1.9. Диалектика элементов геометрии

Формулирование первичных понятий и аксиом в различных граничных условиях привели к образованию наряду с геометрией Евклида целого ряда статических неевклидовых метрических и неметрических геометрий. И что самое неожиданное: опорными элементами становления этих, подчастую, взаимно противоречивых, но логически корректных, не сводимых друг к другу геометрий, послужили самые простые, лишенные реального содержания, абстрактные понятия «точка», «прямая», «плоскость» и в некоторой степени «объем» (пространство). И эти понятия  элементы евклидовой геометрии  не изменяются при переходе от одной геометрии к другой. Учитывая основательность и первичность этих элементарных понятий, проанализируем диалектику их образования, взаимосвязи и структуру вытекающих из них аксиом.

Этот анализ важен потому, что аксиоматическое абстрагирование геометрических элементов до первичных взаимно независимых фигур и последующее «воссоздание» из этих же элементов, как бы отображающих реальные явления, «абсолютно верных» геометрий, создают иллюзию того, что …«положения математики покоятся не на реальных объектах, а исключительно на объектах нашего воображения». Иначе говоря: «Математическая геометрия является теорией логической структуры. Она совершенно независима от естественно научных исследований и имеет дело только с логическими следствиями из данной системы аксиом» 11. И возникает вопросы: «Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами и явлениями, если сама она является только произведением человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного размышления понять свойства реальных вещей?» 11.

Эти вопросы Эйнштейна с классической прямотой демонстрируют значимость понятий, которые кажутся сами по себе априорно очевидными без всякой связи с природными объектами и структурами. Проследуем по цепочке этих очевидностей. Начнем с «точки».

Существует множество геометрических определений понятия «точка». Вот некоторые из них: точка  геометрический объект (?) лишенный протяженности. След линии, входящей в плоскость. Геометрически не пересекающаяся сингулярность линий. Вырожденное состояние кривой. Плоскость, площадь которой устремлена к нулю и т.д. Таким образом, точка  это геометрическая фигура, не имеющая измерений и, следовательно, не имеющая ни геометрических, ни физических качеств и являющая собой неопределенное и неподвижное место на какой-то геометрической фигуре, а подчастую и сама являясь фигурой. Абстракция, призванная заменить физическое представление об очень малых или несопоставимых с параметрами объектах, своеобразным математическим аналогом тел.

Но вот что существенно. Определение понятия абстракции «точка», как понятия статического, оказывается невозможным без привлечения, в явном или скрытом виде, некоторой операции движения. Отметим эту особенность и как проявление дуализма в определении понятия «точка», и как отображение характера совершаемого действия над определенным и явно не геометрическим предметом.

Линия  множество точек на плоскости, слившееся в длину и не имеющее ширины. След траектории движущейся точки. Объект, характеризуемый длиной, но лишенный ширины. Геометрическая фигура, обладающая только одним качеством  протяженностью. След пересечения двух плоскостей и т.д.

И в этих определениях неявно нарушается статичность геометрии, поскольку присутствует двойственность покоя и движения. Линия неподвижна, а для ее распознавания приходится предполагать некоторое движение, либо приводить в движение точку, которая в свою очередь может быть выражена через линию. Да и сама прямая есть кривая, радиус кривизны которой устремляется (опять же движется) в бесконечность.

Понятие «плоскость», если не считать определением такую тавтологию, как «плоскость  след линии, движущейся на плоскости», определяется, чуть ли не единственным образом: Плоскость есть след линии, движущейся параллельно самой себе. Тут уже для явного движения привлекается понятие, которое само по себе определяется через движение. То есть наличествует двойная двойственность.

Таким образом, основные как бы априорные статические понятия геометрии включают в себя противоречивые противоположные качества: с одной стороны, покоя, а с другой  движения.

