gorod-geom1

n

ТХЛЧЕОПКЮФМХ ПЧПДУФЧрПЖЙЪЙЛЙПТОЩЕУМЙЧЕЛФПТЩ4ЦЙЧЫЕКУС.8ДМСТПЙЪЧЕДТЙОСФП,(€УФБТЫЙЕÉÎÖsb(b;ÉÅÎЪБ)ЕТПЧФУСЕТЙУЩЧБТЧЕЛФПТОЩЕПТПЮОПДЙОЩОБПТТЙНЕТБТБЧМЕООЩКИОЙЛПЧЙПОБМШОЩ,ЧПЫМЙXIXЕТНЙОБИЧЕЛБ. ТПЙЪЧЕДЕОЙЕНТПЙЪЧЕПДБЧМСАЭЕФПФТБДЙЧЕЛФПТОЩИ[ЖПТНХМЙТb;ДЕОЙС•ЙЙ,=0ЧЕЛФПТНОПЗВППЧБООПНХПМШЫЙОУФЧПТЖПТНХМПЙЪЧЕЪБЛПОЩДЕОЙКb ЧЩЫЕ(4.ОЩОЕЫОЙИ-пФНЕ.19)ФТрПЬФПНХ.£ИНЕТТБЧЙФЙН,--

рТЙНЕТ

|

|

ВчПТХВПЙЪВЭЕОЙЕ(n ТЧЕЛФДЩДХЭЕЗ

УП ПУФБЧЙН ЛБЦДПНХ RХ ПТСДПЮЕООПНХ)

ÎÁ

ÅËÔ Ò [v1;

−

−

v2;1): : : ; vn ÏÒÏ× v1; v2; : : : ; vn

1 ТБЧОБn-НЕТОПН ЕЧЛМЙДПЧПН Т УФТБОУФЧЕ

×ÁÎÎ ÇÏ (n

−1 , ДМЙОБ

ÏÇ

Å×ËÌ

ЧХ ВЯ£НХ ОЕ ТЙЕОФЙТ

vФПТЩК1; v2; : :ОБ: ; vn−

−

5

-

ХБТБПТÌМЕМЕТОП ЙЗЙЕДБ,ЕТ ОБФСОХФМПУЛПУЙ,ПЗ ПТОБ vЦД1; v£ООПК2; : : : ; vЧЕЛФn 1,ПТБНЙË

ТБЧМЕО-НЕТОПЗЕТ ЕОДЙЛ

−1, ÔÁË ÞÔ ÂÙ[v1; v2; :Ñ:ДПЮЕООЩК: ; vn

ОБВПТ ЙЪ n ЧЕЛФПТ

ВЩМ ПМПЦЙФЕМШОП ПТЙЕОФЙТПЧБО. пФНЕФЙН,−1 ; v1;ФТПКОЩЕv2;ЮФ: : :ЕЧХА; vnУМЙ−1 v1; v2; : : : ; vn

ЪБЧЙУЙНЩ, ПЙЪЧЕ[v1; v2; : : : ; vn

−1 МЙОЕКОП

ÁËÉÍ

ВТБЪПН,ТПЙЪЧЕДЕОЙС−1 = 0 (ЙВПТДЙОБФЩЙНЕЕОХМ

ДМЙОХ).

R4

НЩ П ТЕДЕМЙМЙ

ТПЙЪЧЕДЕОЙС [v1; v2; v3 , Ч

RБТОЩИ| ЮЕФЧЕТОЩЕТ ДЕОЙК [v1; v2 Ч

[v1; v2; v3;

4

П. ТЕДЕМЙМЙ.рПДЮЕТЛО£Н, ЮФП ОЙЛБЛЙИ

Ë

4

5

v ; vÎÅ2; : : : ; vn

.

