§ 15.3. Ряды с монотонными членами |
17 |
§ 15.3. Ряды с монотонными членами
∑
Рассмотрим ряды , члены которых положительны и монотонно убывают, т.е. > +1. В таком случае пишут ↓, при этом если последовательность { } сходится к , пишут ↓ . Аналогично, запись ↑ означает монотонное возрастание последовательности { }.
Будем считать, что оценки > +1 > 0 выполняется для всех , хотя при изучении сходимости рядов можно иметь в виду только достаточно большие .
Теорема 15.3.1 (Интегральный признак сходимости). Если функция ( ) на [1, +∞) положительна и монотонно убывает,
то ряд
∞
∑
( )
=1
и интеграл
∫ +∞
( )
1
сходятся или расходятся одновременно.
Доказательство. В силу монотонного убывания справедливы неравенства
∫ +1
( ) > ( ) > ( + 1).
Значит,
|
|
|
|
+1 |
(15.3.1) |
|
=1 ( ) > ∫1 +1 ( ) > |
=1 ( + 1) = =2 ( ). |
|||
|
∑ |
∑ |
∑ |
|
|
|
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
Поэтому ограниченность последовательности сумм |
=1 ( ) |
|||
равносильна ограниченности |
последовательности интегралов |
||||
∫ |
1 ( ) . Так как значения ( ) |
положительны, из (15.3.1) |
|||
|
|||||
в силу теоремы 15.2.1 и аналогичного свойства несобственных интегралов следует теорема 15.3.1.
Неравенства (15.3.1) имеют простой геометрический смысл. Интеграл
∫ +1
( )
1
18 |
Гл. 15. Числовые ряды |
равен площади криволинейной трапеции с основанием [1, + 1], ограниченной сверху графиком функции ( ).
Рис. 15.1.
Сумма из левой части неравенства (15.3.1) равна сумме площадей прямоугольников (см. рисунок), покрывающих криволинейную трапецию. А сумма из правой части (15.3.1) равна сумме площадей прямоугольников, содержащихся в этой трапеции.
Применим интегральный признак к исследованию сходимости рядов
∞
∑ 1
(15.3.2)
=1
при положительных значениях .
Согласно теореме 15.3.1 ряд (15.3.2) сходится или расходится одновременно с интегралом
+∞ 1 |
|
|
∫1 |
. |
(15.3.3) |
При = 1 этот интеграл расходится, так как
∫
1 = ln| | + ,
где – некоторая постоянная. Это дает новое доказательство расходимости гармонического ряда.
Из неравенств (15.3.1) можно получить оценку скорости возрастания частных сумм гармонического ряда. Согласно (15.3.1) имеем
§ 15.3. Ряды с монотонными членами |
|
|
19 |
|||||||||
1 |
|
|
+1 1 |
|
+1 1 |
1 |
− 1 + |
1 |
|
|||
=1 |
|
> ∫1 |
> =2 = |
=1 |
+ 1 . |
|||||||
∑ |
|
|
|
|
|
|
∑ |
∑ |
|
|
|
|
Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑ |
|
|
= ln( + 1) + (1) = ln + (1). |
(15.3.4) |
||||||||
|
|
|
||||||||||
=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если ̸= 1, то при > 0 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
∫ |
1 |
= |
1− |
+ . |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 − |
|
|
|
|||||
Поэтому ряд (15.3.2) как и интеграл (15.3.3) сходится при > 1 и расходится при < 1.
Рассмотрим теперь ряды
|
1 |
|
|
|
|
∑ |
|
, |
> 0. |
(15.3.5) |
|
|
|
||||
=2 |
ln |
||||
|
|
|
|
|
|
Они сходятся или расходятся одновременно с интегралом |
|||||
|
+∞ |
1 |
|
|
|
∫2 |
|
. |
|
||
ln |
|
||||
Пусть > 2. Если = 1, то
∫
1
ln = ln ln + ,
поэтому и интеграл и ряд расходятся. А если ̸= 1, то
∫ |
1 |
|
= |
ln1− |
+ . |
|
ln |
|
1 − |
|
|||
Значит, ряд (15.3.5) сходится при > 1 и расходится при < 1.
∫
∑
Сравнение частных сумм ряда ( ) с интегралом ( ) , использованное при доказательстве теоремы 15.3.1, бывает полезным и в других вопросах.
Получим, например, оценку скорости роста !. Ясно, что при→ ∞ числа ! растут очень быстро, но не быстрее .
