та””(“<число> ”,”<месяц>”,”<год>”)”. Для предметных постоянных она формирует высказывание. Например, «дата(1 января 2005 года)». Описание треугольника также можно рассматривать как некоторую структуру на предметных переменных, описывающих координаты вершин треугольника. Тогда функциональным символом является “треугольник”, а аргументами этой функции будут координаты вершин <x1, y1>, <x2, y2>, <x3, y3>, Для предметных переменных структура этой функции есть ”треуголь-

ник””(“<x1, y1>”,”<x2, y2)>”,”<x3, y3>”)”. При подстановке предметных постоянных будет дано описание конкретного треугольника.

1.2.1. Алгебра предикатов

Алгебры предикатов есть Апред.=<T, F>,

где T= {T1, T2, T3, T4} - носитель алгебры, при этом Т1= {x, y, z, ...} - множество предметных переменных, Т2= {a, b, c,

...} – множество предметных постоянных, Т3={f1, f2, f3, ...}

– множество функциональных символов и Т4=(P1, P2, P3,

...} – множество предикатных символов,

F={F1, F2, F3} – сигнатура алгебры, при этом F1= {¬, &,, →, ↔} - множество логических связок, F2= { , } - множество кванторов,

F3= {≡} - символ равносильности формул.

Любую предметную переменную и предметную постоянную предиката называют термом и обозначают символом ti.

Если fi - функциональный символ и t1, t2,..., , tn - его термы, то f(ti 1, t2,…, tn) также есть терм, где n –число аргументов функции, i –индекс функции.

Никаких иных термов нет.

Если Pi – предикатный символ и t1, t2,..., , tn - термы,

то

F= P(ti 1, t2,..., , tn ) - элементарная формула.

Если F1 и F2 - формулы, то ¬F1, ¬F2, (F1&F2), (F1 F2), (F1→F2), (F1↔F2) - также формулы.

Если F - формула, a x - предметная переменная, входящая в формулу F, то x(F) и x(F) - также формулы.

Никаких иных формул нет.

1.2.1.1. Логические операции

Простейшими операциями в логике предикатов являются те же операции, что в алгебре высказываний.

Отрицание (¬F(t1, t2,…, tn)) есть одноместная операция, посредством которой из данной формулы F(t1, t2,…, tn) получают ее отрицание.

Пример 1.51. Если Р(х. ‘a’):= «х находится на a», где 'a’= 'стол', то выводимы формулы:

а) x(¬Р(х, ‘a’)):= «для всех х верно, что х не находится на столе».

b)¬ x(Р(х, ‘a’)):= «не для всех х верно, что х находится на столе»,

c)¬ x(Р (х, ‘a’)):= «нет таких х, для которых верно, что х находится на столе”.

Конъюнкция (F1(t11, t12,…, t1n)&F2(t21, t22,…, t2n)) есть двуместная операция, посредством которой из формул F1 и

F2 получают новую формулу F (t11, t12,…, t1n, t21, t22,…, t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным

объединению их в исходных формулах. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда истинны обе формулы

F1 и F2.

Пример 1.52. Если P1(х):= «выдающийся музыкант» и P2(х):= «талантливый писатель», то выводимы формулы:

а) x(P1(х))& x(P2(х)):= «существуют выдающиеся музыканты и существуют талантливые писатели»,

b) x(P1(х)&P2(х)):= «существуют лица, которые являются талантливыми писателями и выдающимися музыкантами».

с) ¬ x(P1(х)&P2(х)):= «не все талантливые писатели являются выдающимися музыкантами».

Пример 1.53. Если х - предметная переменная (индивид), a - предметная постоянная (например ‘а’:= «Са-

ша») и P1(х, ‘a’):= «х дружит с ‘a’», P2. (х, ‘a’):= «х встретил

’a’», то выводимы формулы:

а) x(P1.(х, ‘a’)&P2.(х, ‘a’)):= «Саша встретил друга», b) x(¬P1.(х, ‘a’)&P2.(х, ‘a’)):= «Саша встретил недру-

га»,

c)¬ x(P1.(х, ‘a’)&P2.(х, ‘a’)):= «не каждый встречный есть друг Саши»,

d)x(P1.(х, ‘a’)&(¬P2.(х, ‘a’))):= «есть друзья, с кото-

рыми Саша не встречается».

Обратите внимание, как меняется смысл каждого высказывания.

Дизъюнкция (F1(t11, t12,…, t1n) F2(t21, t22,…, t2n)) есть двуместная операция, посредством которой из формул F1 и

82 Математическая логика

F2 получают новую формулу F (t11, t12,… t1n, t21, t22,… t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным

объединению их в исходных формулах. Значение формулы ложно тогда и только тогда, когда ложны обе формулы F1

и F2.

Пример 1.54. Если предметные переменные х, у - города России и P1(х, y):= «транспортная связь х и у поездом», P2(х, y):= «транспортная

связь х и у самолетом», P3(х, y):= «транспортная связь х и

уавтобусом», то выводимы формулы:

a)x y(P1.(х, y) P2.(х, y) P3.(х, y)):= «для всех горо-

дов России (x и y) возможна транспортная связь поездом, автобусом или самолетом»,

b)¬x y(P1. (х, y)¬P2. (х, y)¬P3. (х, y)) - «не для

всех городов x существуют города y, между которыми нет транспортной связи автобусом или самолетом, но есть поездом».

Импликация (F1(t11, t12,…, t1n)→F2(t21, t22,…, t2n)) есть двухместная операция, посредством которой из формул F1

и F2 получают новую формулу F(t11, t12,…, t1n, t21, t22,…, t2n ) с числом предметных переменных и постоянных, равным

объединению их в исходных формулах. Значение формулы ложно тогда и только тогда, когда F1 истинно, а F2 - ложно.

Пример 1.55. Если х - индивид, P1(x):= «быть судьей», P2(x):= «быть юристом», то выводимы формулы:

a)x(P1(x)→P2(x)):= «все судьи – юристы»,

b)¬x(P2(x)→P1(x)):= «неверно, что все юристы – су-

дьи»,

Пример 1.56. Если х - предметная переменная для индивида, P1(x):= «x принадлежит к большинству», P2(x):= «x стремится к миру», то выводима формула:

a)x(P1(x)&(P1(x)→P2(x)):= «большинство стремится

кмиру».

b)x(¬P1(x)&(P1(x)→P2(x)):= «существуют люди, не принадлежащие к большинству, которые не стремятся к миру».

Эквивалентность (F1(t11, t12,…, t1n)↔F2(t21, t22,…, t2n))

есть двуместная операция, посредством которой из фор-

мул F1 и F2 получают новую формулу F (t11, t12,…, t1n, t21, t22,…, t2n ) c числом предметных переменных и постоян-

ных, равным объединению их в исходных формулах. Значение формулы истинно тогда и только тогда, когда обе формулы F1 и F2 имеют одно и то же значение истины или лжи.

Пример 1.57. Если х - предметная переменная, Р(х) - предикат, то выводимы формула:

a) x(P(x))↔¬ x(¬P(x)):= «существует переменная х, для которой Р(х) истинно эквивалентна не для всех х Р(х) ложно».

Рассмотренные логические операции позволяют формализовать с помощью термов, предикатов и кванторов внутреннюю структуру предложения и формировать сложные суждения.