2.6. Что скрывают неевклидовы геометрии?

Хотя первыми авторами неевклидовых геометрий были Лобачевский, Больяйя, идеологию этих геометрий высказал и стал автором одной из них (эллиптической) Риман. Приступая к рассмотрению статических геометрий, вернемся к идеям, изложенным в его знаменитом формуляре 4. Отметим, что Риман исходил из того, что существуют какие-то условия или данные, априорно заложенные в понятие пространство. Он использовал, в качестве опоры, понятие «протяженность», полагая его аналогом только геометрического понятия длины и не замечая заложенных в протяженность телесности и качественности. К тому же заложенных не априорно, а как обобщенные характеристики множества реальных вещественных предметов. То есть понятия, сформировавшегося многовековым опытом человечества. Именно игнорирование телесности и качественности понятия «протяженность» и обусловило авторам «неевклидовых» геометрий непонимание истинного значения проделанной ими работы и того результата, который получил название «неевклидовы геометрии».

Поскольку исходным неевклидовых геометрий является постулат о параллельных, рассмотрим те трансформации, которые изменяют смысл аксиомы Евклида. В качестве примера будем ориентироваться на краткое доказательство истинности аксиомы Лобачевского, изложенное М. Клайном в работе 3, с тем, чтобы показать, как неявным образом, отражается на понимании этой аксиомы пропущенные качественность и телесность протяженности:

«Пусть задана прямая АВ и точка вне ее Р (рис. 25). Тогда все прямые, проходящие через точку Р, распадаются по отношению к прямой АВ на два класса: класс прямых, пересекающих АВ, и класс прямых, которые АВ не пересекают. К числу последних принадлежат две прямые р и q, разделяющие наши два класса прямых. Сказанному можно придать более точный смысл. Если Р  точка, находящаяся от прямой АВ на расстоянии Л (Л  длина перпендикуляра РD, опущенного из точки Р на прямую АВ), то существует острый угол , такой, что все прямые, составляющие с перпендикуляром РD угол, меньший , пересекаются с прямой АВ, а все прямые, составляющие с РD угол, больший или равный , не пересекаются с АВ. Две прямые р и q, образующие с РD угол , называются параллельными по Лобачевскому прямой АВ, а угол  = ((Л)) называется углом параллельности (отвечающим отрезку PD = Л). Прямые, проходящие через точку Р (отличные от параллельных прямых р и q) и не пересекающиеся с прямой АВ, называются расходящимися с АВ прямыми (или сверхпараллельными ей; в евклидовой геометрии они были параллельны прямой АВ). Если понимать параллелизм по Евклиду, т.е. называть параллельными любые две прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются между собой, то в геометрии Лобачевского через точку Р проходит бесконечно много прямых, параллельных АВ.

Рис. 25. Р   р g Л А D В

Затем Лобачевский доказывает несколько ключевых теорем. Если угол  равен 2, то мы приходим к евклидовой аксиоме о параллельных. Если угол  острый, то при неограниченном росте Л, он монотонно убывает и стремится к нулю. Сумма углов треугольника всегда меньше 180^о и стремится к 180^о, когда площадь треугольника неограниченно убывает (п ∕ж курсив наш – Авт.). Два подобных треугольника, имеющих одинаковые углы, всегда конгруэнтны”.

Здесь очень важно представить поведение “прямых” когда при движении прямой в одном из направлений прямая-луч Л, начинает неограниченно возрастать, и угол  монотонно убывает в стремлении к нулю. Оно, это возрастание, свидетельствует о повороте “прямых” (изгибании) р или q в стремлении оказаться перпендикуляром к АВ. Однако, по логике вещей, при удлинении, Л, «прямая» р должна передвигаться оставаясь параллельной сама себе. И если она поворачивается (изгибается), то возникает вопрос: Какой же механизм обеспечивает этот поворот? Нам нигде не встречалось объяснение этого механизма и возникающих из стремления к повороту вопросов: Какая математическая операция заставляет, при удлинении прямой искривляться и выставлять р в оппозицию прямой АВ? А при движении в противоположную сторону к А  убывании, искривляясь уходить на параллельность? Полагать, что это происходит случайно, не приходится, поскольку такая же процедура с точностью наоборот повторяется и в римановой геометрии. Или за ним кроется не геометрическая, а физическая составляющая? Та составляющая, которая еще не замечается, и которую обеспечивает телесность понятия «протяженность», заложенная в математических формулах и проявляющая себя помимо воли не подозревающих об этом ученых. И, как говорил Герц, формулы оказываются умнее своих разработчиков. Попробуем разобраться в этом качественно.

