2.5. Краткий анализ основ геометрий Лобачевского и Римана

В начале, ХХ века Н. Лобачевский, пытаясь доказать параллельность прямых методом от противного, предположил:

«Через точку, лежащую вне прямой, можно провести бесконечное множество прямых, параллельных первой».

Основываясь на этом определении, он вывел десятки логически корректных теорем, базирующихся на свойствах актуальной и потенциальной бесконечности, которые в своем развитии и обусловили появление первой неевклидовой (??-Авт.) геометрии.

Рассмотрим некоторые особенности геометрии Лобачевского. У него, как и у Евклида, имеется точка М и прямая а, актуальной бесконечности. Но граничные условия изменены: существует множество «прямых» b, c, d,…проходящих через точку М параллельно прямой а (рис. 20). Лобачевский постулирует, что к прямой а, через точку М можно провести две прямые b и с так, что они не пересекаются с прямой а. Понятно, что прямые, располагающиеся между предельными b и с, в   тем более не пересекут а. Угол  между отрезком МN и прямой с Лобачевский называет углом параллельности   .

Геометрия Лобачевского обладает следующими особенностями:

 в отличие от Евклида расстояние между параллельными непостоянно. В одном направлении асимптотически уменьшается, в другом  возрастает до бесконечности;

Рис. 20. с  M d b   а N

 движущаяся прямая таковой не является, и потому названа Лобачевским эквидистантой. И это основное отклонение от евклидова пространства, не получающее геометрического объяснения. Нарушение прямолинейности можно объяснить только анизотропией пространства (плоскости), в которой прямая движется;

 угол параллельности  меняется в зависимости от расстояния точки М до прямой а. При удалении от прямой он уменьшается, и в пределе, когда М находится на бесконечности,    0. Прямая как бы может проходить через М под прямым углом к а, но при движении искривляется и, сближаясь с прямой а, «уходит» на параллельность и в бесконечности нигде с ней не пересекается. А это  показатель взаимного отталкивания точки и прямой, т.е. показатель свойства потенциальной бесконечности;

 если вокруг асимптоты а, как оси, вращать эквидистанту b или с, то получающаяся фигура называется псевдосферой отрицательной кривизны (??- Авт.), а эквидистанта становится геодезической на ней.

Наиболее известное свойство псевдосферы и отличительная особенность геометрии Лобачевского в том, что сумма углов треугольника на поверхности псевдосферы всегда  2 и по мере увеличения треугольника  уменьшается. Поэтому, при неизменной метрике, существует однозначная зависимость между сторонами и углами треугольника (в метрике Евклида). И как не существует сколь угодно больших треугольников, так и не существует подобия и равенства треугольников по всей площади псевдосферы.

Все особенности геометрии Лобачевского проявляются вследствие отступления от статичности актуальной бесконечности и использования в качестве граничных условий свойств потенциальной бесконечности и в первую очередь движения. Поскольку эти свойства вводятся неявным образом, характер их воздействия на статическую геометрию оказывается не раскрытым и особенности геометрии Лобачевского не объяснены, а сама геометрия была сформирована в рамках статики и потому не может быть названа неевклидовой геометрией. Евклидова геометрия – это статическая геометрия. Неевклидова – противоположная статической, динамическая (физическая) геометрия.

Аналогичное произошло и с геометрией Римана. Поскольку эта геометрия является базисом наиболее популярной гравитационной теории, остановимся на ней несколько подробнее.

Прежде всего отметим, что она состоит из двух неравнозначных качественно и искусственно соединенных (соглашение) частей. Одна  строение сферической (эллиптической) геометрии с использованием многомерных многообразий, вторая  математический аппарат описания геометрии двумерных кривых поверхностей. Последний был разработан Гауссом для евклидовых поверхностей и предусматривал изучение их двумя способами:

 задавая уравнение поверхности в трехмерном пространстве (взаимоотношения между поверхностными точками относительно некоторой пространственной системы координат);

 используя свойства поверхности в двумерной системе координат с осями на ней.

Изучая геометрические свойства сферы, каждую точку на поверхности определяют двумя координатами  долготой и широтой. Совокупность измеренных на поверхности и характеризующих ее соотношений и называется внутренней геометрией поверхности.

К этим соотношениям относятся: длина отрезков или линий между некоторыми парами точек, угол между линиями, уравнение геодезических, площадь поверхности или ее кривизна в различных точках. Отображение бесконечно малого отрезка через разность координат дает метрику поверхности и в общей форме имеет вид:

dS² = _ikg_ikdx_idx_k ; i = k = 1, 2.

