Математический анализ
.pdf
Министерство образования и науки Российской Федерации
Международный образовательный консорциум «Открытое образование»
Московский государственный университет экономики, статистики и информатики
АНО «Евразийский открытый институт»
Э.А.Геворкян, А.Н.Малахов, А.С. Фохт, Н.С.Щербакова
Математический анализ
Учебное пособие Руководство по изучению дисциплины
Сборник задач Учебная программа
Москва 2004
УДК – 517 ББК – 22.161
Г– 27
Геворкян Э.А., Малахов А.Н., Фохт А.С. Щербакова Н.С, МАТЕМАТИЧЕ-
СКИЙ АНАЛИЗ: учебное пособие, руководство по изучению дисциплины, сборник задач, учебная программа / Московский государственный университет экономики, статистики и информатики. – М., 2004, 328 с.
ISBN 5-7764-0359-6
©Геворкян Э.А., Малахов А.Н., Фохт А.С., Щербакова Н.С., 2004
©Московский государственный университет экономики, статистики и информатики, 2004
2
|
Содержание |
|
|
ЧАСТЬ I |
|
Введение................................................................................................................................. |
10 |
|
Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной..................... |
11 |
|
1.1. |
Множество вещественных чисел........................................................................... |
11 |
1.2. |
Ограниченные и неограниченные множества вещественных чисел.................. |
12 |
1.3. |
Некоторые конкретные числовые множества ...................................................... |
14 |
1.4. |
Понятие числовой последовательности................................................................ |
15 |
1.5. |
Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности....... |
16 |
1.6. |
Сходящиеся числовые последовательности. Предел числовой |
|
|
последовательности................................................................................................. |
19 |
1.7. |
Основные свойства сходящихся числовых последовательностей .................... |
20 |
1.8. |
Монотонные числовые последовательности........................................................ |
22 |
1.9. |
Число е...................................................................................................................... |
23 |
1.10. Предельный переход в неравенствах..................................................................... |
24 |
|
1.11. Подпоследовательности числовых последовательностей................................... |
25 |
|
1.12. Функция одной переменной................................................................................... |
25 |
|
1.13. Предел функции....................................................................................................... |
27 |
|
1.14. Бесконечно большие и бесконечно малые функции............................................ |
29 |
|
1.15. Свойства функций, имеющих предел.................................................................... |
31 |
|
1.16. Замечательные пределы.......................................................................................... |
31 |
|
1.17. Сравнение бесконечно малых функций................................................................ |
33 |
|
1.18. Непрерывность функций в точке........................................................................... |
34 |
|
1.19. Классификация точек разрыва............................................................................... |
35 |
|
1.20. Определение непрерывности функции в точке с использованием |
|
|
|
понятия приращения функции............................................................................... |
36 |
1.21. Арифметические действия над непрерывными функциями............................... |
36 |
|
1.22. Непрерывность сложной функции......................................................................... |
37 |
|
1.23. Свойства функций, непрерывных на сегменте..................................................... |
37 |
|
Примеры............................................................................................................................. |
39 |
|
Тест 1................................................................................................................................. |
45 |
|
Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.................. |
47 |
|
2.1. Определение производной функции первого порядка........................................... |
47 |
|
2.2. Геометрический смысл производной....................................................................... |
47 |
|
2.3. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции и его |
|
|
геометрический смысл .............................................................................................. |
48 |
|
2.4. Правила вычисления производных, связанных |
|
|
с арифметическими действиями над функциями................................................... |
51 |
|
2.5. Производные элементарных функций. Производная обратной функции............ |
52 |
|
2.6. Правила дифференцирования сложной функции. Инвариантность |
|
|
формы первого дифференциала ............................................................................... |
54 |
|
2.7. Дифференцирование степенно-показательной функции и функций, |
|
|
заданных параметрически и в неявном виде........................................................... |
55 |
|
2.8. Производные и дифференциалы высших порядков............................................... |
56 |
|
2.9. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум. |
|
|
Теорема о нуле производной (теорема Ролля)........................................................ |
58 |
|
3
2.10. Формула конечных приращений (теорема Лагранжа). Обобщенная |
|
формула конечных приращений (теорема Коши) .................................................. . |
61 |
2.11. Раскрытие неопределенностей (правила Лопиталя)............................................. |
62 |
2.12. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха-Роша, |
|
Лагранжа, Коши и Пеано........................................................................................ |
65 |
2.13. Формула Маклорена. Разложение по формуле Маклорена некоторых |
|
элементарных функций........................................................................................... |
66 |
2.14. Интервалы монотонности и точки экстремума функции .................................... |
68 |
2.15. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба............................ |
69 |
2.16. Асимптоты графика функции. Схема исследования функции |
|
и построение ее графика ......................................................................................... |
71 |
Примеры............................................................................................................................. |
73 |
Тест 2................................................................................................................................. |