Противоречивая двойственность в определении первичных элементарных понятий постоянно вызывала головную боль лучших математических умов, вынуждая их бороться с этой двойственностью различными способами: от снятия противоречий соглашениями по Пуанкаре 10 до отбрасывания их по Гильберту. Приведем четкую, абсолютно абстрактную, логически однозначную формулировку первичных понятий, данную Гильбертом: «Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы называем точками и обозначаем А, В, С; вещи второй системы мы называем прямыми и обозначаем a, b, c: вещи третьей системы мы называем плоскостями и обозначаем , , …».

Эта формализация качественных понятий геометрии как вещей (т.е. как тел)  классическое творение свободного ума, отвергающего всякую связь первичных понятий с внешней реальностью. В ней присутствует логическая четкость и однозначная априорность математической абстракции, превращающая всякую форму геометрического движения в неподвижность, покой, статичность. Движение и самодвижение реальных тел как атрибут, присущий всей материи, отвергается, и постулируется возможность существования отдельного самостоятельного покоя тел, который и призвана описывать геометрия. Постулируемая статичность первичных понятий и вызывает появление статических геометрий, обусловливая возможность механического (внесистемного) взаимно независимого соединения элементов геометрии в различные статические фигуры.

Постулируя существование абстрактных неподвижных «вещей», Гильберт автоматически отбрасывает единство связанной двойственности, которая отображает диалектику покоя и движения. Убрав двойственность, он одной операцией лишает геометрию движения, а следовательно и диалектики. Это достаточно небрежное обращение с диалектикой, немедленно отражается на математике, обеспечивая неопределенность ее основанию, превращая все создаваемые геометрические структуры из динамических в статические (превратив не абстрагированием, а постулированием) и рикошетом поражает физику, обеспечив ей в качестве математической основы описания природных явлений заведомо односторонние, а, следовательно, и недвижимые геометрические построения.

В «абстрагированных» Гильбертом понятиях все связи и свойства геометрических элементов растеряны. Неизвестны свойства пространства и неизвестно, осталось ли оно вообще и в каких параметрах соотносится с образуемыми геометрическими фигурам. Отсутствуют даже намеки на движение (но это не мешает геометрам совершать движения в виде математического преобразования в отсутствующем пространстве), и потому последующая интеграция геометрических элементов в новые системы и фигуры может осуществляться любым мыслимым или немыслимым образом только на основе аксиоматики и логики, но не диалектики. Это соединение не может происходить без постулирования способов взаимосвязи геометрических элементов между собой, без «соглашений» использования элементов в применении к природным явлениям.

К тому же полная статичность (самонеподвижность) гильбертова пространства и фигур, находящихся в нем, запрещает последним, какое бы то ни было движение (перемещение) и самих фигур, и их элементов как относительно друг друга, так и относительно пространства. Последний запрет  движение относительно пространства − обусловлен его пустотой, и потому не может быть связей, создающих ориентацию фигур в пустом пространстве. Пространство Гильберта  бескачественное формально – логическое образование, в котором недопустимо образование фигур и которое не имеет отношения к геометрическому пространству и тем более к движению, поскольку в нем протяженность в трех направлениях связана аксиоматически. Можно сказать, что пространство в аксиоматизации Гильберта отсутствует, поскольку не имеет никакой связи с фигурами, заключенными в нем.

Возможность полного абстрагирования первичных элементов от реальных объектов с потерей движения и связей, простым постулированием, создает впечатление независимости, априорности геометрических элементов и математических аксиом. Последующее воссоздание некоей новой неевклидовой или иной геометрии из априорных понятий, как бы из ничего становится «теоретическим» подтверждением этой априорности. К тому же многообразие геометрий требует ответа на возникающие вопросы: Содержит ли статическая геометрия в качестве своего основания некое геометрическое пространство? Существует ли единое для всех геометрий пространство? Или каждая из геометрий «обладает» своим пространством? И если последнее верно, то в чем различие между свойствами этих пространств? И т.д.

