Глава 15. Числовые ряды

Приведем определение сходимости последовательности комплексных чисел, хотя оно и не отличается от определения сходимости последовательности действительных чисел.

Определение. Последовательность комплексных чисел { } называется сходящейся к числу *, если для каждого положительного существует число = ( ) такое, что при всех > справедлива оценка | − *| < .

По определению -окрестностью комплексного числа * называют множество чисел , для которых соответствующие им точки комплексной плоскости C принадлежат открытому кругу радиуса с центром в точке *.

На последовательности комплексных чисел переносятся все теоремы о последовательностях действительных чисел, кроме тех, которые связаны с понятиями “больше – меньше”, поскольку для комплексных чисел эти понятия не имеют смысла.

Понятие ряда является очень общим. Членами ряда могут быть произвольные объекты, для которых определены сложение конечного числа этих объектов и сходимость их последовательностей. Это дает возможность говорить о частных суммах ряда и о сходимости последовательности частных сумм.

Ряды, членами которых являются числа, действительные или комплексные, называют числовыми. Ряды, членами которых являются функции, называют функциональными. Они рассматриваются в следующей главе.

Взаписи ряда (15.1.1) суммирование по ведется, начиная

с= 1. Но можно начинать суммирование с = 0 или вообще

слюбого числа , т.е. рассматривать ряды вида

∞

∑

.

=

Наряду с (15.1.1) для обозначения ряда используется также

∑

запись без указания пределов, в которых изменяется индекс суммирования .

Если ряд (15.1.1) сходится к числу , то вводится последовательность остатков ряда

= +1

Приведем некоторые простые свойства сходящихся рядов.

Теорема 15.1.1 (Критерий Коши сходимости ряда). Ряд

(15.1.1) сходится в том и только том случае, когда выполнено условие Коши, состоящее в том, что для каждого > 0 существует число такое, что для любых чисел и , удовлетворяющих условию < 6 , справедлива оценка

∑

=

Так как

∑

= − −1,

=

теорема следует из критерия Коши сходимости числовых последовательностей.

Теорема 15.1.2. Если ряд (15.1.1) сходится, то

т.е. общий член сходящегося ряда стремится к нулю.

Это утверждение вытекает из критерия Коши при = . Оно является необходимым условием сходимости ряда.

В § 2.9 были приведены примеры, которые показывают, что последовательность частных сумм гармонического ряда

∞

∑ 1

(15.1.4)

=1

расходится, а последовательность частных сумм ряда

∞

∑ 1

2

(15.1.5)

=1

сходится.

Название гармонический ряд объясняется тем, что каждый член этого ряда, начиная со второго, является средним гармоническим двух соседних членов, т.е.

Расходимость гармонического ряда установил Г. Лейбниц (1673). Это был первый пример расходящегося ряда со стремящимися к нулю членами.

Таким образом, стремление к нулю общего члена ряда, будучи в силу теоремы 15.1.2 необходимым условием сходимости ряда, достаточным условием не является.

Так как суммы из правой части равенства (15.1.7) являются частными суммами сходящихся рядов, они имеют пределы при → ∞. Значит, имеет предел и сумма из левой части (15.1.7), т.е. ряд

∑

( + ) сходится. Равенство (15.1.6) получим, переходя в (15.1.7) к пределу при → ∞. Теорема доказана.

Это свойство сходящихся рядов называется линейностью.

ся.

Теорема 15.1.4. Члены сходящегося ряда можно группировать произвольным образом, не меняя порядка их следования. Полученный при этом ряд сходится, причем к той же сумме.

Для доказательства достаточно заметить, что последовательность частных сумм ряда, полученного при группировке, является подпоследовательностью последовательности частных сумм исходного ряда.

Отметим, что группировать члены расходящихся рядов нельзя. Например, ряд

∞

∑

1 − 1 + 1 − 1 + · · · = (−1)

=0

расходится, так как его общий член не стремится к нулю. А если сгруппировать члены этого ряда парами, то получим сходящийся ряд

(1 − 1) + (1 − 1) + . . . .

В § 15.6 будет показано, что в теореме 15.1.4 требование сохранять при группировке порядок следования членов ряда, является существенным. Без него такое утверждение в общем случае неверно.

Итак, на сходящиеся ряды переносятся некоторые свойства конечных сумм, например, сложение и умножение членов ряда на число. Но некоторые свойства конечных сумм на сходящиеся ряды не переносятся, например, возможность произвольной группировки слагаемых.

Докажем формулу суммы членов бесконечной геометрической прогрессии. Эта формула известна из школы, но там она не была строго обоснована.

Покажем, что если – комплексное число и | | < 1, то ряд

∞

∑

=0

сходится и его сумма равна

1

1 − .

В самом деле, согласно формуле суммы членов геометрической прогрессии

Условие | | < 1 здесь существенно, так как если | | > 1, то | | = | | > 1, т.е. общий член ряда (15.1.8) не стремится к нулю и ряд расходится.