В неевклидовых полудинамических геометриях центр плотности как бы отсутствует (о возможности его существования не имеется явной информации) хотя пространство обладает изменяемой плотностью, и его плотностные функции неявно приобретают ближайшая к N равнозначная по рангу точка М на «бесконечной» линии. Точка же N превращается, таким образом, в точку «падающую» на М. Между ними «создается» скрытое в математической формализации анизотропное поле напряженности, посредством которого они взаимодействуют между собой. Для N как бы отсутствует прямая, на которой находится точка М. Эта анизотропия (изображена штрихами на рис. 26.), обусловливает точке N, движущейся совместно с М в пространстве изменяемой плотности, возможность образовывать фигуры геометрий Лобачевского, либо геометрии Римана. Это важнейшая особенность аксиом о параллельных «неевклидовых» статических геометрий  одновременное неявное движение двух взаимодействующих точек одинакового ранга в анизотропном пространстве на бесконечность.

(Для описания движения точки в бесконечности применяют предлог «в», предполагая прямую направленность движения. Однако заранее невозможно знать в каком пространстве оно будет происходить. И потому, неизвестно останется ли направление движения прямолинейным или искривится в неопределенном направлении. Поэтому, для описания бесконечного движения нами используется выражение «на бесконечность».)

Именно анизотропия пространства и обусловливает точкам-пилотам искривление траектории, проявляющееся как искривление линии. А так как возможности искривления траектории движения точки М ограничены “бесконечной” статической прямой, вдоль которой она движется, то точка N и выписывает фигуры «неевклидовых» геометрий в рамках заданных граничных условий. Поскольку “взаимодействие” точек М и N имеет характер притяжения или отталкивания, то это взаимодействие может быть отображено на рисунке посредством соединения точек М и N линией-лучом МN (рис. 26).

И

Рис.26.

зменение “длины” луча, обусловленное движением одной или обеих точек, и вызывает возникновение фигур той или другой геометрий. Поэтому линия-лучМN может быть названа образующей и обозначена буквой Л. Линия (условная), соединяющая две движущиеся определенным образом плотностные точки, называется образующим лучом Л или образующим. Так, если одна из точек неподвижна на плоскости, а другая, не меняя расстояния до первой, описывает в движении правильный круг, то образующий луч с такими свойствами в геометрии называется радиусом. А геометрии, в которых движение одних фигур ограничены статическими конструктами других, могут быть названы полудинамическими неевклидовыми геометриями.

Вернемся к рис. 25 и отметим, что в математических уравнениях для точки Р прямая АВ не «существует». Она взаимодействует только с точкой D, движение которой по условиям задачи, происходит по прямой АВ. Рассмотрим как двигаются в противоположных направлениях “прямые” р и q при движении вдоль прямой АВ. Отметим штрихами траекторию их движения на бесконечность. И увидим, что, например, точка Р при движении (считаем, что движется сама точка Р, оставляя за собой след-кривую линию р) в направлении В монотонно возрастает удаляясь от АВ и на бесконечности касательная от следа в точке Р' на АВ опускается практически под углом в 90^о к АВ, т.е перпендикулярно, а сама траектория РР по своей кривизне оказывается правой ветвью полуэллипса (рис. 27). Касательная к ней,  перпендикуляр к АВ становится лучом Л соединяющим крайнюю точку кривой РР с передвинувшейся к этому месту точкой D, поскольку сама точка Р движется не относительно прямой АВ, а в оппозиции с точкой D, движущейся вместе с Р вдоль прямой АВ. И в процессе совместного движения луч-перпендикуляр РD  Л, либо удлиняется при движении в одном направлении либо укорачивается при движении в противоположном направлении. И, следовательно, поведение прямой р определяется направлением ее движения. Этот момент, обусловленный скрытым взаимодействием точек Р и D, и является решающим для понимания сути «неевклидовых» геометрий.

