- •Предисловие
- •Глава1. Логика классическая
- •1.1. Логика высказываний
- •1.1.1. Алгебра высказываний
- •1.1.1.2. Правила записи сложных формул
- •1.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •1.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •1.1.1.5. Нормальные формы формул
- •1.1.2. Исчисление высказываний
- •1.1.2.1. Интерпретация формул
- •1.1.2.2. Аксиомы исчисления высказываний
- •1.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •1.1.2.4. Метод резолюции
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •1. 2. Логика предикатов
- •1.2.1. Алгебра предикатов
- •1.2.1.1. Логические операции
- •1.2.1.2. Правила записи сложных формул
- •1.2.1.3. Законы алгебры предикатов
- •1.2.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •1.2.1.2. Предварённая нормальная форма
- •1.2.1.3. Сколемовская стандартная форма
- •1.2.2. Исчисление предикатов
- •1.2.2.1. Интерпретация формул
- •1.2.2.2. Аксиомы исчисления предикатов
- •1.2.2.3. Правила унификации предикатов
- •1.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •1.2.2.5. Метод резолюции
- •1.2.3. Логическое программирование
- •1.2.3.1. Основы логического программирования*
- •1.2.3.2. Подготовка среды Visual Prolog для работы
- •1.2.3.3. Описание логических задач на языке Prolog
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •Формула
- •1.3. Логика реляционная
- •1.3.1. Реляционная алгебра*
- •1.3.1.1. Унарные операции
- •1.3.1.2. Бинарные операции
- •1.3.2. Реляционное исчисление*
- •1.3.3. Языки реляционной логики
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •Глава 2. Неклассическая логика
- •2.1. Нечёткая логика
- •2.1.1. Нечёткие множества
- •2.1.2. Нечёткая алгебра
- •2.1.2.1. Операции над нечёткими множествами
- •2.1.2.2. Законы нечёткой алгебры
- •2.1.2.3. Свойства нечётких отношений
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •2.2. Модальная логика
- •2.2.1. Темпоральная (или временнáя) логика*.
- •Ответы и решения
- •Литература
- •Предметный указатель
110 |
Математическая логика |
|
|
|
|
Расчетно-графическая работа
1)Преобразовать формулу к виду ПНФ и ССФ,
2)сформировать множество дизъюнктов К,
3)выполнить унификацию дизъюнктов.
-
Формула
1x(A(x)→B(y))& y(A(x)→(B(y)→C(z)))→(A(x
2x(B(x)→ z(A(z)))& y(A(z)→C(y))→(¬C(y)&
3x(A(x)→ y(B(y)))→ y(¬A(x) ¬C(z) B(y))
4x(A(x)→ z(C(z)))& y(C(z)→B(y))→(A(x)→B
5x(A(x)→B(y))& y(A(x)→(B(y)→C(z)))→ z(A
6x(A(x)→ y(B(y)→C(z)))→ z(A(x)&B(y)→C(z
7x(A(x)→B(z))& y(C(y)→A(x))→ z(C(y)→B(z
8x((A(x)→B(y))→ y((C(y) A(x)))→(C(y) y(
9x(A(x)→B(y))& y(A(x)→(B(y)→C(z)))→(A(x
10x(A(x)→B(y)&A(x)→ y(B(y)→C(z)))→(A(x)
11x(A(x)→ z(B(y)→C(z)))→ y(B(y)→(A(x)→C
12( x(A(x))→ z(B(z)))→ z((B(x)→C(z))→(A(x)
13( x(¬A(x))→ z(¬B(z)))→(¬B(x) A(x))
14( x(A(x))→ y(B(y)))→ y(C(y)&A(x)→C(y)&B
15x(¬A(x)→ y(B(y)))→(¬B(y)→A(x))
16x(B(x)→ z(A(z)))& y(A(z)→C(y))→(¬C(y)&
17x(A(x)→ z(C(z)))& y(C(z)→B(y))→(A(x)→B
18x(¬A(x)→ y(¬B(y)))→(B(y)→A(x))
19x(A(x)→B(x))& y(B(x)→C(y))→ z(C(y)→D(z
20x(A(x)→B(x))& z(C(z)→A(x))→ y(C(z)→B(y
21x(B(x)→ y(A(y)))& y(B(y)→(A(x)→C(z)))→
22x(A(x)→B(y)&A(x)→ y(B(y)→C(z)))→(A(x)
23x(A(x)→B(x))→( y(C(y)→A(x))→ z(C(z)→B
111
24x(B(x)→A(y))&(B(x)→ y(A(y)→C(z)))→ z(C
25( x(A(x)→B(z))→ y(C(y) A(x)))→ z(C(y) B(z
2 |
