50 (¬A (¬C B)) (¬D A) C D | B

1. 2. Логика предикатов

Логика предикатов – это расширение возможностей логики высказываний, позволяющее строить высказывания с учетом свойств объектов высказывания или отношений между ними.

Если неизвестны объекты высказывания или отношения между объектами высказывания, то такое высказыва-

ние называют высказывательной функцией. Высказыва-

тельную функцию иначе называют предикатом* и обозначают символом Р(…). Аргументами предиката являют-

ся предметные переменные и предметные постоянные.

Предметные переменные и предметные постоянные обозначают строчными буквами латинского алфавита {х, у, z,

...} и {а, в, с, …} соответственно. Предикаты бывают одноместные Р(.), когда его аргументом является одна предметная переменная, и многоместные P(., ., …, .), когда его аргументами могут быть несколько предметных переменных и/или предметных постоянных. Одноместные предикаты выражают свойства предметных переменных, а многоместные - отношения между объектами высказывательной функции. Высказывательная функция приобретает значение высказывания только при замене предметных переменных предметными постоянными.

Множество, на котором даны предметные переменные и предметные постоянные, называют областью опре-

* praedicatum - логическое сказуемое

деления предиката или универсумом. Множество, на ко-

тором предикат принимает значение «истины» называют

множеством истинности предиката Р(x) или P(x1, x2,

…, xn).

Например, а) если на множестве натуральных чисел задать функ-

ции:

Р1(x):= «x - простое число», P2(6, y):= «y меньше ‘6’»,

P3(6, y, z):= «z есть частное от деления числа ‘6’ на y», где x, y, z есть предметные переменные, а ‘6’ – предметная постоянная , то высказываниями будут

P1(‘3’) = и, P1(‘4’) = л,

б) если на множестве имен индивидов, учебных заведений и специальностей задать следующие предикаты:

P4(x):= «х – студент»,

P5(‘Сидоров’, ‘КГТУ’) = л P6(‘Петров’, 'прикладная информатика’) = и, P6– (‘Сидоров’, 'прикладная информатика’) = л.

Студентов, учебных заведений и специальностей много. Для ограничения области определения предикатов на множестве предметных переменных вводят дополнительные логические операторы, которые называют квантора-

ми.

Так, суждение, в котором утверждается или отрицается наличие каких-либо свойств или отношений у части предметных переменных, называют частным суждением. Для формального описания таких суждений используют

логический оператор « x», который получил название квантор существования. Предикат или сложную высказывательную функцию записывают после квантора существования в круглых скобках x(Р(x1, x2, …, хi,…, xn) илиx(F(x1, x2, …, хi,…, xn). На естественном языке эта запись означает «существуют такие предметные переменные хi, для которых Р(хi) истинно». Иначе это выражают словами «один», «несколько» или «часть хi» и т.п.

Пример 1.46. Если на множестве целых чисел N дана предметная переменная x N и дан предикат, определяющий свойство предметной переменной, P1(x):= «быть простым числом», то может быть записано частное суждениеx(P1(x)):= «часть целых чисел являются простыми числами». Этот предикат на множестве N (область определения) выделяет подмножество простых чисел X= {2, 3, 5, 7, 11,..., }.

Пример 1.47. Если на множестве N даны предметные переменные x N и y N и дан предикат, устанавливающий отношение между ними, P2(x, y ):= «y меньше x», то при x=’6’ может быть записано частное суждение y(P2(‘6’, y)):=«есть целые числа, которые меньше ‘6’». Этот предикат на множестве N при заданной предметной постоянной выделяет подмножество Y= {1, 2, 3, 4, 5}.

Пример 1.48. Если на множестве N даны предметные переменные x, y, z N и предикат, устанавливающий отношение между ними: P3(x, y, z):=«существует такое z, которое является частным от деления x на y», то при x=’6’ и y=’2’ может быть записано частное суждение z(P3(‘6’, ‘2’, z)):=«существует такое z, которое является частным от де-

ления ‘6’ на ‘2’». Этот предикат на множестве N выделяет единственное число z=’3’, для которого P3(‘6’, ‘2’, ‘3’)= и.

Пример 1.49. Если даны на множестве индивидов М предметная переменная x М, на множестве учебных заведений Y - предметная переменная y Y, на множестве специальностей Z - предметная переменная z Z и предикаты P4(x):= «x – студент», P5(x, y):= «x обучается в университете y», P6(x, z):= «x обучается по специальности z» и P7(x):= «x имеет зачетную книжку», то

x(P4(x):= «существуют х, которые являются студентами»,y(P5(x, y):= «существуют x, которые обучаются в yниверситете»,

z(P6(x, z):= «существуют x, которые обучаются по специальности z»,

x(P4(x)&¬P7(x)):= «существуют студенты, которые не имеют зачетной книжки»,

x y(P4(x)→ P5(x, y)):= «если x – студент, то он обучается в каком-то университете y»,

x y z(P4(x)→ P5(x, y)& P6(x, z)):= «если x –студент, то он обучается в каком-то университете y по какой-то специальности»

Частное суждение по нескольким переменным требует указания кванторов существования для каждой переменной перед предикатом. Например, x y z...(Pn(x, y, z,

...)).

