- •Предисловие
- •Глава1. Логика классическая
- •1.1. Логика высказываний
- •1.1.1. Алгебра высказываний
- •1.1.1.2. Правила записи сложных формул
- •1.1.1.3. Законы алгебры высказываний
- •1.1.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •1.1.1.5. Нормальные формы формул
- •1.1.2. Исчисление высказываний
- •1.1.2.1. Интерпретация формул
- •1.1.2.2. Аксиомы исчисления высказываний
- •1.1.2.3. Метод дедуктивного вывода
- •1.1.2.4. Метод резолюции
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •1. 2. Логика предикатов
- •1.2.1. Алгебра предикатов
- •1.2.1.1. Логические операции
- •1.2.1.2. Правила записи сложных формул
- •1.2.1.3. Законы алгебры предикатов
- •1.2.1.4. Эквивалентные преобразования формул
- •1.2.1.2. Предварённая нормальная форма
- •1.2.1.3. Сколемовская стандартная форма
- •1.2.2. Исчисление предикатов
- •1.2.2.1. Интерпретация формул
- •1.2.2.2. Аксиомы исчисления предикатов
- •1.2.2.3. Правила унификации предикатов
- •1.2.2.4. Метод дедуктивного вывода
- •1.2.2.5. Метод резолюции
- •1.2.3. Логическое программирование
- •1.2.3.1. Основы логического программирования*
- •1.2.3.2. Подготовка среды Visual Prolog для работы
- •1.2.3.3. Описание логических задач на языке Prolog
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •Формула
- •1.3. Логика реляционная
- •1.3.1. Реляционная алгебра*
- •1.3.1.1. Унарные операции
- •1.3.1.2. Бинарные операции
- •1.3.2. Реляционное исчисление*
- •1.3.3. Языки реляционной логики
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •Глава 2. Неклассическая логика
- •2.1. Нечёткая логика
- •2.1.1. Нечёткие множества
- •2.1.2. Нечёткая алгебра
- •2.1.2.1. Операции над нечёткими множествами
- •2.1.2.2. Законы нечёткой алгебры
- •2.1.2.3. Свойства нечётких отношений
- •4.4.2. Экспертные системы
- •Вопросы и задачи
- •Расчетно-графическая работа
- •2.2. Модальная логика
- •2.2.1. Темпоральная (или временнáя) логика*.
- •Ответы и решения
- •Литература
- •Предметный указатель
96 |
Математическая логика |
M =(P1.(z) P2.(x) P3.(y))&( P2.(w) P2.(x) P3.(y))&(P1.(z) P1.(z) P3.(y))& &( P2.(w) P1.(z) P3.(y)).
•Применить закон исключенного третьего:
M=(P1.(z) P2.(x) P3.(y))&( P2.(w) P2.(x) P3.(y))&( P2.(w) P1.(z) P3.(y)).
Матрица содержит три элементарных дизъюнкта
K={(P1.(z) P2.(x) P3.(y)), ( P2.(w) P2.(x) P3.(y)), ( P2.(w) P1.(z) P3.(y))}.
Дизъюнкты матрицы содержат контрарные атомы P1.(z) и P1.(z), P2.(x) и P2.(w). Если имена переменных различны (например, x и w), то выполняют унификацию дизъюнктов подстановкой вместо одной переменно другой или промежуточных термов (подробнее см. 1.2.2.3).
1.2.1.3. Сколемовская стандартная форма
Наличие разноименных кванторов в префиксе не позволяет осуществлять вывод заключения, опираясь только на матрицу. Однако есть эффективный алгоритм Сколема, удаляющий из префиксной части кванторы существования и преобразующий формулу к виду F = x1 x2…xn (M). В этом случае вывод заключения возможен только по формуле матрицы. Для устранения в префиксе кванторов существования вводится сколемовская функция от предметных переменных кванторов всеобщности, которая замещает в матрице связанную квантором существования предметную переменную.
Алгоритм приведения формулы к виду ССФ:
Шаг 1: представить формулу F в виде ПНФ, т. е.
F= x1 x2…xn(M), где i { , }, а
1. 2. Логика предикатов |
97 |
М=D1&D2&D3&…,
Шаг 2: найти в префиксе самый левый квантор существования и заменить его по правилу:
a)«если квантор существования находится на первом месте префикса, то вместо переменной, связанной этим квантором, подставить в матрице всюду предметную постоянную a, отличную от встречающихся постоянных, а квантор существования удалить»,
b)«если квантор существования находится на i-м
месте префикса, т.е. x1 x2…xi-1 xi ..., то выбрать (i-1)- местную функцию f(x1, x2,..xi-1), отличную от функций
матрицы М и выполнить замену предметной переменной xi, связанной квантором существования, на функцию f(x1, x2,..., xi-1) и квантор существования из префикса удалить».
Шаг 3: найти в префиксе следующий слева квантор существования и перейти к исполнению шага 2, иначе конец.
Формулу ПНФ, полученную в результате введения сколемовских функций называют сколемовской стан-
дартной формой (ССФ).
Преобразованная таким образом матрица может быть допущена к анализу истинности суждения по принципу резолюции.
Пример 1.69. Дано F= x1 x2 x3 x4 x5 x6((P1(x1,
x2)¬P2(x3, x4, x5))& &P3(x4, x6)). Преобразовать формулу к виду ССФ.
• Принять x1=a и удалить x1:
F= x2 x3 x4 x5 x6 ((P1. (a, x2)¬P2.(x3, x4, x5))&P3(x4, x6)),
• принять x4=f1.(x2, x3) и удалить x4:
98 |
Математическая логика |
F= x2 x3 x5 x6 ((P1.(a, x2)¬P2 (x3, f1(x2, x3), x5))&P3 (f1(x2, x3), x6)),
• принять x6=f2(x2, x3, x5) и удалить x6: F= x2 x3 x5((P1(a, x2)¬P2(x3, f1(x2, x3), x5))&P3(f1(x2, x3), f2(x2, x3, x5))).
Множество дизъюнктов матрицы К={(P1(a, x2)¬P2(x3, f1(x2, x3), x5)), P3(f1(x2, x3), f2(x2, x3, x5))}.
Пример 1.70. Дано F= z w x y((P1
z) P2(x) P3.(y))&(¬P2(w))
P2 (х) P3.(y))&(¬P2 (w)¬P1(z) P3.(y))). Преобразовать формулу к виду ССФ.
• Принять z=a и удалить z:
F= w x y((P1 (a) P2 (х) P3.(y))&(¬P2 (w) P2 (х) P3.(y))&(¬P2
(w)¬P1(a) P3.(y))),
• принять x=f(w) и удалить квантор x:
F= w y((P1 (a) P2 (f(w)) P3.(y))&(¬P2 (w) P2 (f(w)) P3.(y))&(¬P2(w)
¬P1(a) P3.(y))).
Множество дизъюнктов матрицы К= {(P1 (a) P2
(f(w)) P3.(y)), (¬P2(w)
P2(f(w)) P3.(y)), (¬P2(w)¬P1(a) P3.(y)))}.
Пример 1.71. Дано F= z w x y((P1
(z) P2(x) P3.(y))&(¬P2(w)
P2 (х) P3.(y))&(¬P2 (w)¬P1 (z) P3.(y))). Преобразовать формулу к виду ССФ.
• Принять z = a и удалить z:
F= w x y((P1 (a) P2 (х) P3.(y))&(¬P2 (w) P2 (х) P3.(y))&(¬P2
(w)¬P1(a) P3.(y))),