§ 16.5. Почленное интегрирование равномерно сходящихся рядов

Прежде, чем выяснять условия, при которых справедливо ра-

заметим, что если все функции ( ) интегрируемы на отрезке

∑

[ , ] и ряд ( ) сходится в каждой точке [ , ], сумма ряда может оказаться неинтегрируемой функцией.

В самом деле, пусть 1, 2, . . . – последовательность всех рациональных чисел отрезка [ , ] и

{

( ) = 1, если рационально,

0, если иррационально,

которая не интегрируема.

его суммы.

Сначала рассмотрим вопрос об интегрировании последовательностей функций.

Теорема 16.5.1. Если последовательность функций { ( )}, интегрируемых на отрезке [ , ], сходится к функции ( ) равномерно на [ , ], то функция ( ) интегрируема на [ , ], существует предел

т.е. возможен предельный переход под знаком интеграла.

Доказательство. Пользуясь равномерной сходимостью последовательности функций { ( )}, по заданному > 0 находим число такое, что для всех [ , ] и всех >

| ( ) − ( )| < ,

откуда

Эти неравенства доказывают, в частности, ограниченность функции ( ).

Сравним верхние и нижние суммы Дарбу функций ( ) и

( ) при > .

Из правой оценки (16.5.3) следует, что для каждого разбиенияотрезка [ , ]

Для функции ( ) в силу ее интегрируемости существует разбиение *, для которого

*( ) − *( ) < .

Отсюда и из (16.5.4) и (16.5.5) находим

*( ) − *( ) 6 ( *( ) + ( − )) − ( *( ) − ( − )) < < (1 + 2( − )).

Из этой оценки согласно теореме 9.2.5 следует интегрируемость функции ( ).

Поэтому из неравенств (16.5.3) получаем

∫ ∫ ∫

( ) − ( − ) 6 ( ) 6 ( ) + ( − ).

( ) − ( ) 6 ( − ).

Так как это неравенство имеет место при всех > , оно завершает доказательство теоремы.

Теорему 16.5.1 можно обобщить следующим образом.

Теорема 16.5.2. Допустим, что последовательность функций { ( )}, интегрируемых на отрезке [ , ], сходится к функции ( ) равномерно на [ , ]. Тогда для каждой неотрицательной интегрируемой на [ , ] функции ( ) такой, что при всех сходятся интегралы

∫

( ) ( ) ,

интеграл

∫

( ) ( )

сходится и справедливо равенство

Для доказательства нужно умножить неравенства (16.5.3) на( ) и проинтегрировть полученные неравенства.

Здесь интегралы с функцией ( ) могут быть и собственными и несобственными.

Для рядов соответствующее утверждение формулируется так.

Теорема 16.5.3. Пусть на отрезке [ , ] ряд

∞

∑

( )

=1

сходится равномерно и все функции ( ) интегрируемы. Тогда для каждой неотрицательной интегрируемой на [ , ] функции( ), для которой при всех сходятся интегралы

∫

( ) ( ) ,

сходится интеграл

Заметим, что при выполнении условий теорем 16.5.1–16.5.3 интегралы по отрезку [ , ] можно заменить на интегралы по произвольному отрезку, содержащемуся в [ , ].

§ 16.6. Степенные ряды

Определение. Степенными рядами называют ряды вида

∞

∑

( − *) ,

=0

где коэффициенты ряда , фиксированное число * и независимая переменная являются, вообще говоря, комплексными числами.

Иногда степенные ряды образно называют “многочленами бесконечной степени”.

При изучении степенных рядов будем для простоты считать (как это делают обычно) * = 0. К этому случаю легко прийти, взяв в качестве новой переменной разность − *.

сходится при = −1. Если бы этот ряд равномерно сходился в круге | | < 1, то согласно критерию Коши для каждого > 0 существовало бы число такое, что для всех | | < 1 и всех >> справедлива оценка

Отсюда в пределе при → 1 следовало бы неравенство

противоречащее расходимости гармонического ряда.

Важными следствиями теоремы 16.6.1 являются следующие два утверждения.

1.Если ряд (16.6.1) сходится при 0 ̸= 0, то он абсолютно сходится во всех точках таких, что | | < | 0|.

2.Если ряд (16.6.1) расходится при 0 , то он расходится во всех точках , для которых | | > | 0|.

Определение. Величину

:= sup | |,

где верхняя грань берется по всем , при которых сходится ряд (16.6.1), называют радиусом сходимости этого ряда.

Понятно, что радиус сходимости равен верхней грани значений | |, взятой по всем , для которых ряд сходится абсолютно.

Для каждого степенного ряда

0 6 6 +∞.

При этом радиус сходимости может равняться нулю (такой пример будет приведен позднее) и равняться бесконечности – это утверждение очевидно.

Определение. Если радиус сходимости степенного ряда (16.6.1) не равен нулю, то открытый круг | | < на комплексной плоскости называют кругом сходимости этого ряда.

При этом берется круг на комплексной плоскости и в том случае, когда рассматриваются только действительные значения аргумента .

Из теоремы Абеля 16.6.1 и непрерывности суммы равномерно сходящихся рядов непрерывных функций следует, что сумма степенного ряда в круге его сходимости является непрерывной функцией.

Если – радиус сходимости степенного ряда, то в точках , для которых | | > , ряд расходится. Вопрос о поведении степенного ряда на границе его круга сходимости, т.е. при , для которых | | = , рассмотрим позднее.

