§ 15.8. Бесконечные произведения |
49 |
Теорема 15.7.3. Ряд с неотрицательными членами, суммирующийся методом средних арифметических к , 0 6 6 +∞, сходится к .
Доказательство. Пусть и – соответственно частные
∑
суммы и средние арифметические ряда .
Так как > 0, последовательность { } возрастает (не обязательно строго). Поэтому если < +∞, достаточно установить ограниченность последовательности { }, а равенство суммы ряда будет вытекать из теоремы 15.7.1.
Из (15.7.3), пользуясь неотрицательностью членов ряда, находим
2 |
2 + 1) > |
|
|
|
2 + 1) > |
||||||
2 = =0(1 − |
=0(1 − |
||||||||||
∑ |
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
= |
1 |
. |
||||||
> =0(1 − |
2 + 1) > |
2 =0 |
2 |
||||||||
∑ |
|
|
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, 6 2 2 6 2 при всех .
Для = +∞ в силу возрастания чисел имеем
1 |
|
|
∑ |
||
= |
|
6 . |
+ 1 |
||
|
|
=0 |
Значит, при → +∞ из → +∞ следует, что → +∞. Теорема доказана.
Теорема 15.7.3 показывает, что метод средних арифметических может суммировать к конечному пределу только те расходящиеся ряды, которые имеют бесконечно много положительных и бесконечно много отрицательных членов.
Утверждения, согласно которым из суммируемости ряда вытекает его сходимость, называют теоремами тауберова типа. Неотрицательность членов ряда является простейшим тауберовым условием.
§ 15.8. Бесконечные произведения
Ряды являются формально записанными суммами бесконечных последовательностей слагаемых. Рассматриваются также произведения бесконечных последовательностей множителей.
50 |
Гл. 15. Числовые ряды |
Бесконечным произведением чисел называют формально записанное произведение бесконечной последовательности действительных или комплексных чисел 1, 2, . . .
|
∞ |
|
1 · 2 · · · = |
∏ |
(15.8.1) |
. |
||
|
=1 |
|
Чтобы придать смысл записи (15.8.1), по аналогии с частными суммами рядов вводят “частные произведения”
|
|
:= |
∏ |
. |
|
|
=1 |
Если существует конечный отличный от нуля предел последовательности частных произведений lim →∞ = , говорят, что бесконечное произведение (15.8.1) сходится, число называют его значением и пишут
∞
∏
= .
=1
Если конечный предел lim не существует или существует, но равняется нулю, бесконечное произведение (15.8.1) называют
расходящимся.
Здесь все аналогично соответствующим определениям для рядов, за исключением расходимости бесконечного произведения к нулю. Пояснение такой терминологии будет дано после теоремы 15.8.2.
Случай, когда хотя бы один множитель бесконечного произведения равен нулю, не интересен. Поэтому будем считать, что все множители бесконечного произведения отличны от нуля, не оговаривая это явно.
Как и для рядов, сходимость или расходимость бесконечных произведений не зависит от конечного числа множителей. Нумеровать множители можно, начиная с любого числа, а не только с= 1, как это сделано выше.
Теорема 15.8.1. Если бесконечное произведение (15.8.1) схо-
дится, то |
|
lim = 1. |
(15.8.2) |
→∞ |
|
§ 15.8. Бесконечные произведения |
51 |
Доказательство. Имеем |
|
|
−1 |
= =1 |
=1 . |
∏ |
∏ |
В этом выражении и делимое и делитель имеют конечный неравный нулю предел . Значит, предел дроби равен отношению пределов делимого и делителя, т.е.
lim = = 1
→∞
и теорема доказана.
Будем далее до конца этого параграфа считать, что все множители бесконечного произведения (15.8.1) являются действительными числами.
Из теоремы 15.8.1 следует, что все множители сходящегося бесконечного произведения положительны, начиная с некоторого номера.