78 |
Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных..... |
80 |
3.1. Определение m-мерного евклидова пространства и области................................ |
80 |
3.2. Предел функции нескольких переменных .............................................................. |
80 |
3.3. Непрерывность функций нескольких переменных................................................ |
83 |
3.4. Частные производные функций нескольких переменных |
|
первого и высших порядков...................................................................................... |
83 |
3.5. Дифференцируемость и дифференциал функции нескольких переменных........ |
86 |
3.6. Производная функции нескольких переменных по направлению. |
|
Градиент. Касательная плоскость и нормаль к поверхности................................ |
88 |
3.7. Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных............... |
90 |
3.8. Формула Тейлора для функции нескольких переменных ..................................... |
91 |
3.9. Локальный экстремум функции нескольких переменных..................................... |
92 |
3.10. Условный экстремум функции нескольких переменных .................................... |
93 |
Примеры............................................................................................................................. |
96 |
Тест 3................................................................................................................................. |
99 |
Раздел IV. Неопределенный интеграл............................................................................. |
102 |
4.1. Определение неопределенного интеграла............................................................... |
102 |
4.2. Основные правила интегрирования......................................................................... |
103 |
4.3. Интегрирование заменой переменной..................................................................... |
104 |
4.4. Интегрирование по частям. Применение этого метода при вычислении |
|
некоторых важных интегралов................................................................................. |
106 |
4.5.Интегрирование дробно-рациональных функций. Метод Лагранжа .................... |
110 |
4.6.Интегрирование тригонометрических выражений.................................................. |
115 |
4.7. Интегрирование дробно-линейных иррациональностей |
|
и дифференциальных биномов................................................................................. |
116 |
4.8.Интегрирование квадратичных иррациональностей. Подстановки Эйлера......... |
118 |
Примеры............................................................................................................................. |
121 |
Тест 4................................................................................................................................. |
125 |
Раздел V. Определенный интеграл и его применение.................................................. |
128 |
5.1. Определение определенного интеграла................................................................... |
128 |
5.2. Верхняя и нижняя интегральные суммы Дарбу и их свойства............................. |
129 |
5.3. Интегрируемость функций. Свойства определенного интеграла. |
|
Формула среднего значения определенного интеграла.......................................... |
130 |
4
5.4. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница ............ |
133 |
5.5. Вычисление длин дуг плоских кривых.................................................................... |
135 |
5.6. Вычисление площадей плоских фигур.................................................................... |
137 |
5.7. Вычисление площадей поверхностей и объемов тел вращения ........................... |
140 |
Примеры............................................................................................................................. |
142 |
Тест 5................................................................................................................................. |
145 |
Итоговый тест...................................................................................................................... |
148 |
ЧАСТЬ II |
|
Введение................................................................................................................................. |
156 |
Раздел I. Несобственные интегралы................................................................................ |
157 |
1.1. Несобственные интегралы первого рода и их вычисление................................. |
157 |
1.2. Несобственные интегралы второго рода и их вычисление................................. |
161 |
Примеры............................................................................................................................. |
162 |
Тест 1................................................................................................................................. |
166 |
Раздел II. Двойные интегралы.......................................................................................... |
167 |
2.1. Определение двойного интеграла............................................................................ |
167 |
2.2. Сведение двойного интеграла к повторному.......................................................... |
168 |
2.3. Вычисление двойного интеграла в полярной и других системах координат. |
|
Якобиан перехода...................................................................................................... |
170 |
2.4. Применение двойных интегралов............................................................................ |
173 |
Примеры............................................................................................................................. |
175 |
Тест 2................................................................................................................................. |
177 |
Раздел III. Тройные интегралы........................................................................................ |
178 |
3.1. Определение тройного интеграла и его применение............................................. |
178 |
3.2. Сведение тройного интеграла к повторному.......................................................... |
179 |
3.3. Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройных интегралов |
|
в сферической и цилиндрической системах координат......................................... |
180 |
Примеры............................................................................................................................. |
182 |
Тест 3................................................................................................................................. |
185 |
Раздел IV. Криволинейные интегралы........................................................................... |