Теорема 16.6.2 (Формула Коши–Адамара). Для радиуса сходимости степенного ряда (16.6.1) справедливо равенство

называемое формулой Коши–Адамара.

Доказательство. Из определения величины следует, что 0 6 6 +∞. При = 0 равенство (16.6.2) нужно понимать как

= +∞, а при = +∞ равенство (16.6.2) означает = 0.

1 . Покажем сначала, что

значит, 6 1/ и

6 1 .

Так как эта оценка справедлива для всех < , из нее вытекает (16.6.4).

2 . Докажем теперь, что

При = +∞ это очевидно, поэтому будем считать < +∞. Для любого числа * такого, что * > , ряд (16.6.1) при = *

расходится. Тем более расходится ряд

иначе согласно признаку Коши (теорема 15.2.7) ряд (16.6.6) сходился бы.

Из (16.6.7) получаем * > 1 и, таким образом,

1

* > .

Поскольку оценка имеет место для любого * > , из нее вытекает (16.6.5).

Равенство (16.6.3) следует из (16.6.4) и (16.6.5). Теорема доказана.

С помощью формулы Коши–Адамара легко построить ряд, радиус сходимости которого равен 0. Таким свойством обладает,

например, ряд

∞

∑

. (16.6.8)

=1

В этом случае

√

| | = ,

значит, = 0 и ряд (16.6.8) сходится только при = 0.

=1

Если переменная принимает действительные значения, ряд (16.6.11) является почленно продифференцированным рядом (16.6.10).

Покажем, что такое утверждение справедливо и для производных по комплексному аргументу .

Определение. Если функция ( ) комплексной переменнойопределена в некоторой окрестности точки 0, то производной

( ) по комплексному аргументу в точке 0 называют предел

если этот предел существует.

Как и производную по действительному аргументу, эту производную обозначают

( 0) = ′( 0).

Для производной функции , где = 1, 2, . . . , по комплексному аргументу справедливо равенство

−1

∑

=( + ) −1− .

=0

В полученной сумме слагаемых, каждое из которых при → 0 стремится к −1. Отсюда следует равенство (16.6.12).

Теорема 16.6.4. Если степенной ряд имеет ненулевой радиус сходимости, то сумма этого ряда во всех точках круга сходимости имеет производную по комплексному аргументу, равную сумме производных членов ряда.

Доказательство. Из теоремы 16.6.3 следует, что ряд из производных имеет такой же радиус сходимости, как и исходный ряд.

Пусть

∞

∑

( ) :=

=0

и радиус сходимости этого ряда > 0.

Рассмотрим произвольную точку из круга сходимости ряда, т.е. | | < . Выберем число , для которого | | < < . Будем придавать аргументу функции ( ) приращения , при которых | + | < . Пользуясь почленным сложением сходящихся рядов, получаем

∞

= 1 ∑ (( + ) − ) =

=1

Полученный числовой ряд сходится, так как < . Значит, ряд

∞−1

в круге | | 6 сходится равномерно относительно , удовлетворяющих условию | + | < . Поэтому для нахождения предела при → 0 суммы ряда из правой части (16.6.13) можно переходить к пределу почленно. Так получим

Теорема доказана.

Из теоремы 16.6.4 в качестве следствия вытекает такое принципиально важное утверждение.

Теорема 16.6.5. Если

=0

где ряд имеет ненулевой радиус сходимости, то функция ( ) во всех точках, принадлежащих кругу сходимости ряда имеет производные по комплексному аргументу всех порядков и равенство (16.6.14) можно почленно дифференцировать любое число раз.

Следующее утверждение называют теоремой единственности для степенных рядов.

Теорема 16.6.6. Пусть { } – последовательность ненулевых точек, сходящихся к нулю при → ∞. Если значения сумм степенных рядов

∞∞

равны во всех точках , то = для всех , т.е. ряды (16.6.15) совпадают тождественно.

Доказательство. Перейдем в равенстве

∞∞

к пределу при → ∞. Это можно сделать почленно, ибо точки принадлежат кругам сходимости рядов (16.6.15). Так как → 0

при → ∞, пределом ряда из левой части равенства (16.6.16) является число 0, а пределом ряда из правой части – число 0. Значит, 0 = 0.

Опустим в (16.6.16) слагаемые, соответствующие = 0, и пользуясь тем, что ̸= 0, разделим полученные равенства на :

∞∞

Переходя здесь к пределу при → ∞, находим 1 = 1. Далее повторяем ту же процедуру, т.е. опускаем в (16.6.17) слагаемые при = 1, делим получившееся равенство на и устремляемк бесконечности. В результате приходим к равенству 2 = 2. Повторяя этот процесс шаг за шагом, видим, что = при всех .

Теорема доказана.

Теорема 16.6.7 (Вторая теорема Абеля о степенных рядах).

Пусть ряд

∞

∑

=0

сходится в точке ̸= 0. Тогда на отрезке, соединяющем на комплексной плоскости точки 0 и , т.е. при = , 0 6 6 1, ряд (16.6.18) сходится равномерно и его сумма на этом отрезке является непрерывной функцией.

Доказательство. На отрезке, о котором говорится в теореме, ряд (16.6.18) имеет вид

∞∞

Нужно доказать равномерную относительно [0, 1] сходимость этого ряда. Так как последовательность функций { } на [0, 1] монотонна и ограничена, а числовой ряд

∞

∑

=0