20 |
Гл. 15. Числовые ряды |
Воспользуемся тем, что |
|
|
|
ln ! = |
∑ |
ln , |
|
|
=1 |
и оценим полученную сумму через интеграл. Функция ln возрастает и при > 1
−1 |
|
|
=1 ln < |
∫1 |
ln < =1 ln . |
∑ |
|
∑ |
Поэтому
∫
∑ |
|
|
|
|
|
ln = |
|
ln + , |
|
|
|
=1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где 0 < < ln . Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫1 ln = ( ln − ) 1 = ln − + 1, |
|||||
|
|
|
|
|
|
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
! = ln − +1+ = ln |
− 1+ = ( |
|
) |
1+ . |
|
|
|||||
Из неравенств 0 < < ln следует, что
1 < < ln = .
Положим := 1+ , тогда |
|
|
|
|
|
|
< < . |
(15.3.6) |
|||||
Таким образом, |
( ) |
|
|
|||
! = |
(15.3.7) |
|||||
, |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
где для множителя справедливы оценки (15.3.6).
В § 17.4 будет установлено, что при → ∞
√
= 2 + (1),
но это потребует тонких рассуждений, а неравенства (15.3.6) были получены с помощью совсем простых соображений.
Продолжим изучение сходимости рядов с монотонными членами.
Теорему 15.3.1 можно уточнить следующим образом.
§ 15.3. Ряды с монотонными членами |
21 |
Теорема 15.3.2. Пусть функция ( ) на [1, +∞) положительна и монотонно убывает. Тогда числа
∫ +1
∑ |
|
|
|
|
( ) − |
1 |
( ) , |
= 1, 2, . . . , |
(15.3.8) |
=1 |
|
|
|
|
неотрицательны, с ростом монотонно возрастают и ограничены числом (1). При этом, если
:= →∞( |
|
∫1 |
+1 |
(15.3.9) |
=1 ( ) − |
( ) ), |
|||
|
∑ |
|
|
|
lim
то справедливы оценки
0 6 − |
|
∫1 +1 |
( ) ) |
6 ( + 1). |
(15.3.10) |
||
( =1 ( ) − |
|||||||
|
∑ |
|
|
|
|
|
|
Доказательство. Имеем |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
∫ +1[ ( ) − ( )] . |
||
=1 ( ) − ∫1 +1 ( ) = |
=1 |
||||||
∑ |
|
|
|
∑ |
|
|
|
Функции под знаком интегралов в правой части этого равенства в силу убывания ( ) неотрицательны. Значит, суммы
∫ +1
∑
[ ( ) − ( )]
=1
неотрицательны и с ростом возрастают. Они ограничены числом (1), так как
∫ +1
∑
[ ( ) − ( )] 6
=1
∫ +1
∑
6[ ( ) − ( + 1)] =
=1
∑
=[ ( ) − ( + 1)] = (1) − ( + 1) < (1).
=1
22 Гл. 15. Числовые ряды
Левое неравенство (15.3.10) вытекает из возрастания чисел (15.3.8). А правое неравенство следует из того, что
− |
( |
|
|
|
( ) ) = |
|
=1 ( ) − ∫1 +1 |
|
|||||
|
|
∑ |
|
|
|
|
|
= →∞( |
|
|
+1 |
), |
|
|
= +1 |
( ) − ∫ +1 |
||||
|
|
lim |
∑ |
|
|
( ) |
|
|
|
|
|
||
так как при > имеем
∫ +1
∑
( ) − |
+1 |
( ) = |
= +1 |
|
|
∫ +1
∑
=[ ( ) − ( )] 6
= +1
∑
6[ ( ) − ( + 1)] = ( + 1) − ( + 1) < ( + 1).
= +1
Теорема доказана.
Для гармонического ряда значение предела (15.3.9)
→∞( |
1 |
+1 1 |
) |
||
=1 |
− ∫1 |
||||
lim |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
называют постоянной Эйлера и часто обозначают .
После чисел и постоянная Эйлера является, пожалуй, наиболее важной математической константой. Десятичное представление числа имеет вид
|
= 0, 5772 . . . . |
|
||||
Таким образом, |
|
|
|
|
||
1 |
|
|
1 |
|
|
|
ln( + 1) + − |
|
6 |
∑ |
|
6 ln( + 1) + . |
(15.3.11) |
+ 1 |
=1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
Неравенства (15.3.11) уточняют оценку (15.3.4).
Отметим кстати, что до сих пор не известно, является постоянная Эйлера рациональным или иррациональным числом.