еУМЙ ЧЩ ЙУБФШ

ПТДЙОБФЩRЧЕЛФЙМЙ RÏ×19)ÍÙ

C = Cev ТБЪНЕТБ n

−1 П УФПМВ БН НБФТЙ Щ

×

(n

−

: i-ФБСЧЕЛФЛПТБПТДЙОБФБ[v1; v2; : :[v:1;;vvn2−;1: : :НПЦОП; vn

ЧЩЮЙУМСФШ П ЖПТНХМЕ, БОБМ1),ПЗЙЮОПКФ (4-

ТБЧОБ

(

−1

i+

1)i−

ТБЦОЕОЙС,рПЛБЦЙФДЕn ЙФЕМСВПВЭБАЭЕЗ(nП УФТПЛ1)-НБФТЙЕ/УФПМВХТ.Щ4.C7:Х)=. CдevС. ьФПЛЧБ

Ï Ò

ЕЛБЕНБФТЙ4ЙЪ.8 УМЕДХАЭЕЗП(ТБЪМЩ A =ПЦЕОЙЕ(aij) ХТБЪНЕТБ

×

−

УТБЪХх ДТБФОТБЦОЕОЙЕЧЩФ

НБФТЙ Щ ТБЪНЕТБ

n

× n ПВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ Aij

Ï ÒÅÄÅÌЙФЕМШ

ÏÊÍÅnУ ППЮЛЙЖПТНХМБЙj-ФПЗП1 1) УФПМВ(n

-

1),Á. ÏÌХЮБАЭЕКУСЕ,ЮФ ЙЪТЙНБФМАВПНЙЩЖЙЛУЙA ЧЩЛЙДЩЧБОЙПЧБООПНi

detÅÍÅÅAi- =

−

× −

=1(

−

·

−

−

− · · · ±

X

1ПОБ ОБЪЩЧБЕФУС1)ТБЪМПЦЕОЙЕНai Ai =П ТЕДЕМЙФЕМС( 1 (ai1AÏi1i-ÔÏÊai2AУФТПЛЕi2 + ai3Ai3

ainAin)

Б ТЙ МАВПН ЖЙЛУЙТПЧБООПН j | ЖПТНХМБ1

n

+j

1)j−

detA = =1(

·

−

−

− · · · ±

det(ТБЧЕОУФЧПч УБНПНa; v1; v X −

ДЕМЕ,2; : : :УПЗМБУОП;1)vn a j ЬФПНХA j = Õ( ТБЦОЕОЙА,1 (a1jA1jÄÌÑa2МАВПЗПjA2j + aЧЕЛФПТБ3jA3j

a ×ÙanjПМОСЕФУСAnj)

ÇÄÅ w = (det C1;

−1) = a1

1 − a2det C2 + a3det C3 − · · · ± andet Cn = (a; w) ;

-

ТПЧЬФПНХОБДПvТБЪМПЦЙФШi ЪБДБООЩК(ЙВПТЙ УФwФБЛЙНПСЭЙК=vi ПВТБЪПНЧТЕДЕМЙФЕМШМЕЧПКЧЕЛФПТЮБУФЙЧПМБУОПw1)ЕЧПКТnЕТ−ДЕМЙФЕМШ1 ЕОДЙЛЮБУФЙCn)ХМСТЕОЪБОХМСЕ(ЮФП ЕТЧПНХВЩЛБЦДПНХФУС),ХВЕДЙФШУСУФПМВЕЗЙЪ Х)ЧЧЕЛФДМЙОБЬФ.рППН

−det C2; det C3; ; : : : ; (−

|w| = Vol v1; v2; : : : ; vn−1), ПУЛПМШЛХ УПЗ

ЖПТНХМ

ÉÚ ÒÉÍ. 4.5

УМХЮБДТХЗ К УФПТПОЩ1)(a; v1; v2; : : : ; vn

1)

·ha = Vol (v1; v2; : : : ; vn−

1

·|

a

|·|

os '

|

|det(a; v1; v2; : : : ; vn−

| = Vol (v1; v2; : : : ; vn−

wa;. 1vьФПФ)1;=v2(;a;:ХЗПМ: w:;)vn=ПУФТЩКw a, ЕУМЙosЙ',ФПМШЛЗДЕ' ЧЕУМЙВПЙИ

ÑÈ ÏЪОБЮБЕФ ХЗПМ(НЕЦДХa; w) =adet(Й

−

| | · | | ·

ЮФП ПЪОБЮБЕФ, ЮФП ОБВПТ ЧЕЛФПТПЧ a; v1; v2; : : : ; v−n1) > 0 ;

vЧБО1БЛЙН; v2; :ЧЕЛФПТЩ: : ; vn

a Й w МЕЦБФ П ПДОХ УФПТПОХ Ф ЗЙ−1ÅÒÏÌÏЦЙФЕМШОПУЛЕМШОПУФЙ,ОБФСОХФПТЙЕОФЙТПЧБОКОБ-

МЙОЕКОПВТБЪ−1Н, .wЕ.=ОБВПТ[v1; v2;w;::v:1;;vvn2; : : : ; vn−1 ÔÏÖÅ ÏÌ ÖÉÔ

ПТЙЕОФЙТ

.

