§ 15.4. Более тонкие признаки сходимости

Признак Даламбера не дает ответ на вопрос о сходимости ряда

∑

, если

lim +1 = 1.

→∞

Приведем некоторые признаки, относящиеся к этому случаю.

∑

Теперь сравниваем ряд с гармоническим рядом и, поль-

∑

зуясь теоремой 15.2.4, получаем расходимость ряда . Теорема доказана.

В предельной форме признак Раабе формулируется так.

∑

то при > 1 ряд сходится, а при < 1 расходится. При= 1 ряд может быть как сходящимся, так и расходящимся.

Если в (15.4.3) > 1, возьмем (1, ). Тогда для достаточно больших справедливо неравенство

Значит, при ̸= 1 утверждения теоремы 15.4.2 вытекают из теоремы 15.4.1.

При = 1 ряд может быть и сходящимся и расходящимся. Так, для гармонического ряда, когда = 1/ , имеем = 1, поскольку

(15.4.5) Признак Раабе сильнее признака Даламбера. В самом деле, из (15.2.3) следует выполнение условия (15.4.1) при некотором > 1. Вместе с тем, признак Раабе в отличие от признака Даламбера

позволяет установить сходимость рядов ∑ − при > 1.

С признаком Коши признак Раабе несравним, так как существуют ряды, сходимость которых с помощью одного из этих признаков установить можно, а с помощью другого нельзя.

В самом деле, признак Коши неприменим к рядам ∑ − ,> 1. А в § 15.2 был приведен ряд, сходимость которого доказывает признак Коши, но ее нельзя установить с помощью признака Даламбера, а следовательно, и с помощью признака Раабе.

Следующий признак представляет собой добавление к призна-

Доказательство. Эти утверждения при ̸= 1 вытекают из признака Даламбера, а при = 1, ̸= 1 – из признака Раабе.

∑

Таким образом, остается доказать расходимость ряда в случае, когда = 1 и = 1, т.е. когда

+1 = 1 − 1 + .

∑

Ряд расходится и, чтобы воспользоваться теоремой 15.2.4, покажем, что при достаточно больших

Поэтому в силу (15.4.6) оценка (15.4.7) справедлива для доста-

∑

точно больших и согласно теореме 15.2.4 ряд расходится. Теорема доказана.

Заметим, что в (15.4.6) -малое нельзя заменить на -большое. В самом деле, для сходящегося ряда (15.4.4) имеем, см. (15.4.5),

ных чисел { } такая, что при некотором > 0 для достаточно

теорема доказана.

Хотя в признаке Куммера – произвольные положительные числа, при использовании этого признака имеет смысл брать только те последовательности { }, для которых расходится ряд

Вместе с тем, условие (15.4.10) менее ограничительно, чем (15.4.8). Но при замене (15.4.8) в теореме 15.4.4 на (15.4.10) нельзя получить результат лучший, чем теорема 15.2.4.

Признак Куммера представляет собой целую серию признаков, получающихся при разном выборе последовательности { }.

Покажем, например, как с помощью признака Куммера можно получить признак Раабе.

Положим := 1/( − 1), > 2. Если выполнена оценка

Поэтому при > 1 выполняется оценка (15.4.8) и, значит, ряд

∑

сходится.

Рассмотрим вопросы о скорости сходимости рядов.

Если у одного из двух сходящихся рядов остатки при → ∞ стремятся к нулю быстрее остатков второго, то говорят, что первый ряд сходится быстрее, чем второй.

В признаках Даламбера и Коши ряд сравнивался с геометрической прогрессией, в признаке Раабе – с рядами ∑ − , которые сходятся при > 1, причем, как нетрудно убедиться, тем медленнее, чем меньше число . Такие ряды сходятся медленнее рядов из членов произвольной геометрической прогрессии со знаменателем, меньшим 1.

Можно брать другие более медленно сходящиеся ряды и сравнивать с ними исследуемый ряд, получая новые признаки сходимости. Однако, условия в этих признаках будут громоздкими и более трудно проверяемыми.

Из следующей теоремы вытекает, что не существует универсального признака сравнения, который был бы пригоден для исследования сходимости любого ряда с неотрицательными членами.

Теорема 15.4.5. Для каждого сходящегося ряда с неотрицательными членами, среди которых бесконечно много ненулевых, существует ряд, сходящийся более медленно.

Разности в (15.4.13) соответствуют дифференциалам в (15.4.14), а суммы – интегралам. Поэтому тождество (15.4.13) иногда называют “формулой суммирования по частям”.

Если в (15.4.12) положить числа при всех < равными нулю, то получим

=

Преобразование, с помощью которого были получены тождества (15.4.12) и (15.4.13) называют преобразованием Абеля.

Лемма 15.4.6 (Лемма Абеля). Пусть числа , = , . . . , ,

действительны и монотонны (т.е. при всех или > +1 или 6 +1 ). Если числа для, вообще говоря, комплексныхзаданы формулой (15.4.16) и | | 6 при всех = , . . . , , то справедлива оценка

=

∑ ∑

6 | − +1|| | + | || | 6

Лемма доказана.

Теорема 15.4.7 (Признак Дирихле). Если действительные числа монотонно стремятся к нулю, а последовательность

Пользуясь леммой Абеля, получаем для >

∑

6 4 (| | + | |).

=

Для любого > 0 существует такое, что при всех > справедлива оценка

| | < 8 .

что согласно критерию Коши обеспечивает сходимость ряда

∑

.

Теорема доказана.

Получим с помощью признака Дирихле новое доказательство признака Лейбница (теорема 15.3.5).

Если := (−1) , то последовательность частных сумм ряда

∑

ограничена и

∞∞

Поэтому, если числа монотонно стремятся к нулю, то ряд

Доказательство. Пусть

:= lim .

→∞

Тогда числа := − монотонно стремятся к нулю. Так как

∑

последовательность частных сумм ряда ограничена, то согласно признаку Дирихле сходится ряд

Таким образом, если члены сходящегося ряда умножить на члены произвольной монотонной ограниченной последовательности, то полученный ряд будет сходиться.

Сравним условия признаков Дирихле и Абеля. В признаке Дирихле условия на монотонную последовательность несколько