187 |
4.1. Определение криволинейных интегралов первого и второго родов |
|
и их вычисление................................................................................................................ |
187 |
4.2. Формула Грина........................................................................................................... |
190 |
Примеры............................................................................................................................. |
191 |
Тест 4................................................................................................................................. |
193 |
Раздел V. Элементы теории поля..................................................................................... |
195 |
5.1. Поверхностные интегралы первого и второго родов............................................. |
195 |
5.2. Формула Гаусса-Остроградского............................................................................. |
198 |
5.3. Формула Стокса......................................................................................................... |
201 |
Примеры............................................................................................................................. |
203 |
Тест 5................................................................................................................................. |
206 |
5
Раздел VI. Числовые и функциональные ряды............................................................. |
208 |
6.1. Ряд и его частичные суммы. Сходящиеся и расходящиеся ряды ......................... |
208 |
6.2. Примеры числовых рядов......................................................................................... |
211 |
6.3. Числовые ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости. |
212 |
6.4. Числовые ряды с произвольными членами. Достаточные признаки сходимости ... |
218 |
6.5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость функциональных рядов........ |
223 |
6.6. Степенные ряды. Радиус сходимости...................................................................... |
229 |
6.7. Ряды Тейлора.............................................................................................................. |
232 |
Примеры............................................................................................................................. |
234 |
Тест 6................................................................................................................................. |
239 |
Раздел VII. Ряды Фурье ..................................................................................................... |
241 |
7.1. Периодические функции. Ряд Фурье....................................................................... |
241 |
7.2. Ортогональность системы функций: 1, cos x, cos 2x, …, cos nx, …, sin x, sin 2x, |
|
sin nx, … Вычисление коэффициентов Фурье........................................................ |
242 |
7.3. Теоремы Римана и Дирихле...................................................................................... |
244 |
7.4. Ряд Фурье для четных и нечетных функций........................................................... |
245 |
7.5. Комплексная форма ряда Фурье............................................................................... |
246 |
Примеры............................................................................................................................. |
247 |
Тест 7................................................................................................................................. |
250 |
Итоговый тест...................................................................................................................... |
253 |
Литература............................................................................................................................ |
257 |
РУКОВОДСТВО ПО ИЗУЧЕНИЮ ДИСЦИПЛИНЫ................................................. |
259 |
1. Цели, задачи изучения дисциплины и сферы профессионального применения...... |
260 |
2. Необходимый объем знаний для изучения дисциплины............................................ |
260 |
3. Перечень основных тем и подтем................................................................................. |
260 |
Тема 1.Числовые последовательности. ............................................................................ |
260 |
Тема 2. Понятия функции. Элементарные функции. Предел функции. ....................... |
262 |
Тема 3. Непрерывность функций...................................................................................... |
263 |
Тема 4.Производная и дифференциал функции.............................................................. |
264 |
Тема 5.Приложения производной..................................................................................... |
266 |
Тема 6. Неопределенный интеграл................................................................................... |
267 |
Тема 7.Определенный интеграл. Несобственные интегралы . ...................................... |
268 |
Тема 8: Функции нескольких переменных. Двойные интегралы.................................. |
270 |
Тема 9. Тройные интегралы. ............................................................................................. |
271 |
Тема 10.Криволинейные интегралы................................................................................. |
272 |
Тема 11. Ряды...................................................................................................................... |
273 |
СБОРНИК ЗАДАЧ ............................................................................................................. |
275 |
Раздел I. Теория последовательностей и функций одной переменной ...................... |
276 |
Примеры............................................................................................................................. |
276 |
Ответы.............................................................................................................................. |
279 |
Раздел II. Дифференциальное исчисление функции одной переменной................... |
280 |
Примеры............................................................................................................................. |
280 |
Ответы.............................................................................................................................. |
283 |
6
Раздел III. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных........ |
285 |
Примеры............................................................................................................................. |
285 |
Ответы.............................................................................................................................. |