х ТБЦОЕОЙЕ 4.9. д ЛБЦЙФЕ, ЮФП−1 ТПЙЪЧЕДЕОЙЕ.

[v1; v2; : : : ; vn

ЛБЦДПНХУЖЕТПКx, ДБМSÉÚТБДЙХУБ(£p;ООЩИБТЗХНЕОФr) def=Пr УЪБДБООÏ×ÅÎÔÒ( ÒÉÏÍÊЖЙЛУЙТФЧПЮЛЙp ПЧБООЩИpВПЪОБЪБЮБЕФУСДБООП1УФБМШЛОЩИ)УЙННЕФТЙЮОПТБУУФПСОЙЕ.

r4.>4.0,уЖЕТЩОБЪЩЧБЕФУС. знÏ

−

−→px; −→px) = r2

rзн> 0,xОБЪЩЧБЕФУС,ХДБМ£ООЩИЫБТПНФЪБДБООПКBТБДЙХУБ(p;ЫБТБ)r defФПЮЛЙ=r{xÓ | ЕОФТПНp( ОЕ ДБМЕЕ,Чp ЙЮЕН}ПВ: ПЪОБЪБДБООПЕЮБЕФУС ТБУУФПСОЙЕ

−→px; −→px)

2

ÓðÅÒÅрТЕДМФТБОУПУФТПУФТБОУФЧПНПЙФУБЕЮЕОЙЕЦЕОЙЕЙЪ ДЙОУФЧЕОО,ЖЕТЩТЙ4,.5%УФТБОУФЧПОБИ=(УÏÄrДСЭЙНУСК, Ò .ЮЛЙТ |%ПФ<ПТФПЗТБДЙХУБФПЮЛЙxr (ТЕДУФБЧМСЕПОБМШОПКp r У ТБУЕОФТПНrУФПМВТПСОЙЙ:ЕЛПАХЙЙЧpУЖЕТХ%ФПЮЛЙ,УБЖЖЙХУФП(УППФЧp ОБОЩНТЙПД.%ЫБТ)>ТПДr-,

ТБДЙХ

{ |

6

}

ÏÒ ÏÌÕÞБЕФУС

ÏÊ

∩ ) ÚÁÄÁ£ÔÓÑ

ХТБЧО ОЙЕН,

(

−→px = →−pq + −→qx Ч ХТБЧОЕОЙЕ УЖЕТЩ Й ЙНЕÅÔ ×ÉÄ

−→qx; −→qx) = r2

х ФПЮЛЙЗТБЦОЕОЙЕПНЕФТЙЮa −b%ÓËÏ:24ЕМШОЩЕ,S10ПФЛХДБНЕУФ.(aрПЛБЦЙФ+ b)×Ó=2£; Å,УМЕДХЕФТСНЩИПУЖЕТБ. ХЗМПЧ,УДЙБНЕФТПНУФПТПОЩ[a;ЛПФПТЩИb ТЕДУФБЧМСЕТПИПДСФУПВЮЕТЕЪ

S(p;4r.)4×.1.ДЙОУФЧЕООПКлБУБФ

ÔÏÞË.

|

|

=

−→ax; −→bx) = 0

}

{ |

бЖЖЙООПЕЕТq a; b =2

ÏÄxÏÄÒ( ТУФТБОУФЧПЛБУБФЕМШОЩН. , ЕТ ЗЙ БАЭЕЕТМ УЛЖЕТХ

ЧЕЛФПТХ

| ÜÔÏ Ë ÓÆ

ÏÅ SÏÓÔØ,(p; r)

