больше, чем в признаке Абеля (требовалось стремление к нулю, а в признаке Абеля только ограниченность). Но в признаке Дири-

∑

хле более слабые условия на числа : не сходимость ряда , а только ограниченность последовательности его частных сумм.

§ 15.5. Абсолютно сходящиеся ряды

Абсолютно сходящиеся ряды сходятся согласно теореме 15.2.2. Но сходящийся ряд может не сходиться абсолютно. Например,

согласно признаку Лейбница ряд

∞

∑(−1) +1 1

=1

сходится, но этот ряд не сходится абсолютно.

Заметим, что признаки сходимости рядов с неотрицательными членами являются фактически признаками абсолютной сходимости.

Теорема 15.5.2 (Неравенство Г¨ельдера). Пусть > 1, –

сопряженное с число, т.е.

1 + 1 = 1,

и сходятся ряды

∞∞

которое называют неравенством Г¨ельдера.

Доказательство. Согласно неравенству Г¨ельдера для конечных сумм (теорема 6.8.2)

Заменив правую часть неравенства (15.5.3) на правую часть неравенства (15.5.2), получим ограниченность частных сумм ряда

∞

∑

| |,

=1

а в пределе при → ∞ и неравенство (15.5.2). Теорема доказана.

Неравенство (15.5.2) при = 2 называют неравенством Коши– Буняковского.

Теорема 15.5.3 (Неравенство Минковского). Пусть > 1 и

сходятся ряды

∞∞

∑ ∑

| | , | | .

=1 =1

Тогда сходится ряд ∑| + | и справедливо неравенство

его называют неравенством Минковского (неравенством треугольника).

Неравенство (15.5.4), подобно неравенству Г¨ельдера, выводится из неравенства Минковского для конечных сумм (теорема 6.8.4)

Неравенства Г¨ельдера и Минковского дают признаки абсолютной сходимости рядов.

На абсолютно сходящиеся ряды можно перенести некоторые свойства конечных сумм.

Сначала рассмотрим перестановки членов ряда.

Перестановку ряда можно задать так. Все натуральные числа запишем без повторений в виде последовательности 1, 2, . . . и положим * := . Тогда ряд

∞∞

∑

является перестановкой ряда .

Теорема 15.5.4. Если ряд сходится абсолютно, то любая его перестановка сходится абсолютно. При этом суммы исходного и переставленного рядов равны.

и значит,

| − * | = |( − ) + ( − * )| 6 | − | + | − * | < .

Поэтому

∞

∑

* = .

=1

Теорема доказана.

Покажем, что умножение абсолютно сходящихся рядов можно производить так же, как умножение конечных сумм, когда каждый член первой суммы умножают на каждый член второй и затем складывают полученные произведения.

= 1, 2, . . . , и запишем их все без повторений в виде последовательности 1, 2, . . . .

∑

Тогда ряд абсолютно сходится и справедливо равенство

40 Гл. 15. Числовые ряды

сходятся, причем первый из них сходится абсолютно. Положим

Тогда при >

| − | < .

+ 1 − > + 1 − > 2 + 1 − = + 1.

Значит, для таких согласно (15.5.10) имеем | − +1− | < . Так как – частные суммы сходящегося ряда, то существует

Отсюда вытекает равенство (15.5.7), так как множитель при отне зависит.

Теорема доказана.

В теореме Мертенса в отличие от теоремы 15.5.5 требования на ряды меньше (предполагается абсолютная сходимость только одного ряда), но и утверждение более слабое: сходимость, а не абсолютная сходимость ряда из произведений, при этом ряд из произведений определяются специальным способом – сначала

Заметим, что произведения по Коши естественно возникают при умножении рядов вида

∞∞