П

Рис. 27.

ри движении Р в направлении А с тем же изменением скорости появляется другой след-кривая РР, образуя левую ветвь полуэллипса. И если их рассматривать совместно, то можно отметить, что обе полуветви, соединенные точкой Р, образуют полуэллипс РРР с неявным центром О между ними. К тому же, например, в точке D, луч Л превращается в перпендикуляр оставаясь касательной РD, и прямая АВ для правой полуоси фактически прерывается (поскольку прямая АВ не “существует” для правой полуветви РP), оказываясь фактически не бесконечной, а неопределенной, и зависящей от кривизны траектории РР, ограниченной в сторону В. И потому длина ее правой ветви определяется подъемом точки Р, а, следовательно, и направлением, в котором она движется. Но для субъекта, начертившего линию АВ, она в направлении В продолжается бесконечно.

Если же теперь линию-след Рр двигать от точки Р в направлении А, то образуемая ею кривая будет бесконечна по длине и на бесконечности выходит как бы на параллельную к АВ, образуя гиперболическую полуветвь, которая и послужила основанием для названия геометрии Лобачевского. От Р в сторону А прямая АВ имеет бесконечную длину, но для получения единой траектории рРР точка Р должна двигаться сразу в двух противоположных направлениях иначе ей необходимо возвращаться из р в Р, а уже из Р двигаться к Р, и заранее, если убрать граничные условия, невозможно сказать будет ли она возвращаться по той же кривой, по которой двигалась в сторону А (скорее всего возвращаться она будет как ветвь полуэллипса).

А это означает, что в точке Р существует разрыв кривой линии рРР обусловленный изменением качества взаимодействия точки с окружающим пространством при движении в одном и противоположном направлении, о котором в геометрии похоже не упоминается. Это первая неприятность в интерпретации движения линии параллельной АВ через точку Р. Вторая вытекает из первой, поскольку предполагается, что правая ветвь гиперболической кривой Рq на бесконечности стремится к параллельности с АВ. Но как показано выше, реальная прямая АВ не может быть бесконечной в обе стороны, если существует кривая р'Р. И потому точка Р может двигаться на бесконечность только в направлении В. Естественно, что и для линии qРq в точке Р имеет разрыв и, следовательно, данная линия тоже не может считаться цельной. И мы уперлись в парадокс, “запрещающий” существование параллельного движения (в смысле Евклида) через точку в статической геометрии. И, если полагать что существуют неевклидовы геометрии, то они просто не могут быть статичными. Они должны быть полудинамическими, поскольку допускают существование как движущихся, так и неподвижных фигур. Попробуем поступить наоборот и начать движение не из точки Р, а из бесконечности от Р.

Пусть точка-тело Р (или Р) неподвижна и находится на бесконечном расстоянии над прямой АВ (т.е. выполняется условие нахождения ее в бесконечности по рис. 27) над точкой-телом D через которую проходит прямая АВ. Соединим их линией-лучом Л (рис. 28). Из неподвижности точка Р начинает “падать” на данную прямую, оставляя за собой след. Возникает вопрос: будет ли она падать в направлении А или в противоположном направлении? Естественно, что она будет падать по вертикали РD и для нее нет никаких “побудительных” мотивов отклоняться в падении влево или вправо. То есть точка-тело, при свободном падении на другую плотностную точку-тело, сама по себе никогда не отклонится от вертикали. И чтобы это произошло, необходимо в начале движения дать ей небольшой внешний импульс в сторону, допустим, А. Тогда направление падения определится. Но будет ли точка падать по траектории эллипса? Нет, не будет. Она будет двигаться вдоль прямой АВ (на рис. 28 направление обозначено стрелками), естественно при условии одновременного движения точки D в сторону А. Последнее для нее обеспечивается направляющей прямой АВ.