§ 15.3. Ряды с монотонными членами |
|
23 |
|||||||
∑ |
Теорема 15.3.3. Если числа монотонно убывают и ряд |
||||||||
сходится, то |
|
→ |
0 |
1 |
|
→ ∞ |
, т.е. |
|
|
|
|
|
при |
|
|
||||
|
|
= ( |
|
), |
→ ∞. |
(15.3.12) |
|||
|
|
|
|||||||
|
Доказательство. Для положительного найдем такое, |
||||||||
что при всех и , удовлетворяющих условию > > , выполняется неравенство
|
|
|
|
||||||
|
∑ |
|
|||||||
|
< |
|
. |
|
|
|
|
||
|
= |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Тогда для любого числа , такого, что [ /2] > , имеем |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
=[∑ |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
< 2 . |
||||||||
|
/2]+1 |
||||||||
В силу монотонности чисел |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
=[∑ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
> ( − [ /2]) > 2 . |
|||||||||
/2]+1 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Таким образом, < , что приводит к оценке (15.3.12). Теорема доказана.
Оценка (15.3.12) дает необходимое условие сходимости ряда
∑
с монотонно убывающими членами, когда → 0, но это условие не является достаточным, что видно на примере расходящегося ряда
∑ |
1 |
. |
ln |
Теорема 15.3.4 (Теорема Коши). Если числа монотонно убывают к нулю, то ряды
∞ |
(15.3.13) |
|
|
=1 |
|
∑ |
|
и |
|
∞ |
|
2 2 |
(15.3.14) |
=0 |
|
∑ |
|
сходятся или расходятся одновременно.
24 |
Гл. 15. Числовые ряды |
Доказательство. Пусть ( ) – монотонно убывающая на [1, +∞) функция, удовлетворяющая условию ( ) = , = 1, 2, . . . .
Согласно теореме 15.3.1 сходимость ряда (15.3.13) эквивалентна сходимости интеграла
∫ +∞
( ) . (15.3.15)
1
Если интеграл (15.3.15) сходится, то
∫ +∞ ( ) = |
∞ ∫ 2 |
( ) > |
|
∑ |
|
1=1 2 −1
|
|
∞ |
2 |
∞ |
(2 ) |
|
> =1 ∫2 −1 (2 ) = |
=1 2 −1 |
|||
|
|
∑ |
|
∑ |
|
и, следовательно, сходится ряд (15.3.14). |
|
|
|||
А если сходится ряд (15.3.14), то для каждого |
|
||||
2 +1 |
|
2 +1 |
|
|
∞ |
∫1 |
( ) = =0 |
∫2 |
( ) 6 =0 2 (2 ) 6 =0 2 2 . |
||
|
∑ |
|
∑ |
|
∑ |
Итак, последовательность интегралов
2 +1
∫
( )
1
ограничена. В силу неотрицательности функции ( ) отсюда следует сходимость интеграла (15.3.15), а значит, и сходимость ряда (15.3.13).
Теорема доказана.
Следующая теорема относится к рядам со знакочередующимися членами, т.е. члены ряда попеременно положительны и отрицательны.
Теорема 15.3.5 (Признак Лейбница). Пусть числа положительны и монотонно убывают. Тогда ряд
|
∞ |
|
1 − 2 + 3 − 4 + · · · = |
∑ |
|
(−1) +1 |
(15.3.16) |
=1
§ 15.3. Ряды с монотонными членами |
25 |
сходится, если |
|
lim = 0. |
(15.3.17) |
→∞ |
|
Если ряд (15.3.16) сходится, то для его суммы справедливы |
|
оценки |
|
∞ |
|
∑ |
|
0 < (−1) +1 < 1. |
(15.3.18) |
=1
Доказательство. Для частных сумм ряда (15.3.16) с четными номерами имеем
2
∑
2 = (−1) +1 = ( 1 − 2) + ( 3 − 4) + · · · + ( 2 −1 − 2 ).
=1
Значит, последовательность { 2 } возрастает. Вместе с тем,
2 = 1 − ( 2 − 3) − · · · − ( 2 −2 − 2 −1) − 2 < 1.
Таким образом, последовательность { 2 } сходится к некоторому числу и 0 < < 1, так как в силу (15.3.17) все разности2 −2 − 2 −1 не могут равняться нулю.
Для частных сумм ряда (15.3.16) с нечетными номерами име-
ем
2 +1 = 2 + 2 +1 → , |
→ ∞. |
Поэтому ряд (15.3.16) сходится к . Теорема доказана.
Из неравенств (15.3.18) вытекает следующая оценка остатка ряда (15.3.16), если этот ряд сходится:
|
∞ |
(−1) +1 |
|
< |
для любого , |
∑ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=
поскольку ряд ∑∞ (−1) +1 с точностью до знака удовлетво-
=
ряет условиям теоремы 15.3.5.