В этой формуле

ds  бесконечно малый отрезок между точками x_i , x_i + dx_i,

dx_i, dx_k  дифференциалы координат,

g_ik  коэффициенты связи ds c dx_i; dx_k. Они, в общем случае зависящие от координат, переменные. Зная эту зависимость можно определить длину отрезков, углы между линиями, площади, ограниченные контурами на поверхностях. По трем функциям коэффициентов определяется инвариантная характеристика поверхности  ее кривизна в каждой точке. (Она инвариантна, поскольку изменяется при изгибах без растяжения).

Мерой кривизны поверхности становится степень ее отклонения в некоторой точке от касательной плоскости. В пределах поверхности устанавливаются лишь определенные зависимости между метрическими коэффициентами g_ik и их производными по координатам. Они-то и определяют отклонение от плоскости или кривизну.

Считается, что римановы плоскости также имеют евклидову мерность. А поэтому на них кривизна, зависящая от g_ik и их производных, равна нулю. Искривленная поверхность имеет относительно евклидовой плоскости метрику неевклидову (рис.21).

Неевклидова метрика определяется именно соотнесением с положением поверхности, а потому является субъективной оценкой кривизны. Например, длина отрезка А_оА, определенная относительно линии а, будет равна А_оА, что значительно меньше А_оА, (А_оА  А_оА). А его же длина, отнесенная к линии b, будет ненамного меньше А_оА и значительно больше А_оА. (А_оА  А_оА  А_оА). И поэтому всегда следует оговариваться, относительно какой плоскости определяется кривизна.

Рис. 21. а A Ao Bo A Ao Ao A

Главное, однако, в том, что процедура соизмерения кривизны поверхности (или объема) производится на относительно не родственную себе поверхность и оторвана от процесса образования самой кривизны. А потому не может считаться корректной.

Гауссова теория кривизны была дополнена Риманом обобщенными понятиями многомерных многообразий. (Многократно протяженных величин, неким аналогом n-мерного геометрического пространства, поскольку понятие «протяженность» у Римана отображает длину). Так, например, если поверхность  двукратно протяженная величина, то пространство  трехкратно протяженная величина и т.д. То есть поверхность, и пространство у Римана качественно не различаются. Таким образом, свойства мерности оказываются однокачественными, а сами мерности между собой тождественными, а потому получается, что связи между единичными мерностями отсутствуют и только количество протяженностей (? − Авт.) определяет кратность геометрического пространства. Постулирование многомерных однокачественных многообразий позволило однозначно перенести на «искривленное» трехмерное пространство методы описания двумерных поверхностей с их метрикой, узаконив тем самым отсутствие связи между мерностями. Это еще одна большая некорректность геометрии Римана.

Хотя этот подход к описанию пространства обусловливает построение частных неевклидовых пространств, и создание теории произвольно искривленных поверхностей. Его некорректности привели к выделению трех, не существующих в природе, типов пространств постоянной кривизны (все римановы пространства): пространства Лобачевского  отрицательной кривизны (сумма углов треугольника в нем  2), евклидова пространства нулевой кривизны (сумма углов треугольника в нем равна 2) и риманова пространства положительной кривизны (сумма углов треугольника в нем  2). Все пространства математически не сводимы друг к другу и имеют основанием различные определения одной и той же пятой аксиомы Евклида. В геометрии Римана она сформулирована как отрицание постулата Лобачевского:

“Через точку, лежащую вне прямой, невозможно провести ни одной прямой, параллельной первой”.

Формулировки аксиомы о параллельных Лобачевского и Римана, хотя и приводят к построению различных геометрий, имеют следующие общие особенности:

 они постулируют равнозначность прямой и точки;

 они постулируют наличие изотропного и однородного пространства как в районе точки, так и на бесконечности;

 они неявно постулируют наличие отрезка второй прямой, бесконечной в сторону, противоположную движению и, следовательно, уже параллельную существующей;

 они постулируют возможность прямолинейного движения линии на бесконечность, которое, тем не менее, по непонятной причине, оказывается не прямолинейным;

 они переносят математическое движение как преобразование конечных количественных величин на движение бесконечное, не имеющее количественного отображения и вследствие этого  неопределенное, невозможное для математических преобразований;

 перенос математического преобразования на движение на бесконечность в формальных граничных условиях и вызывает искривление “прямых”;



Рис. 22.

невозможность математического преобразования движения прямой линии через точку на бесконечность свидетельствует о том, что аксиомы Лобачевского и Римана описывают механическое движение точки, а образованные на их основе геометрии не являются статическими.