286 |
Раздел IV. Неопределенный интеграл ........................................................................... |
288 |
Примеры............................................................................................................................. . |
288 |
Ответы.............................................................................................................................. |
289 |
Раздел V. Определенный интеграл и его применение.................................................. |
290 |
Примеры............................................................................................................................. |
290 |
Ответы.............................................................................................................................. |
292 |
Раздел VI. Несобственные интегралы............................................................................ |
294 |
Примеры............................................................................................................................. |
294 |
Ответы.............................................................................................................................. |
296 |
Раздел VII. Двойные интегралы..................................................................................... |
297 |
Примеры............................................................................................................................. |
297 |
Ответы.............................................................................................................................. |
300 |
Раздел VIII. Тройные интегралы.................................................................................... |
301 |
Примеры............................................................................................................................. |
301 |
Ответы.............................................................................................................................. |
303 |
Раздел IX. Криволинейные интегралы........................................................................... |
304 |
Примеры............................................................................................................................. |
304 |
Ответы.............................................................................................................................. |
307 |
Раздел X. Элементы теории поля ................................................................................... |
308 |
Примеры............................................................................................................................. |
308 |
Ответы.............................................................................................................................. |
311 |
Раздел XI. Числовые и функциональные ряды............................................................. |
312 |
Примеры............................................................................................................................. |
312 |
Ответы.............................................................................................................................. |
316 |
Раздел XII. Ряды Фурье................................................................................................... |
319 |
Примеры............................................................................................................................. |
319 |
Ответы.............................................................................................................................. |
320 |
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА................................................................................................. |
323 |
7
Учебное пособие
Часть I
9
Введение
Первая часть пособия по математическому анализу посвящена изучению таких важных разделов курса математического анализа, как пределы, функции одной и многих действительных переменных, дифференциальное и интегральное исчисление.
При написании пособия авторы старались сделать акцент в большей степени на практический аспект изучения курса математического анализа, не увлекаясь изложением подробного теоретического материала.
Авторы надеются, что настоящее пособие может стать основой для изучения студентами курса математического анализа.
10
1. ТЕОРИЯ ЧИСЛОВЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ И ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Раздел I. Теория числовых последовательностей
ифункций одной переменной
1.1.Множество вещественных чисел
Из школьного курса читателю известны различные классы чисел, образующие множество вещественных чисел, такие как натуральные, целые, рациональные и иррациональные. В дальнейшем для указанных классов чисел будем использовать следующие обозначения:
N – натуральные числа – 1, 2, 3,...;
Z – целые числа – 0, ±1, ±2,...;
Q – рациональные числа (числа вида qp , где p,q Z и q≠0);
I – иррациональные числа – те, которые не относятся к перечисленным выше; R – множество всех вещественных чисел.
Читатель знаком также с геометрической интерпретацией вещественного числа, как точки числовой оси. Числовая ось – это прямая, на которой задано начало отсчета (точка 0), направление (обычно слева на право), отрезок, длина которого равна единице (масштабная единица) (рис. 1.1.)
0 1 |
M |
Рис. 1.1.
Каждой точке М числовой оси ставится в соответствие число Х, равное длине отрезка ОМ, положительное, если точка М смещена относительно токи О в направлении оси, и отрицательное если это направление противоположно направлению оси. При таком подходе возникает проблема измерения, соизмеримости и несоизмеримости отрезков. Длина отрезка, соизмеримого с масштабной единицей, выражается рациональным числом. Если же длина отрезка несоизмерима с масштабной единицей, то ее невозможно представить рациональным числом, и соответствующие длинам таких отрезков числа называются иррациональными. Например, если сторона квадрата равна масштабной едини-
це, то его диагональ равна 
2 . Можно доказать, что нет рациональной дроби, равной 
2 , т.е. такой, что ее квадрат равен 2.
Отметим, что любое рациональное число делением числителя на знаменатель представляется либо конечной, либо бесконечной периодической десятичной дробью. Иррациональные числа – это бесконечные непериодические десятичные дроби. Для единообразного представления всех чисел в форме бесконечной десятичной дроби в случае целых чисел или конечных десятичных дробей принята двоякая форма представления
таких чисел. Например 12 =0,5 можно записать так: 12 =0,5000... или 12 =0,49999...
Бесконечные десятичные дроби образуют множество R вещественных чисел. Описанный подход к введению понятия вещественного числа является одним из возможных и ориентирован на традиционно сложившуюся веками десятичную систему счета. В на-
11