4.4. Двойственность точка – прямая

Остановимся на операции замены прямых точками или точек прямыми в проективной и в статико-динамической геометрии и определим, какова разница в зависимости геометрических образов этих геометрий даже при одинаковом подходе к пониманию одних и тех же операций. Операция замены точек прямыми, а прямых точками является процессом преобразования элементов фигуры одного вида в другой. При этом сохраняются некоторые существенные качества первой фигуры. Замена хорошо отработана в проективной геометрии, вытекает из того эмпирического обстоятельства, что замена каждой плоскости или прямой некоторой фигуры на точку и последующее соединение этих точек образует другую фигуру, в известной степени отображающую первую. Используя то обстоятельство, что в проективной геометрии все прямые пересекаются, и каждая пересекается с другой в единственной точке, французский геометр Понселе предложил «принцип двойственности» [27]:

«…из каждого проективного предложения относительно точек и прямых на плоскости может быть получено второе предложение путем замены слова «точка» словом «прямая» и наоборот».

А для понимания процесса приведения в соответствие точек и прямых введен термин «инцидентность». Так, если прямая и точка инцидентны, то либо точка лежит на прямой, либо прямая проходит через точку. Поэтому две различные точки инцидентны одной (единственной) прямой, или две прямые инцидентны единственной точке. Рассмотрим приведение в перспективное соответствие точек и прямых на примере фигур изображенных на рис. 7 и 8 работы [27]:

«Простейшая связь между точкой и прямой – перспектива. Она приводит в соответствие точкам А, В, С, Д … одной прямой (l) точки А´, В´, С´, Д´, … другой прямой (l´), а также пучок прямых а, b, с, д, … с центром в S (рис. 63).

Заменим теперь прямую l точкой L, прямую l` точкой L`, точку S прямой s, а точки А, В, С, Д… и А´, В´, С´, Д´… прямыми а, b, с, д … и а´, b´, с´, д´…, как это сделано на рис. 64., т.е. применим принцип двойственности.

В первом случае два точечных ряда приведены в соответствие при помощи пучка прямых. Во втором – два пучка прямых приведены в соответствие при помощи точечного ряда. Оба соответствия называются перспективными».

О

Рис. 63.

тметим, что в статико-динамической геометрии точка и прямая обладают различными качествами и потому прямая никогда не может проходить через точку. Точка, это нечто напоминающее черную дыру, которая «впускает» прямую, но из себя не выпускает. Прямая – всегда последовательность впритык расположенных несобственных точек другого ранга. Лучи же прямыми не являются. Они виртуальные, подсобные части необходимые для выявления взаимосвязей элементов фигур. В статической геометрии точка, и прямая равнозначны и равнокачественны. Именно это обстоятельство и становится формальным обоснованием возможности замены точки на прямую и обратно. Рассмотрим, что же получилось на рисунках 63, 64? Прежде всего, рисунки 63 и 64 выполнены по законам статической геометрии и при выполнении их не принимается во внимание скрытая двойственность фигур, и не учитывается существование несобственных точек и плоскостей. На рис. 63 смотрятся только прямые и точкаS, в которую «входит» пучок лучей, проходящих через эти прямые. Однако рис. 63 – копия рис. 8 [27] отображающего перенос гармонической четверки точек с одной прямой на другую. Выше же показано, что точка S является точкой опоры, а прямая АД – базисной прямой. Последнее изменяет смысл рис. 63, обусловливая соразмерность четырех точек на базисных прямых l и l´. Эта соразмерность главный элемент фигуры, и ее необходимо получить на прямой (рис. 64).

Однако не исключено, что на рисунке 15 изображены две плоскости, на которых проведены лучи от l и l´, пересекающиеся в точке S. При этом лучи плоскости, на которой находится прямая l, покрывают часть лучей плоскости, на которой находится прямая l´, что отмечено на рис. 63, затемнением плоскости АSД. Схема, полученная на рис. 63, с опорой на евклидову геометрию, обусловила появление искажения при замене прямых точками на рис. 64. Рисунок исполнен в данной работе уже с учетом того, что на рис. 63 изображено пересечение плоскостей в точке S, и лучи, находящиеся под верхней плоскостью выполнены штрихованными (в работе [27] они не штрихованы). На этом рисунке видно, что прямая S является следом пересечения плоскостей, на которых находятся точки L и L´.

О

Рис. 64.

т этих точек нет логического перехода к прямойs и потому «гармонические» отрезки на прямой S получены случайным образом, а не перенесены с рис. 63 и потому не могут считаться гармоническими. Наличие гармонических отрезков на рис. 63 и должно являться ее существенным признаком. Отсутствие четырех гармонических точек прямой s свидетельствует о том, что фигура на рис. 64 не является отображением фигуры рис. 63. Да и обозначения точек на ней просто перенесены с прямой l рис. 63, тогда как должно быть: А_о, В_о, С_о, Д_о. Таким образом, проведенная операция замены прямых точками и наоборот не может считаться корректной и скорее представляет не замену прямых точками, а точек прямыми, а выполненный с искажением поворот элементов фигуры рис. 63 на некоторый угол. При этом прямая s нанесена на плоскость под некоторым углом, прямые l и l´ входят в эту плоскость под прямым углом, а лучи а, b, с, д … и а´, b´, с´, д´…,только выглядят входящими в точки L и L´, оставаясь гармоническими на видимых с торца прямых l и l´.