И чтобы точка “падала” по ветви эллипса, скорость ее падения должна изменяться и в горизонтальном и в вертикальном направлении и изменяться нелинейно. То есть так же, как меняется, например, траектория комет, движущихся в направлении Солнца. Это свидетельствует о том, что пространство плоскости в котором “движется” точка не пусто, имеет неявную переменную напряженность, изменяющуюся по высоте так же, как изменяется напряженность гравитационного поля Солнца в Солнечной системе.

Э

Рис. 28.

та изменяющаяся напряженность обусловливает искривление траектории падающей точкеP. А виртуальная точка О в этом случае символизирует собой то место, где должен находиться один из центров притяжения эллипса. Но его там нет. Роль центра в данном движении фиктивно выполняет прямая АВ. Фиктивно потому, что прямая АВ, наличествуя в фигуре на бумаге и в головах исследователей, но в уравнениях и в пространстве точки P отсутствует. Она, точка P, «чувствует» (память формы) только точку D и как бы взаимодействует с ней по лучу Л (в общем символизирующем центральное притяжение тел). И граничные условия формулы, соединяющей концы луча, обусловливают обеим точкам при начале движения точки P совместное движение в направлении точки Р, где горизонтальная скорость движения по эллиптической кривой будет максимальной. И прямая АВ, проявляется в этом случае в виде следа от движения точки D. Точка Р  место перехода от ветви эллиптической к ветви гиперболической (т.е. меняется качество движения) и в ней напряженность нейтральной зоны между точками Р и D сравнивается, а после прохождения ее притяжение заменяется отталкиванием, характер движения меняется. Точку Р приходится «силой» подгонять к D, а вместе с изменением характера движения меняется и траектория с эллиптической на гиперболическую. При отсутствии нейтральной точки Р уравнение просто не будет давать гиперболического решения.

“Принудительное” движение по гиперболической ветви Рр (рис. 28) будет сопровождаться замедлением как горизонтальной, так и вертикальной скорости, но никогда не приведет к “соединению” точек P и D потому, что “ранг” напряженности этих точек-тел сравнялся в точке Р и только граничные условия уравнения обусловливают их все замедляющееся сближение. Возрастающая плотность нейтральной зоны между ними может привести к тому, что в какой-то момент (этот момент в настоящее время в уравнении движения точек, похоже, отсутствует за ненадобностью), который может быть обозначен, например, буквой Г, сжатие сменится отталкиванием и ситуация начнет зеркально повторяться. В точке Р₁ появится восходящая в направлении А ветвь гиперболы, а далее эллиптическая полуветвь аналогичная полуветви qРq рис. 27 (только таким образом могут одновременно проявлять себя кривые р и q, и, следовательно, представление об их пересечение в одной точке возможно лишь в статике, т.е. без движения). Все это в том случае, если мы требуем бесконечного движения Р во времени вдоль прямой АВ. Естественно также, что при отсутствии точки Г точки Р и D будут бесконечно сближаться, но никогда не сольются (не пересекутся). То есть оказываются параллельными.

Таким образом, «параллельные» Лобачевского есть следы траектории движения двух взаимодействующих в различных условиях и направлениях тел, «состыкованные» в точке Р (рис. 27) в области равенства их напряженностей и образовавшие эквидистанту. Если же Р – ближайшая к прямой АВ точка следа траектории и после нее траектория начинает удаляться от прямой АВ, образуя «седловину», то данная кривая не имеет разрыва в точке Р. И полуэллипсы РР и РР образуют основную фигуру статической геометрии Лобачевского.

Ситуация с движением “прямых”− следов движущихся точек-тел p и q через Р в эллиптической римановой геометрии практически аналогична предыдущей и отличается только тем, что точка Р является наиболее удаленной от АВ точкой образующихся следов, а “прямые” по обе стороны от нее по уравнению не имеют возможности “подниматься” над точкой Р и потому расходятся в разные стороны с медленным приближением к АВ, сразу демонстрируя таким образом, что точка Р является точкой разрыва, поскольку для получения двух полудуг приходится двигаться в противоположных направлениях. Т.е. совершать качественно различные движения. Коротко опишем получаемые фигуры.

