1.8. Свойства фигур евклидовой геометрии

Основу статической метричности в геометрии составляют жесткие измерительные инструменты конечного размера, сохраняющие его в любой области пространства. Неизменность мерного инструмента, незримо наличествует, при определении основных свойств евклидова пространства, к которым в настоящее время относят:

 однородность и изотропность. Любые точки и области этого пространства эквивалентны, а потому и неразличимы;

 вневременность. Свойство времени не отражается на изображениях геометрических фигур (элементов) и не учитывается при перемещениях и вращении (статичность). Время как качественный фактор в статических геометриях отсутствует;

 равновеликость геометрически переносимых, вращаемых или преобразуемых фигур. Процесс преобразования, перемещения, движения  только мысленный. В геометрии всякое механическое движение отсутствует;

 координатность в ортогональных направлениях. Бесконечность во вне. Глобальность координатных систем;

 отсутствие качественных взаимосвязей между различными свойствами и метричностью;

 независимость и отграниченность от физических тел. Геометрия имеет дело только с неподвижными фигурными отображениями тел, с их «тенями».

Таким образом, статическая геометрия Евклида автономна и от окружающего пространства, и от физических тел, изучением которых она занимается, и определяется только логической взаимосвязью заложенных в ее основу аксиом. Что касается пространства, на котором базируется геометрия, то оно не определено, и, как видно из приведенного набора, определяется постулативно в виде отдельных взаимно не связанных формальных свойств.

Особо подчеркнем отсутствие механического движения в пространстве геометрии и вневременность всех ее фигур. Свойство времени не имеет никакой связи с метричностью. И если вводится, как например, в геометрии Минковского, то формально-постулативно, не отображающим физического времени и не обладающим качеством, равнозначным остальным геометрическим свойствам без всякой связи с пространством, и главное  не вносит в статическую геометрию нового качества. Статичность и вневременность структурных преобразований предполагают в качестве первого условия корректного формулирования основных аксиом геометрии определение их в терминах, исключающих всякое упоминание о движении и пространстве.

Сами геометрические построения являются, по определению, схематическим, а потому идеализированным отображением предметов и тел реального мира. Отображаемые фигуры не имеют ни свойств, ни размерности и представляют собой условные абстракции, призванные человеческим сознанием в качестве метода описания отношений между телами внешнего мира. Описание производится путем перенесения качественного отображения тел на абстрактные понятия «точки», «прямой», «плоскости», «угла» и т.д. Данные понятия, заменяя естественные тела, с ними никоим образом не связаны и являются внешним признаком их существования. Особо отметим, что понятия эти не возникают при абстрагировании от реальных объектов, а определяются аксиомами вне прямой связи с реальным пространством или телами. Это самая важная особенность геометрии, как, по-видимому, и всей математики. Абстрагирование производится не от реальных физических предметов, а от некоторого отображения их в головах исследователей. Образовавшиеся аксиомы, так же как и фигуры и теоремы, следующие из аксиом, не имеют отношения к тем законам природы, для математического описания которых они создавались.

Основное отличие статических построений евклидовой геометрии от отображаемых ими физических тел-систем заключается в том, что любая общность геометрических фигур в своей совокупности и количественном выражении остается схемой внешних объектов и не обладает качествами системы. Отдельные элементы общности (линии, точки, углы и т.д.) вместе или порознь ничем, кроме аксиоматической зависимости, между собой не связаны, друг другом не обусловлены и своим сосуществованием как вместе, так и порознь не изменяют своих качеств. Исчезновение геометрических элементов некоторой общности фигур ничего не изменяет в их отношениях. Меняется форма геометрических фигур, возможна потеря этими фигурами своей конфигурации и образование новой, или изменение их подобия другим фигурам, распадение фигуры на отдельные элементы и даже их самостоятельное, независимое друг от друга существование.

А потому в основу статической геометрии закладываются отвлеченные представления о некоем однородном бесконечном пространстве, некоторых первичных понятиях, отображающих предметы и тела реального мира, и ряд аксиом, обеспечивающих возможность совместного функционирования их в рамках формальной логики. Однако, как отмечал еще Риман 4, до сих пор остаются невыясненными взаимоотношения между этими понятиями, закономерности связей между ними, и существует ли принципиальная возможность отыскания этой связи.

Именно отсутствие представления о взаимосвязи свойств тел и возможности отображения этих связей в геометрическом описании и придает геометрии статический характер, одновременно порождая иллюзию независимости геометрических построений от свойств реального мира, и о возможности свободного выбора геометрии для описания физического пространства.

Отсутствие связей между геометрией и физикой достаточно наглядно демонстрирует А. Пуанкаре 10 следующим примером:

«… если бы все тела Вселенной начали одновременно и в одинаковой пропорции расширяться, то у нас не было бы никаких средств заметить это, потому, что все наши измерительные инструменты увеличивались бы вместе с самими предметами, для измерения которых они служат. После этого расширения мир продолжал бы свой ход, и ничего не говорило бы нам, что произошло столь важное событие»

Данный пример приводится не Пуанкаре физиком, а Пуанкаре  чистым математиком, который, мысля математическими категориями, помнит, что между геометрическими фигурами нет никакой связи, а потому автоматически приписывает отсутствие связей между свойствами тел и телами, ими обладающими так же, как, например и у тел с метрическими инструментами. Что с изменением размеров базисной системы тел линейно изменяются и численные величины всех их свойств, которые, поэтому, не могут быть зафиксированы наукой. Что тела и свойства взаимно не связаны, а сами свойства независимы от тел и от пространства, в котором они образованы. Что геометрия не фиксирует никаких закономерностей между параметрами тел и взаимосвязями их свойств.

В этом утверждении (к нему мы еще вернемся), хотя оно как бы не имеет отношения к математике, явно выражен характер статической геометрии, отображающий только однозначные, формальные, обособленные свойства образуемой ее элементами (фигурами). А в реальном мире, в мире диалектики, обособленные а, следовательно, взаимно не связанные свойства отсутствуют.

Рассмотрим, так ли однозначны и обособлены эти элементы и их взаимосвязи в геометрии. И как проявляет себя в геометрии диалектика. Иными словами, рассмотрим диалектику элементов статической геометрии.