Теорема 15.8.2. Бесконечное произведение
∞
∏
, |
(15.8.3) |
=1
в котором все множители положительны, сходится в том и только том случае, когда сходится ряд
∞
∑
ln . |
(15.8.4) |
=1
Если произведение (15.8.3) сходится, то справедливо равенство
∞ |
|
∞ |
|
(15.8.5) |
=1 = exp( |
=1 ln ). |
|||
∏ |
|
∑ |
|
|
Доказательство. Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∏ |
|
∑ |
|
|
ln = ln |
= |
ln , |
|
|
=1 |
|
=1 |
|
|
52 |
Гл. 15. |
Числовые ряды |
|
то |
|
|
|
= exp( |
(15.8.6) |
||
=1 ln ). |
|||
|
∑ |
|
В силу непрерывности и строгой монотонности показательной функции из этого равенства следует, что сходимость ряда (15.8.4) равносильна существовнию положительного предела последовательности { }, т.е. сходимости бесконечного произведения (15.8.3).
Равенство (15.8.5) вытекает из (15.8.6) при → ∞. Теорема доказана.
Таким образом, для сходящегося бесконечного произведения (15.8.3) положительных чисел справедливо равенство
|
|
∞ |
∞ |
|
|
∏ |
∑ |
|
ln |
= |
ln , |
|
|
=1 |
=1 |
как и в случае конечного числа множителей. |
|||
Если lim = 0, ряд |
ln расходится. Это можно считать |
||
объяснением, почему |
бесконечное произведение считается расхо- |
||
|
∑ |
|
|
дящимся, когда lim = 0.
Поскольку у сходящихся бесконечных произведений общий множитель стремится к 1, бесконечное произведение обычно записывают в виде
∞ |
|
∏ |
(15.8.7) |
(1 + ). |
|
=1 |
|
При этом условие > 0 и равенство lim = 1 переходят соответственно в > −1 и lim = 0.
Далее будем предполагать, что все числа отличны от нуля и > −1, т.е. множители 1 + положительны.
Теорема 15.8.3. Бесконечное произведение (15.8.7), в котором все числа одного знака (т.е. или все положительны или все отрицательны) сходится в том и только том случае, когда
сходится ряд
∞
∑
.
=1
Доказательство. Согласно теореме 15.8.2 сходимость бес-
∏
конечного произведения (1 + ) равносильна сходимости ряда
§ 15.8. Бесконечные произведения |
53 |
∑
ln(1 + ). Будем считать, что lim = 0, так как это условие необходимо для сходимости и бесконечного произведения и ряда.
Числа и ln(1 + ) имеют одинаковые знаки. Поэтому согласно теореме 15.2.3 из равенства
lim ln(1 + ) = 1
→∞
одновременно. |
∑ |
|
и |
∑ |
|
сходятся или расходятся |
следует, что ряды |
|
ln(1 + ) |
|
|
|
Теорема доказана.
В случае, когда числа имеют разные знаки, применить теорему 15.2.3 нельзя и утверждение теоремы 15.8.3 может оказаться неверным. Но справедливо следующее предложение.
Теорема 15.8.4. Пусть > −1 при всех и сходится один из рядов ∑ и ∑ 2 . Тогда сходимость другого ряда необходима и достаточна для сходимости бесконечного произведения
(15.8.7).
Доказательство. В силу условий теоремы lim = 0, поэтому
ln(1 + ) = − |
1 |
2 |
+ ( 2), |
→ ∞. |
||||
2 |
||||||||
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
− ln(1 + ) = |
1 |
2 |
+ ( 2), |
→ ∞, |
||||
|
||||||||
2 |
||||||||
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
− ln(1 + ) |
= |
1 |
. |
(15.8.8) |
|||
|
|
|||||||
→∞ |
|
2 |
2 |
|
||||
|
|
|
||||||
Так как ln(1 + ) < для всех неравных нулю > −1, то у дроби из левой части равенства (15.8.8) и числитель и знаменатель положительны. Следовательно, в силу теоремы 15.2.3 ряды
( |
− |
ln(1 + |
|
)) |
и |
2 сходятся или расходятся одновременно. |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
∑ Но один из рядов∑ |
и |
|
сходится. Поэтому сходимость |
||||||||
другого ряда |
равносильна сходимости ряда |
ln(1 + ), а со- |
|||||||||
|
|
|
∑ |
∑ |
|
|
|
||||
гласно теореме 15.8.2 и сходимости |
бесконечного произведения |
||||||||||
|
∑ |
||||||||||
(15.8.7). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Теорема доказана. |
|
|
|
|
|
||||||