Предположим, что точка Р находится на некотором расстоянии от точки Д. Ранг обоих точек одинаков и они движутся в одном направлении но граничные условия уравнения “заставляют” их сближаться таким образом, что одна из них Д перемещается вдоль прямой АВ, а другая приближается к ней (рис. 29). Разница между рис. 27 и рис. 29 в том, что граничные условия движения точки р:

в первом случае (на рис. 27) обусловливают точке прохождение одной части траектории рР как бы повторяя естественное падение тела на другое (точнее вдоль другого, фиктивно отображенного прямой АВ) с возрастающей горизонтальной скоростью из бесконечности к точке Р, а второй части Рр по искусственной траектории, когда граничные условия “заставляют” точку (тело) Р двигаться приближаясь к точке (телу) Д по гиперболической траектории.

во втором случае (рис. 29) точка Р является наиболее удаленной от точки Д и принудительное движение в любом направлении приближает ее к точке Д.

П

Рис. 29.

оэтому длина линииАВ в обоих направления неопределенно конечна. Однако для точки Р она с обеих сторон как бы устремлена в бесконечность, поскольку точки Д и Р в своем движении никогда не пересекутся и не сольются. Это естественное следствие одноранговости тел-точек не было замечено в римановой геометрии и потому предполагается, что обе точки пересекаются, замыкая прямую АВ с обеих сторон, и образуя, тем самым, полуэллипс с большой осью. Однако это заблуждение. Ни слияние точек Р и Д, ни их пересечения не происходит. И образуемый двумя разорванными дугами полуэллипс так же параллелен прямой АВ, как параллельны ему эквидистанта Лобачевского и вторая прямая Евклида, поскольку о параллельности можно судить только по одному признаку  пересекаются ли две прямые между собой или нет (слияние их друг с другом в одну, то же пересечение).

Поэтому в движении Р  А и в движении Р  В конфигурация следа точки будет оставаться эллиптической, а коэффициент эллиптичности определяться скоростью принудительного движения. Но поскольку точка Р и точка Д никогда не сольются то будет проявляться только контур полуэллипса не доходящий до прямой АВ. Иначе говоря полуконтур с разрывами по главной оси и в точке Р, к тому же внутри его остается, как неотъемлемый элемент фигуры, прямая-ось АВ, и как уже говорилось, выдернуть эту ось математическими методами невозможно. По этой причине ни полный круг, ни полный эллипс вращением вокруг оси АВ траектории полуэллипса, в римановой геометрии построить невозможно, не говоря уже о том, чтобы построить сферу или эллипсоид. А, следовательно, для названия римановой геометрии геометрией эллиптической было не больше оснований, чем для названия геометрии Лобачевского геометрией гиперболической.

Т

Рис. 30.

еперь построим на одном рисунке фигуру, вмещающую все три параллельных, проходящих через одну точкуР (рис. 30) и отметим, что все они в такой конфигурации не сводимы друг с другом, но “гиперболический” след, образованный траекториями qР и Рр справа и слева над точкой Р, точками-телами в относительно свободном падении, по форме траектории весьма напоминает фигуру риманово эллипса, находящегося ниже Р и “опрокинутого” относительно евклидовой параллельной. И на интуитивном уровне становится понятно, что это не просто родственные фигуры, а родственные по взаимодействию в механическом движении с чем-то таким, что определяется структурой плотностного пространства. Именно форма взаимодействия тел в движении и само движение роднит эти фигуры. (Родство их с параллельной Евклида А`В` не просматривается даже на интуитивном уровне. Параллельная А`В` самодостаточна, изначально статична, в движении не проявляется и потому не родственна движущимся телам.)

Итак, основой, объединяющей геометрии Лобачевского и Римана, является не статическая эллиптичность или гиперболичность, а механическое движение линии в телесном пространстве, образующее искривление указанных фигур. Движение, которое ранее не было замечено. Введение в геометрию всего одного качества  механического движения, превращает статическую геометрию Евклида, в полудинамическую неевклидову геометрию. (Противоречивость геометрий Лобачевского и Римана в статической постановке, как уже упоминалось, была обусловлена тем, что кривизна поверхностей статических фигур рассматривалась исходя из римановой теории кривизны, а не как следствие определенных взаимодействий вызываемых движением тел в пространстве, поскольку о возможности движения и взаимодействия с пространством в статической геометрии не может и речи быть).

