§ 17.4. -функция |
137 |
сходится равномерно относительно [ , ), то для , принадлежащих отрезку с концами в точках и + , имеем
|
+Δ |
∂ |
( , ) |
|
|
|
+Δ |
|
|
∂ ( , ) |
||||||
∫ |
( ∫ |
|
|
) = ∫ |
|
( ∫ |
|
|
|
|
) |
|||||
|
∂ |
|
|
∂ |
|
|||||||||||
и, таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
) |
|
( ) |
|
1 |
+Δ |
|
∂ ( , ) |
|
|
||||||
( + |
− |
|
|
= |
|
|
∫ |
( ∫ |
|
|
|
) . |
||||
|
|
|
|
|
|
∂ |
||||||||||
В силу равномерной относительно сходимости интеграла
∫ ∂ ( , )
∂
этот интеграл является непрерывной функцией от . Значит, согласно теореме о производной интеграла по верхнему пределу интегрирования
→0 |
1 |
|
+Δ |
( ∫ |
∂ ( , ) |
) |
∫ |
∂ ( , ) |
. |
|||
|
∫ |
|
∂ |
|
∂ |
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
Итак, справедливость равенства (17.3.12) для каждого значения [ , ] доказана. А непрерывность производной ′( ) вытекает из равномерной сходимости интеграла (17.3.11).
Теорема доказана.
§ 17.4. Γ-функция
-функция (читается гамма-функция) для > 0 определяется формулой
∫ +∞
( ) := −1 − . (17.4.1)
0
Интеграл из (17.4.1) имеет особенность в верхнем пределе интегрирования при всех значениях , а если < 1, особенность есть и в нижнем пределе интегрирования. Интеграл по промежутку [1, +∞) сходится при любом , а по промежутку [0, 1] – при > 0.
С помощью признака сравнения легко показать, что интеграл из (17.4.1) сходится равномерно на любом отрезке вида [ , ], где
0 < < < +∞.
138 |
Гл. 17. Интегралы, зависящие от параметра |
Поэтому -функция непрерывна на (0, +∞). Рассмотрим вопрос о ее производных. Так как
∂ −1 − = −1 − ln
∂
и интеграл
∫ +∞
−1 − ln
0
согласно признаку сравнения сходится равномерно относительно[ , ], 0 < < < +∞, то согласно теореме 17.3.5 функция( ) дифференцируема на (0, +∞) и
∫ +∞
′( ) = −1 − ln .
0
Для старших производных аналогично находим
∫ +∞
( )( ) = −1 − ln , = 2, 3, . . . .
0
В частности, при = 2
∫ +∞
′′( ) = −1 − ln2 > 0
0
и согласно следствию 6.7.5 -функция строго выпукла на (0, +∞). Интегрируя по частям, получаем для > 0
|
+ |
|
|
|
|
|
+∞ |
|
+ |
∞ |
|
|
|
|||
( ) = ∫0 |
|
∞ −1 − = − |
|
=0 − ∫0 |
|
|
(− − ) = |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
+ |
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
∞ |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
= |
|
|
|
∫0 |
|
− = |
|
|
|
( + 1). |
||||
|
|
|
|
|
||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( + 1) = ( ), |
|
> 0. |
|
|
|
(17.4.2) |
||||||||
Равенство (17.4.2) называют формулой приведения (формулой понижения) для -функции.
Так как
∫ +∞
(1) = − = 1,
0
§ 17.4. -функция |
139 |
то (2) = 1 · (1) = 1, (3) = 2 · (2) = 2! и вообще для всех натуральных
( + 1) = ! |
(17.4.3) |
Формула (17.4.3) показывает, что -функцию можно рассматривать как распространение функции ! на нецелые значения . Кроме того, благодаря формуле (17.4.3) получает естественное объяснение определения 0! := 1. Действительно, 0! = (0+1) = 1.
Формула приведения дает возможность распространить - функцию на все отрицательные значения аргумента, кроме целых отрицательных значений. Но не будем на этом останавливаться.
Рассмотрим поведение функции ( ) при → 0. Так как в силу непрерывности -функции ( + 1) ≈ 1 при → 0, то
( ) = |
( + 1) |
≈ |
1 |
|
, |
→ 0. |
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
||||||
Схематически график -функции имеет вид
Рис. 17.3.
Так как (1) = (2) = 1, то -функция имеет минимум на интервале (1, 2) (он достигается в точке 1.4616 . . . и равен 0.8856 . . . ).