На рис. 22 схематично изображены римановы “прямые”, не параллельные прямой а. Причем точка М, принадлежащая кривым, не выделена и равнозначна всем точкам на этих кривых. То есть М является точкой не римановой, а евклидовой геометрии (не образует напряженности пространства). Но если прямая в движении вдоль другой прямой, искривилась, то это может произойти только в том случае, когда она движется в пространстве изменяемой напряженности и потому никогда не пересечется с прямой, подходя к ней все ближе и ближе, вдоль которой она движется. Поэтому, если любую из кривых b, с, или d вращать вокруг прямой, а риманова пространства, то образуется незамкнутая эллиптическая поверхность (у полюсов вдоль а останутся “дыры”). Она как бы замыкает в себе некоторый объем, отделяя риманово пространство от внешнего не “пространства” и создавая “дырявую” сферу-пространство, поверхность конечной площади отграниченную “дырами” от прямой а. Такая фигура хотя и является римановой поверхностью, но имеет внутреннюю плотность и не является ни эллипсом, ни сферой и не имеет постоянного объема.

Р

Рис. 23

ассмотрим, например, основанное на получении вращением римановых кривых утверждение о том, что все прямые на римановой поверхности пересекаются. Оно основывается не на исследовании поведения “прямых” при образовании римановой сферы, а на гауссовой теории кривизны. При этом забывается, что образовавшаяся при вращении “сфера” не замкнута, имеет внутри себя ось с двумя полюсами и неоднородное пространство. Причем прямая является атрибутами образовавшего пространства. Ее невозможно «выдернуть» никакими преобразованиями, ибо это сразу изменит («уберет») напряженность, да и форму пространства. (У Евклида одна ли прямая, обе ли параллельные или образуемая ими при вращении цилиндрическая поверхность никак не изменяют состояние пространства, а потому возможно вольное обращение с каждым элементом фигуры.)

Незамкнутость римановой сферы (как и псевдосферы Лобачевского) показывает, что обе геометрии геометриями как таковыми не являются. При их формировании смешаны евклидовы и неевклидовы свойства. Они есть только некоторая часть более общей геометрии и потому на их основе невозможно построить (не нарушая законов статической геометрии) ни одной пространственной фигуры, даже такой простой, как сфера.

Для римановой сферы базисной прямой всех параллельных относительно ее линий является ось-прямая а (см. рис. 20.). А параллельные, геодезические римановой геометрии, проходят от одной оси к другой и нигде не пересекаются друг с другом. Утверждение типа: «… понятие параллельных линий в сферической (римановой – Авт.) геометрии вообще теряет смысл, ибо любая дуга большого круга, проходящая через точку С, лежащую на линии АВ, обязательно пересекает АВ, причем в двух точках. Из рис. 23 также видно, что сумма углов треугольника АВС, образованного пересечением трех дуг большого круга, всегда больше 180^о» 22  не обосновано и базируется на путанице свойств евклидовой и римановой геометрий.

В

Рис. 24.

ыше упоминалось, что построить сферу в римановой геометрии невозможно, что сфера строится только в геометрии Евклида и перенесение свойств одной геометрии на другую некорректно. Например, дуги большого круга не наличествуют в геометрии Римана и потому не пересекаются на ней. Другой пример. На сфере Евклида метричность неизменна, а на сфере Римана меняется в зависимости от напряженности пространства (конечно по сравнению со статичностью), а потому ориентация на сумму углов треугольника некорректна и сравнение этой суммы со 180^о вообще приводит к парадоксу. Покажем его.

Предположим, что из тонкой прозрачной резиновой пленки склеена и надута сфера-шар (рис. 24.). На поверхности шара нанесены три точки А, В, и С, соединенные прямыми а, b, с. Образовавшийся треугольник АВС на сфере положительной кривизны имеет, согласно геометрии Римана, сумму углов  2.

Теперь, если мы окажемся внутри шара, в сфере отрицательной кривизны то, в соответствии с той же теорией кривизны и геометрией Лобачевского, сумма углов треугольника со сторонами а, b, с (изображенного на рис. 24 пунктиром.) будет составлять  2.

Возникают вопросы: Какой из этих треугольников отображает реальное искривление сферы? И почему:

( 2) + ( 2)2 = 2 ?

Дальнейшее раздувание шара будет увеличивать сумму углов наружного треугольника, и уменьшать ту же сумму внутреннего, оставляя результат решения формулы неизменным.

Этот парадокс возникает потому, что риманова кривизна пространства не характеризует именно пространство. Эта кривизна вызвана произвольным переносом двумерного измерения  плоскости, на трехмерное измерение  объем. Перенос осуществлялся исходя из предположения, что мерности пространства не имеют качеств, и некорректен уже потому, что плоскость характеризуется квадратом протяженности, а объем пространства  кубом.