круга вокруг прямой, например, АА которая поэтому как бы становится осью вращения, а при повороте на минимальные градусы в образовавшиеся элементы сферы «втыкаются» прямые, направленные к центру. Но при этом создается иллюзия, что образовавшаяся сфера имеет выделенную ось вращения, и ось эта  прямая АА, «проходящая» через центр сферы. В данной же сфере ни одна прямая, входящая в сферу и идущая к центру, до него не доходит и тем более его не проходит, а потому не может быть признана осью.

Любым из этих способов можно построить бесчисленное количество сфер как внутренних, так и внешних по отношению к базисной сфере k, объем каждой, из которых будет конечен по евклидовой геометрии и бесконечен по динамической. И если объем всех евклидовых сфер геометрически различен, то объем неевклидовых сфер физически равен друг другу, т.е. обладает тем же соотношением качеств, что и окружности.

Теперь, исходя из метричности евклидовых объемов сфер, определим величину коэффициента объемной связности (объемное число Дедекинда). Мысленно вычленим внутри одной сферы другую таким образом, чтобы объем вычлененной сферы V и объем сферы V₁ между поверхностями двух сфер были равны: V = V₁, тогда суммарный объем V₂ равен:

V₂ = 43R³ = V₁ + V = 2V = 83r³.

Определим, насколько радиус внешней сферы R превышает радиус внутренней r, R³ = 2r³.

Отсюда: R = ³2 r = 1,259921 ... r. k = 1,259921… .

Таким образом, коэффициент связности объема k (несоизмеримое число Дедекинда) равно: k = ³2 = 1,259921... . Это число, как и коэффициент связности окружности, является иррациональным и обусловливает бесконечное движение динамических параллельных к центру сферы.

Хотя коэффициент связности и является безразмерностной величиной, он качественно индивидуален для каждого свойства. Говоря словами Дедекинда, каждый коэффициент принадлежит своему и только своему рангу параметров, а потому для каждого из них необходима собственная числовая индексация.

Выводы:

Методы математического преобразования не применимы для описания движения геометрических фигур на бесконечность.

Аксиомы о параллельных неевклидовых геометрий, включающие возможность бесконечного движения прямых через точки, отображают не математическое преобразование, а механическое движение фигур.

Траектории-следы точек, движущихся с минусовым ускорением к единому центру и не достигающие его за бесконечный промежуток времени, не пересекаются и, следовательно, параллельны.

Наличие движущихся в бесконечность и неподвижных фигур в неевклидовых геометриях свидетельствует о том, что они описывают механическое движение и потому являются полудинамическими геометриями. В динамической геометрии все фигуры подвижны.

Статические и полудинамические геометрии являются производными элементами динамической геометрии.

Но математическому описанию движения всегда предшествует понимание процесса взаимодействия природных тел. Попробуем рассмотреть особенности тех движений, которые проявляются в неевклидовых геометриях при отображениях реальных природных движений.