Природа и в макрокосме, и в микрокосме имеет одну, единую геометрию, нам неизвестную. И мы как бы свободны в выборе первичных элементов геометрии, т.е. в переходе, например, от конкретных тел к абстракции-точке (однако, чаще бывает по другому, сначала определяют понятие «точка», а уж от нее «абстрагируются» к телу или другим фигурам), но абстрагируясь одним из способов, мы либо сохраняем, либо аннулируем двойственность. А с ликвидацией двойственности разрывается и связь эмпирики с содержанием понятий и аксиом. Создав термин-понятие, имеющий односторонний смысл, мы фиксируем чистую и вроде бы не зависящую от внешнего мира абстракцию, которая уже по этой причине противоречива. Отсутствие двойственных связей или движения в формулировке аксиом и понятий приводит к проявлению двойственного в структуре создаваемых геометрий (например, геометрии Лобачевского и Римана). И хотя аксиоматизация и законы логики способствуют созданию достаточно обоснованных и логически корректных комбинаций из первичных элементов, они не только не гарантируют корректность их взаимосвязи между собой, но и вызывают структурный антагонизм. В результате единая физическая геометрия отграничивается от физики и разделяется на взаимно противоречивые, не сводимые друг к другу геометрии.

И не случайно М. Клайн констатирует 3: «Математики с досадой и огорчением обнаружили, что несколько различных геометрий (пж курсив наш – Авт.) одинаково хорошо согласуются с наблюдательными данными о структуре пространства. Но эти геометрии противоречили одна другой,  следовательно, все они не могли быть одновременно истинными».

Отметим: геометрии не противоречат и не могут противоречить одна другой. В природе отсутствуют противоречия между свойствами. Аксиомы же, постулаты и граничные условия взаимосвязи элементов геометрий противоречить друг другу могут. Они-то и обусловливают противоречивость и образованным, на их основе геометриям. Добавим, априорно истинность формулируемых аксиом, в понимании адекватности природе, выяснить логически не представляется возможным.

Трудно предположить, что в определениях, максимально абстрагированных от природных процессов, но не порывающих с ними, наличие двойственности случайно. Скорее наоборот. Первичным геометрическим понятиям, следствием обобщения многовекового измерительного опыта присуща двойственность как отображение реальности. И эта двойственность не прихоть логики, не игра воображения и даже не мыслительные издержки, а требование диалектического закона единства противоположностей, по которому покой неотделим от движения (это и есть основа возникновения двойственности). Покой и движение,  внутренние атрибуты всех тел и, следовательно, пространства. Усекновение покоя или движения, ликвидация двойственности в определениях первичных понятий равнозначна умерщвлению природы геометрии. Позже мы покажем, куда завело геометрию абстрактное, удобное для применения, свободное от двойственности порождение чистой математической мысли.

Заканчивая изложение раздела, отметим еще раз, что исходным основанием для математики являются не числа, не аксиомы и постулаты, и не понятия, а те качественные свойства реального вещественного пространства (природы), которые изучаются конкретными науками, в первую очередь физикой и обобщаются диалектической философией. К сожалению физики и математики, постигая природу, опирались на философию механицизма, совершенно игнорируя диалектику. Это способствовало разделению современной физики на множество взаимно обособленных разделов, каждый из которых занимается изучением отдельных совокупностей природных свойств, при отсутствии связи между этими совокупностями. И природа видится сквозь такую физику в виде лоскутного одеяла, разделенной на целый ряд самостоятельных направлений, а по-крупному на макро и микро миры, имеющие свои законы, свои принципы построения, свою математику, и ничего такого, что бы объединяло их. Уже по причине отсутствия диалектики в современной математике и физике сложившееся физическое мировоззрение более чем сомнительно. И потому следует вкратце познакомиться с материальным миром, от которого абстрагируется математика [2].

Глава 

Динамические свойства геометрии