( |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
x(B(x)) |
|
|
|
y(A(y))) |
|
|
|
(A(y) |
|
|
|
|
|
yC(y)) |
|
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
|
|
A(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
x(A(x)) |
|
|
x(B(x))) |
|
¬ |
|
|
y(A(x) |
|
|
|
|
C(y))) |
|
|
|
|
|
|
(B(x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
x(A(x) |
|
|
|
y(B(y))) |
|
|
|
( |
¬ |
A(x) |
→ |
|
|
|
|
y(B(y))) |
|
|
|
|
|
|
B(y) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
x(A(x) |
|
|
y(B(y))) |
|
|
|
( |
|
|
|
A(x) |
|
|
|
B(x)) |
|
|
|
|
|
B(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
x(A(x)→B(x))& z(C(z)→A(x))→ y(C(z)→B( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
¬ |
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(B(x)) |
|
|
|
y(A(y))) |
|
|
|
( |
|
|
B(x) |
|
|
|
|
|
A(y)) |
|
|
|
|
|
|
A(z) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
( |
|
x(B(x)) |
→ |
z(C(z))) |
→ |
(A(y) |
& |
B(x) |
→ |
A(y) |
& |
C(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(A(x)→B(y))→ y z((C(z)→A(x))→(C(z)→B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(A(x)) |
|
|
z(C(z))) |
|
|
|
|
|
|
|
y(C(z) |
|
|
|
|
|
|
B(y)) |
|
|
|
|
|
|
(A(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x(A(x)) |
|
|
y(B(y)) |
|
|
|
|
|
|
y(C(y) |
|
|
|
|
|
|
|
xD(x)) |
|
|
|
|
|
(A(x) |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(A(x)→B(y))& z(C(z)→A(x))→ y(C(z)→B( |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
x(A(x) |
|
|
z(B(z))) |
|
|
|
|
|
|
|
y(A(x) |
|
|
|
C(y))) |
|
|
|
|
|
|
(B(z) |
|
|
|
C |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
x(B(x) |
|
|
y(A(y))) |
|
|
|
|
|
|
y(B(x) |
|
|
|
|
(A(y) |
|
|
|
|
|
|
|
C(z))) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
x(B(x)→A(y))&(B(x)→ y(A(y)→C(z)))→ z(B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
x(A(x)→B(x))→ y((C(y)→A(x))→(C(y)→B(x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
4 |
|
|
|
x(A(x) |
|
|
B(y)) |
|
(A(x) |
|
|
|
|
y(B(y) |
|
|
C(z))) |
|
& |
|
(A(x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
x(B(x)) |
→ |
z(C(z))) |
→ |
(A(y) |
& |
B(x) |
→ |
A(y) |
C(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
x(A(x)→B(z))→ y((C(y) A(x))→ z(C(y) B(z) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(A(x)→B(y))& z(C(z)→A(x))→ y(C(z)→B(y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(A(x)→B(x))& y(B(x)→C(y))& z(C(y)→D(z |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
( |
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
→ |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(A(x)) |
|
|
z(C(z))) |
|
|
|
|
|
|
|
y(C(z) |
|
|
|
|
|
|
B(y)) |
|
|
|
|
|
|
(A(x) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(A(x)→B(y)&A(x)→ y(B(y)→C(z)))→(A(x) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
( |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
|
|
|
|
→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
→¬ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x(B(x) |
|
y(A(y)))) |
|
|
|
|
|
y(A(x) |
|
|
|
|
|
|
C(y)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C(y) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4( x(A(x))→ z(C(z)))& y(C(z)→B(y))→(A(x)→
5x(A(x)→B(y))& y(A(x)→(B(y)→C(z)))→ z(A