Отметим еще раз, что на каждом из рисунков 63 и 64 изображены, как минимум, два вида фигур. За каждым лучом, исходящим из некоторой точки на прямой, может располагаться другой луч и, возможно, не один, который может проявить себя, когда прямая превращается в точку и наоборот. Поэтому в опорной точке S (рис. 63) могут сходиться четыре пространственных луча, разделяющие базисные прямые l и l´ на гармонические отрезки. Прямые l и l´ не просто прямые, а прямые базисные и отображают они гармонические точки базисной плоскости, плоскости – все точки которой несобственные. И лучи-прямые, «исходящие» из точки опоры S, не пересекают их, а только отмечают те места базисной плоскости, которых они касаются. И, следовательно, на рисунке 63 отображен перенос базисной прямой l в прямую l´. Другой вариант, в соответствии со статической геометрией, в точке S пересекаются две поверхности, на которых расположены прямые l и l´, от которых к точке пересечения сходятся по две пары лучей. И чтобы заменить евклидову точку на прямую, достаточно предположить, что прямая на рис. 63 «входит» в плоскость. «Поворот» плоскости на некоторый угол выявит наличие этой прямой.

В статико-динамической геометрии опорную точку Дезарга превратить в прямую невозможно. Это не фигура статической геометрии. Большинство точек Дезарга образуются в визуально видимом конусе лучей, сходящихся в точку под «острым» углом. Никакие повороты плоскости не отобразятся на плотностных точках Дезарга, они только «перемещают» эти точки на иной градус относительно плоскости. Но точка Дезарга может быть представлена в виде множества точек расположенных на несобственной плоскости и образующих базисную прямую. И на эту базисную прямую, по принципу двойственности, можно перенести гармоническое пропорционирование четырех точек с любой прямой, например, с l или l´. Следовательно, прямые l и l´ на рис. 63 оказываются не евклидовыми, а базисными прямыми. При замене их точками они превращаются в базисные точки опоры L и L´.

Отметим, что в соответствии со статико-динамической геометрией, точка S на рис. 63 является опорной точкой, а прямые l и l´ базисными прямыми пропорционированными четверкой гармонических точек. На этом рисунке, аналогичном рис. 56, отображена деформация расстояний между гармоническими точками, обусловленная удалением базисной прямой от точки опоры S. Естественно, что с начального состояния l в мгновенном процессе этого перемещения происходило бесчисленное количество «рывков» и «остановов» прежде чем было достигнуто положение l´. Ведь это мы, по своему усмотрению, проявили здесь первый и последний кадры прошедших деформаций. И в этих кадрах незримо, не проявлено в движущемся отображении, присутствуют как элементы фигурной системы: и окружность, и трапеция, и касательные и поляра, вне зависимости от того изображены ли они на рис.63 или нет.

Теперь имея первоначальный вариант фигуры рис. 63 можно заменить точку опоры S множеством опорных точек образующих прямую s на несобственной плоскости (рис. 65.). Прямая s становится новой базисной прямой, на которую и следует перенести с прямой l либо l´ гармоническую четверку точек. Для проведения этой операции необходимо в любой удобной точке пространства выбрать вспомогательную точку опоры S₁ (поскольку все пространство образовано несобственными точками) и от нее через точки А, В, С, Д или А´, В´, С´, Д´ провести лучи до пересечения с базисной прямой s (показано штрихами). Получаем на базисной прямой s новый ряд гармонических точек А_о, В_о, С_о, Д_о (рис. 65). Заменяем базисные прямые l и l´ на опорные точки L и L´ расположенные напротив своих прямых (правильнее – расположенных на своих виртуальных прямых, поскольку прямые заменены точками в тех районах, по которым они проходили) и соединяем их лучами с точками А_о, В_о, С_о, Д_о. Построение закончено. Два точечных ряда А´, В´, С´, Д´ и А_о, В_о, С_о, Д_о приведены в соответствие пучкам прямых точек L и L´.

Образовавшаяся сдвоенная фигура (две наклонных проективных пирамиды) оказывается подобной двум кадрам пирамиды Дезарг (вертикальной и наклонной), отображенной на (рис. 59), только изображена она под базисной прямой. А это, по-видимому, означает, что данная фигура представлена двумя кадрами, изображающими состояние проективной пирамиды в различные промежутки времени. При этом кадр с вершиной L предшествует кадру с вершины L´, перемещались эти вершины по определенной траектории в пространстве под базисной плоскостью. А их основание не подвергалось перемещению. Простейшей траекторией движения вершины L может оказаться прямая соединяющая LL´.