Пример 1.50. Частное суждение x y(P4(x)&¬P5(x, y)&¬P7(x)):= «существуют студенты (x) некоторых университетов (y), которые не имеют зачетной книжки» и т.п. В данной формуле есть ограничение на множество уни-

76 Математическая логика

верситетов и на множество студентов, которые не имеют зачетных книжек.

Суждение, в котором утверждается или отрицается наличие каких-либо свойств для всех предметных переменных области определения или отношений между ними, называют общими суждениями. Как правило, эти суждения в естественном языке отмечают словами «все», «каждый», «любой» и т.п. Для формального описания таких суждений используют логический оператор – « x», который получил название квантор всеобщности. Предикат или сложную высказывательную функцию записывают после квантора всеобщности в круглых скобках x(Р(x1, x2, …, xn)) или x(F(x1, x2, …, xn )). На естественном языке эта формальная запись означает «для всех предметных переменных xi значение Р(хi) истинно» или «для каждой предметной переменной хi значение Рn(хi) истинно»..

Если общее суждение распространяется на несколько предметных переменных, то перед предикатом или сложной высказывательной функцией записывают кванторы всеобщности для каждой предметной переменной, т.е.

x y z... (P(x, y, z, ..., )).

Например, x(P4(x)&P7(x)):= «все студенты имеют зачетные книжки»,

x y(P4(x)&P5(x,y)&P7(x)):= «все студенты всех уни-

верситетов имеют зачетные книжки»,

x(P4(x)&P5(x, ‘КГТУ’)&P6(x, ‘прикладная информатика’)& &P7(x)):= «все студенты, обучающиеся в университете КГТУ по специальности «прикладная информатика», имеют зачетные книжки»,

x z(P4(x)&P5(x, ‘КГТУ’)&P6(x, z)&P7(x)):= «все сту-

денты университета КГТУ, обучающиеся на всех специальностях, имеют зачетные книжки»,

x y z(P4(x)& P5(x, y)&P6(x, z)&P7(x)):= «все студен-

ты всех университетов, обучающиеся на всех специальностях, имеют зачетные книжки».

Существуют предикаты, для которых область определения по различным предметным переменным ограничивают различными кванторами.

Например, x y(P2(x, y)):= «для любого целого числа x существует меньшее число y» или x y z(P3(x, y, z)):= «среди целых чисел существует число z, которое является частным от деления некоторого числа x на некоторое чис-

ло y».

Интересно отметить влияние на высказывание смены или перестановки кванторов.

x y(P2(x, y)):= «существует целое число x, которое больше любого целого числа y». Это высказывание явно ложное.

x y(P2(x, y)):= «x больше y для любых целых чисел». Это высказывание также ложное.

x y(P2(x, y)):= «существуют целые числа x, для которых существуют меньшие число y». Это высказывание истинное, но оно ограничивает область определения предиката.

x y z(P3(x, y, z)):= «любое целое число z может быть частным от деления некоторого числа x на некоторое число y». Это высказывание истинно для y=1 и любого z.

Из рассмотренных примеров следует, что изменение кванторов или порядка их следования существенно изме-

няют смысл высказывания. Поэтому при исследовании текстов естественного языка следует очень аккуратно переходить к их формальному описанию.

Предметную переменную, если она находится под действием квантора, называют связанной переменной. И наоборот, если ее вхождение свободно от квантора, назы-

вают свободной переменной.

Например, y(P2(x, y)):= «для любого целого числа существуют меньшие числа». В этом примере x – свободная, а y –связанная переменная квантором существования.

x y(P6(x, y)& P7(x)):= «во всех университетах существуют (есть) студенты, которые не имеют зачетной книжки». В этом примере x и y –связанные переменные кванторами существования и всеобщности соответственно.

x y(Р1 (x, y)→z(Р2(z)) все предметные переменные являются связанными.

z(Р1(z)&x(Р2(x, z))→(Р2(z, y) (Р2(x, z)) предметные переменные x и z связанные, а y – свободная.

Cвободная переменная может быть востребована на следующем шаге алгоритма, а связанная переменная служит для вычисления на данном шаге алгоритма значения предиката «и» или «л».

Между элементами области определения предиката могут быть заданы функциональные отношения. На это указывает функциональный символ f(x1, x2, ..., xn).

Например, дату можно рассматривать как функцию, заданную на предметных переменных число, месяц, год. В этом случае функциональным символом является ”дата”, а аргументами <число>, <месяц> и <год>. Для предметных переменных структура этой функции есть ”да-