Выясним теперь поведение -функции при → +∞. Перейдем в интеграле
∫ +∞
( + 1) = −
0
к переменной интегрирования по формуле = (1 + ), считая> 0. Тогда
( + 1) = |
∫−1∞ |
(1 + ) − (1+ ) = |
|
+ |
|
140 |
Гл. 17. |
Интегралы, зависящие от параметра |
||
|
= +1 − |
∫−1∞(1 + ) − = |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
= +1 − ∫−1∞ − ( −ln(1+ )) . |
(17.4.4) |
||
|
Рассмотрим функцию |
|
|
|
|
( ) := − ln(1 + ), |
−1 < < +∞. |
|
|
Так как
′( ) = 1 − 1 +1 = 1 + ,
то ( ) строго убывает на (−1, 0] и строго возрастает на [0, +∞). Имеем также (0) = 0 и ( ) → +∞ при → −1+0 и при → +∞.
Поэтому, если задать переменную формулой
2 |
|
2 = − ln(1 + ) |
(17.4.5) |
и условиться, что знак совпадает со знаком , получим взаимно однозначное соответствие между переменными (−1, +∞) и
(−∞, +∞).
Чтобы перейти в интеграле из правой части (17.4.4) к переменной интегрирования , найдем производную / .
Продифференцировав равенство (17.4.5) по , находим
= |
(1 − 1 + ) = |
+ 1 , |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
откуда при ̸= 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
= |
|
+ . |
(17.4.6) |
|||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Согласно формуле Тейлора с остаточным членом в форме Ла- |
||||||||||||||||||
гранжа |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||
|
ln(1 + ) = − |
|
· |
|
|
, |
|
|||||||||||
2 |
(1 + )2 |
|||||||||||||||||
где 0 < < 1. Значит, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
2 |
= − ln(1 + ) = |
|
2 |
|||||||||||||||
|
2 |
|
2(1 + )2 |
|
||||||||||||||
§ 17.4. -функция |
141 |
и в силу того, что 1 + > 0, и совпадения знаков и получаем
= 1 + .
Отсюда
1 = 1 + = + .
Поэтому из (17.4.6) следует, что
|
= 1 + (1 − ) , |
0 < < 1. |
(17.4.7) |
|
При выводе представления (17.4.7) предполагалось, что ̸= 0 или, что то же самое, что ̸= 0.
Но равенство (17.4.7) справедливо и при = 0. В самом деле, предел производной / при → 0 равен 1. Значит, согласно следствию 6.2.12 производная / при = 0 равна 1 и, таким образом, для всех
|
|
− 1 |
6 | |. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заменив в последнем интеграле из правой части формулы (17.4.4) переменную интегрирования по формуле (17.4.5), в силу (17.4.7) получим
+ |
+∞ |
2 |
|
∫−1∞ |
− ( −ln(1+ )) = ∫−∞ |
− |
/2 |
|
+∞ |
2 |
|
|
= ∫−∞ |
− |
/2 |
=
+ ( ), |
(17.4.8) |
где для ( ) справедлива оценка
+∞ 2 |
|
| ( )| < ∫−∞ − |
/2| | . |
Для интеграла из правой части формулы (17.4.8) имеем
+∞ |
2 |
/2 = √ |
2 |
|
+∞ |
2 |
|
∫−∞ − |
|
|
|
∫−∞ − |
. |
||
|
|||||||
Интеграл |
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
∫−∞ − |
|
|
|
||
142 |
Гл. 17. Интегралы, зависящие от параметра |
называют интегралом Пуассона (интегралом Эйлера–Пуассона).
В следующем параграфе будет показано, что этот интеграл равен
√
, и следовательно,
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
/2 = √ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
∫−∞ − |
2 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Оценим теперь величину ( ). Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
+∞ |
2 |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∫−∞ − |
/2| | = 2 |
∫0 |
|
|
− |
/2 = |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
2 |
|
||
|
|
|
|
= ∫0 |
|
− /2 = |
|
∫0 |
− = |
|
. |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= √ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
∫−1 |
− ( −ln(1+ )) |
2 |
|
+ , |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
| | < |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Поэтому согласно (17.4.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
( + 1) = +1 − |
(√ |
|
|
|
|
|
|
+ ), |
| | < , |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||
и окончательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
( + 1) = √2 ( ) |
|
|
|
|
|
|
|
(17.4.9) |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
(1 + 1), |
|||||||||||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
| 1| < √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Равенство (17.4.9) называется формулой Стирлинга. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
В частности, для ! имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
! = √2 ( ) |
|
|
|
|
|
|
) |
|
), |
|
|
|
|
|
→ +∞. |
|
|
|||||||||||||
|
+ ( ( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Эта формула имелась в виду в § 15.3.
Отметим, что для величины 1 известна более точная оценка.