Полудинамическая геометрия истинно неевклидова геометрия не потому, что ее параллельные гиперболические и эллиптические  это фигурные частности евклидовой геометрии, не имеющие к ней отношения. А потому, что вводит в математику новое качество  механическое движение, которое отсутствует и у Евклида, и у Лобачевского, и у Римана, и во всех статических геометриях. (И, вообще, противопоставление геометрий Лобачевского и Римана геометрии Евклида было очередным математическим заблуждением. Они – раздел геометрии Евклида.). Видимые эллиптические и гиперболические конфигурации, именно как статические фигуры, остаются фигурами евклидовой геометрии, точнее входят в разные группы преобразований евклидовой геометрии. (Преобразование не отображает механического движения. Механическое движение всегда изменение качества, и отображается инвариантами гомотетии. Преобразование же не меняет качества, и потому не может полностью «передавать» функции движения. Преобразование – формальная математическая операция, обусловливающая изменение количественных или пространственных пропорций.)

Динамические составляющие статико-динамической геометрии определяют ее неевклидовость. Ее частичную, принадлежность к реальному физическому миру, к миру тел и механических движений. Ее полудинамичность и представляет собой начало перехода от геометрии к физике. Следует помнить, что в неевклидовых полудинамических геометриях всегда имеются две составляющие: движущиеся фигуры–точки, или прямые, и неподвижные фигуры–точки. Исчезновение одной из этих составляющих сразу же меняет качество появившейся геометрии, превращая ее либо в статическую, либо в динамическую. И потому движение в статико-динамических геометриях не равноценно отражает движение тел (точек) реального мира. Оно своего рода гибрид. Гибрид, в котором явно присутствуют две составляющие:

механическое движение,  сопровождаемое деформацией как элемент реальности, как качество, отображающее динамические свойства реального телесного пространства;

статичность как элемент мысленной неподвижности, как элемент фигур евклидовой геометрии в актуальной бесконечности.

Но и сама статичность тоже присутствует в двух видах;

как имеющаяся в неявном виде в пространстве фигура, которая проявляется в своей статичности только на период ее рассмотрения;

как возникающее в результате “замораживания” следы движущихся точек (фигур).

И только после «замораживания» всех проявившихся фигур получившаяся данность относится к статической геометрии Евклида.

Итак, в структуре геометрий начало проявляться некоторое «ранжирование» от статических геометрий, которых много, к геометрии динамической (ибо уже из логики понятно, что за полудинамической геометрией следует ожидать наличие геометрии динамической), которая, похоже, существует в единственном числе. Это ранжирование изменяет представление о самих геометриях, об их элементах и отображениях в них природных явлений. Намечается следующая градация геометрий:

 геометрии статические  Евклида, Лобачевского, Римана, и все другие геометрии, использующие аппарат математического преобразования;

 геометрии полудинамические или неевклидовы геометрии, допускающие существование неподвижных и механически движущихся фигур;

 геометрия динамическая (пока в качестве логического продолжения ранжирования), все объекты которой находятся в движении по инвариантам гомотетии.

Неевклидова геометрия (как было показано, она полудинамическая, или статико-динамическая) это одновременно и механическое движение и статика. Это процесс взаимозависимости подвижных и неподвижных фигур. Процесс движения, переходящий с пространственного перемещения определенной фигуры (фигур) относительно других (с динамики) и заканчивающийся остановкой движущихся фигур (или запечатления следа от них). То есть евклидовой статикой. В результате движения получившаяся следовая комбинация пропорционально деформированных фигур “останавливается” и переходит из полудинамической геометрии в геометрию статическую.

Наличие механического движения и возможность описания его в терминах геометрии вызывает вопрос: А можно ли сформулировать аксиому о параллельных полностью в динамической постановке? Если это возможно, то появляется возможность построения теории динамической геометрии и найденная выше градация геометрий получит математическое обоснование. Попробуем сформулировать такую аксиому.