И в то же время, если рассматривать полученную фигуру с позиций классической геометрии, на рисунке 65 изображен поворот двух пересекающихся по линии А_оД_о плоскостей с расположенными на них точками LL´ и лучами а, b, с, д … и а´, b´, с´, д´… .И образованная фигура как будто бы повторяет фигуру изображенную на рис. 64, но смысл их различен. Точка на рис. 64, являясь евклидовой прямой, видимой с торца, и все лучи от базисной прямой

п

Рис. 65.

опадают на эту прямую в разных местах ее. Точки же на рис. 65 являются несобственными точками и в них сходятся все «приходящие» к ним лучи. Похоже, что операция замены точек прямыми, а прямых точками, сопровождаемая изменением качества элементов образующих фигуру и сохранением одного из ее важных признаков, возможна только в статико-динамической геометрии.

Рассмотрим в соответствии с [27], способ нахождения перспективы переводом одного ряда в другой:

«Итак, возьмем прямую р и на ней точки А, В, С и Д. Измерим длины отрезков АС, СВ, АД, и ДВ. Подсчитаем сложное отношение (АВ; СД). Полученное число обозначим q. Итак,

(АВ; СД) = (|АС |.⁄|СВ|) ⁄(|АД| ⁄|ДВ| = q.

Возьмем другую прямую р´ и на ней три точки А´, В´, С´ (рис. 66 ) Проведем прямую через точки А и А´ и на этой прямой выберем произвольные точки S₁ и S₂, которые объявим центрами искомых перспектив. Проведем прямые S₁В и S₂В´ и точку их пересечения обозначим В_о. Затем проведем прямые S₁С и S₂С´. Они пересекутся в точке С_о. Точки С_оВ_о определяют прямую u, ее мы назовем осью перспективы. Если теперь провести прямую S₁Д, то ее пересечение с осью перспективы даст точку. Д_о, причем ясно, что по свойству перспективы (А_оВ_о; С_оД_о) = q. Соединим теперь точку Д_о с точкой S₂. На прямой р´ появилась точка Д´. Сложные отношения (А´В´; С´Д´) и (А_оВ_о; С_оД_о) равны. Следовательно равны и сложные отношения (АВ; СД) и (А´В´; С´Д´) (транзитивность!). Дальше построение можно было вести так: на прямой р взять пятую точку Е и, проведя S₁Е, отметив Е_о, соединив Е_о с S₂, получить пятую точку Е´ на прямой р´. Очевидно, (АВ; СЕ) = (А_оВ_о; С_оЕ_о) = (А´В´; С´Е´). Продолжая в том же духе, мы получим один проективный ряд из другого двумя перспективами».

(Примем во внимание, что установить проективное соответствие можно было бы и по трем парам гармонических точек. Двух пар для этого недостаточно.)

П

Рис. 66.

олученная фигура (рис. 66) представляет собой вид сверху и потому кажется выполненной на плоскости. Однако наличие двух опорных точекS₁ и S₂, разнесенных по разные стороны базисных прямых, свидетельствует о том, что фигура образована в простран-стве, а прямые р и р´ и точки А, В, … и А´, В´, … и т.д. на них, соединенные лучами с опорными точками, оказываются расположенными на разных плоскостях. Об этом же свидетельствует прямая, соединяющая опорные точки. А поскольку эта прямая проходит также через точки А и А´ то они лежат на одной плоскости с опорными точками и плоскость эта пересекает все три прямые.

Появляется две возможности: одна – определить конфигурацию образованную тремя прямыми, а уже потом заменять прямые и точки, другая – сразу начать замену прямых точками, а точек прямыми. Поскольку нас интересует только замена, проведем один из ее возможных вариантов (рис. 67). Сначала заменим опорные точки базисными прямыми s₁ и s₂ любого направления удобного для перенесения на них сложного отношения четырех точек. Затем заменим одну из прямых опорной точкой, например, Р и проведем от нее лучи (показано штрихами) через точки либо прямой u, либо прямой р´ (оставлены точки без индексации) до пересечения с прямой s₂ в точках А₁, В₁, С₁,

Д

Рис. 67.

₁. После этого можно заменить оставшиеся прямые u, и р´ точками U и Р´. Затем из точек А₁, В₁, С₁, Д₁ прямой s₂ через, например, точку U проведем лучи до пересечения с прямой s₁. Образовавшиеся на прямой s₁ точки А₂, В₂, С₂, Д₂ и составят четверку гармонических точек. Далее повторим аналогичную процедуру с точкой Р´, проведя через нее лучи либо с точек А₁, В₁, С₁, Д₁ А₁ прямой s₂, либо с точек А₂, В₂, С₂, Д₂ прямой s₁ (последняя операция не отображена на рисунке 67). Построение закончено. Посредством замены точек прямыми и прямых точками два проективных ряда получены двумя перспективами