• принять x = f(w) и удалить x:

F= w y((P1 (a) P2 (f(w)) P3.(y))&(¬P2 (w) P2 (f(w)) P3.(y))& (¬P2(w)

¬P1(a) P3.(y))).

Множество дизъюнктов матрицы К={(P1 (a) P2

(f(w)) P3.(y)),

(¬P2(w) P2(f(w)) P3.(y)), (¬P2(w)¬P1(a) P3.(y))}.

Обратите внимание, что в одном из дизъюнктов есть контрарные атомы, но один из них содержит предметную переменную w, а другой – сколемовскую функцию f(w). Это - ¬P2 (w) и P2 (f(w). В двух других дизъюнктах также есть контрарные атомы, но содержащие предметную постоянную ‘а’. Это - P1 (a) и ¬P1 (a). При исполнении алгоритма по принципу резолюции выполняется поиск и унификация таких атомов.

1.2.2. Исчисление предикатов

Если выполнить подстановку вместо пропозициональных переменных исчисления высказываний формулы алгебры предикатов, то каждая схема доказательства теоремы и каждая схема вывода заключения сохраняются в исчислении предикатов. Однако для кванторных операций следует дать интерпретацию формул логики предикатов и выделить правила и аксиомы, позволяющие управлять кванторами и выполнять унификацию предикатов.

1.2.2.1. Интерпретация формул

Под интерпретацией формул следует понимать систему, состоящую из непустого множества V, называемого

универсумом, и отображения предиката P( t1,t2,…, tn) на

двухэлементное множество {и, л}. Предметные постоянные ti и функциональные символы fi(t1, t2,..., ) есть элементы t V, а предметные переменные есть обычные переменные, заданные на универсуме. Символы логических и кванторных операций приобретают также обычный смысл. Тогда каждому предикату P(t1,t2,…, tn), принявшему значение «и» или «л», ставится в соответствие n-местное отношение на множестве V.

Например, если V - множество целых чисел и дано частное суждение x y z(P(x, f+(y, z))):= «существует число x, которое меньше суммы чисел y и z», то при х=5, у=1, z=3 имеем двухместную операцию f+(1, 3) и двухместное отношение между числом 5 и значением операции f+(1,3)=4. Отображение P(5,4) на двухэлементное множество дает значение «л». Это же суждение при х=5, у=2, z=4

имеет f+(2,4)=6 и P(5, 6)=«и» (см. рис. 1.10.)

Другими словами, интерпретация функциональных символов определяется по значениям функции на универсуме, а интерпретация предикатных символов по отображению на множество {и, л}.

Выделяют три класса формул: тождественно истинные, тождественно ложные и выводимые.

Тождественно истинные формулы - это особый класс формул, которые при исполнении логических и кванторных операций принимают значение «истины» для всех интерпретаций предметных постоянных, функциональных и предикатных символов. Большинство из них - аксиомы исчисления предикатов.

Например, формулаx(F(x))↔¬x(¬F(x)):=«существуют x, для которых F(x)=и, эквивалентна формуле не для всех x F(x)=л». Это - тождественно истинная формула.

Тождественно ложные формулы - это особый класс формул исчисления предикатов, которые при исполнении логических и кванторных операций принимают значение «ложь» для всех интерпретаций предметных постоянных, функциональных и предикатных символов.

Например, формула

x(F(x))&x(¬F(x)):=«существуют x, для которых F(x)=и, и

для всех x F(x)=л» является тождественно ложной.

Выводимые формулы - это особый класс формул исчисления предикатов, которые при исполнении логических и кванторных операций принимают значение «истина» не для всех интерпретаций предметных постоянных, функциональных и предикатных символов.

Например, формула x(F(x))→¬x(F(x)):= «если существует x, для которого F(x)=и, то не для всех х F(x)=и».

Вывод заключения из множества посылок есть:

F1,F2,…, Fn| B,

где слева от знака “| ” записывают множество посылок и необходимых аксиом F1,F2,…, Fn, а справа – заключение B. На естественном языке эта запись читается так: «верно, что В выводимо из посылок и аксиом F1,F2,…, Fn».

Другая форма вывода заключения:

F1,F2 ,...,Fn

B,

где над чертой - множество посылок и аксиом F1,F2,…, Fn, а под чертой - заключение B.

Вывод заключения на языке математической логики это доказательство теоремы | F1&F2&…&Fn→B. В процессе доказательства последовательно используют аксиомы и законы логики предикатов, правила введения и удаления кванторов, правила подстановки и унификации предикатов. При выводе используют правила modus ponens и modus tollens.

1.2.2.2. Аксиомы исчисления предикатов

Аксиомы исчисления предикатов опираются на двенадцать аксиом исчисления высказываний, сохраняя при этом особенности исполнения кванторных операций. Поэтому для понимания механизма вывода в исчислении предикатов следует знать правила введения и удаления кванторов. Эти правила существенно облегчают преобразования сложных логических формул.

П1.Удаление квантора всеобщности: если выводима формула x(F(x)), то, заменив предметную переменную x на терм t, можно удалить квантор всеобщности и получить выводимую формулу

x (F(x)) F(t).

П2. Введение квантора всеобщности:

a)если выводима формула F(t), то, заменив терм t на предметную переменную x, можно ввести квантор всеобщности и получить выводимую формулу

F(t)

xF(x).

b) если выводима формула (F1(t)→F2(x)) и F1(t) не содержит свободной переменной x, то выводима формула

F1(t) → F2 (x) .

F1(t) → x (F2 (x))

П3. Удаление квантора существования: если выводима формула x(F(x)), то, заменив предметную переменную х на предметную постоянную ‘а’, можно удалить квантор существования и получить выводимую формулу

x (F(x) F(a).

П4. Введение квантора существования:

a) если выводима формула F(t), то, заменив терм t на предметную переменную x в заданной области интерпретации, можно ввести квантор существования и получить выводимую формулу

F(t)xF(x).

b) если выводима формула F1(x)→F2(t) и F2 не содержит свободной переменной x, то выводима формула

F1(x) → F2 (t) .x (F1(x)) → F2 (t)

П5. Формирование ПНФ формулы:

a) если при исполнении логических операций один из предикатов Fi не содержит переменной x, связанной в