ФЕМШОПКЧТ ПЮЛИПДСЭБСq. оБЙВПМШЫЕЮЕТЕЪПЮЛХЙЪq БУБФÅSМШОЩИОДЙЛХМСТОП(p; r) ОБЪЩЧБЕФУС

ЗЙ ЕТ МПУЛПУФША Л

ÆÅÒÅ S(p; r) ×

ÏÞËÅ q

→−pq. пОБ ОБЪЩЧБЕФУС ЛБУБ-

TqS(p; r) =

S(p; r) Й ПВПЪОБЮБЕФУС

<

→−pq; −→qx) = 0

ÕÔÒÉ ÛÁÒÁ B(p; r)

=

ОБ УЖЕТЕ S(p; r)

}

(4-20)

ОБЪЩЧБЕ(ЧФПТП П ЙУБОЙЕ УЧСЪБОП У{xЕТЧЩН| (

ПДУФБОПЧЛ} = {xÏÊ| (

4.4.2. уФУФЕ ЕОШАПЮЛЙПЮЛЙФОПУЙФЕМШОП ЖЕТЩ.−→qxюЙУМП=−→pxdeg→−pqS(p;r).) q def=

−

ÔÓÑ

degS(p;r) q Ô

q

ФОПУЙФЕМШОП

ЖЕТЩ S(p; r) . пФНЕФЙН,|pqЮФП|2 − r2

рХУФШðÒÅДМЙОЩч ФПЮЛПУМЕДОЕН

→−qt10; −→at2) = d (×

ÓÔÉ,

p ОБ ТСНХА `. уПЗМБУОП. пВПЪОБЮЙНХТ. 4ЮЕТЕЪ. a ПТФПЗПОБМШОХА ТПЕЛ|qt1|ЙА· |qt2|ЕОФТБ=|d|)УЖЕТЩ.

(

→− 2 =

→−at1. рПЬФПНХ

→−qt1; −→qt2) = (

−

2

2

|qa| + |at1|) · (|qa| − | 1=|) = |q | − |at1|

=

|pq|2 − |pa|2

− |at1|2 = |pq|2 − |pt1|2 = d

ïÏÞËÔТВТБЦЕОЙЕДЕМ 4p;r.2: (ЙОЧЕТУЙС)

§

Ô Õ a

Rn r p

- Rn r p, ЕТЕЧПДСЭЕЕ ЛБЦДХА ПФМЙЮОХА ПФ p

Rn

Ч ЙОЧЕТУОХА ЕК p;rПФОПУЙФЕМШОП(a) = p + r2УЖЕТЩ S(p; r) ФПЮЛХ

ЧПКУФЧЕООПйОЧЕТУЙС4p.4ЙСЖЕТЩ,.4. оЕЛПФp;rЙОЧЕТУЙЕКЙСЧМСЕФУСЕТЕЧПДЙФУЖÏÒÙÅТБ SЙОЧПМАУЧПКУФЧБ(ФОПУЙФЕМШОПp;ЙУИr)ВСУФШЛБЦДЙЕКЙОЧЕТУЙЙНОПЦЕ2 ОБУЖЕТНОБЖУФЧППЦЕЖЙОЩ. йЪSОЕУФЧЕ(ОПp;paУЛБЪБООПЗПДЧЙЦОЩИr);ЧУПД. ТФПЮЕЛ,УФТБОУФЧПЧЩЫЕПЮЕЛМЧЩФЙОЧЕТЮОЩИ,ЛБЕУЙЙТПИПДСПÔ, ЮФПЕОp;r-.

ФТБЙОЧЕТОБЪЩЧБЕФУС

|pa| · −→

ЭЕ ЮЕТЕЪ ЕОФТ УЖЕТЩ,

Ô ÎÁ Î£Í ËÁË

ÓÉÑ

ÔÎÏ ÉÔ ÌØÎÏ

ÆÅÒÙ

ФЧЕ. йЪ.СМФПМСТОПКПЮЛБУЛУФЙ)x,

ЧУСЛБ

ПДЙФ(p;ПТПКr),ФЧЧЩУЕЛБЕНПКУФЙЮЛЙХЗПМПЮЛХ(УНapaxЙ. b ТСНПКÅДМЗЙДЕКУФЧХЕЕЧПДСФПДОПК.4ЕТ.(Ф7).МУМ.СЖЕЧУСЛБÄЕТХЕФ,ХЗПКСОБЧЮФПЮЛБДТХЗБЬФПНЧЙОЧЕТЬФПМСТОПКПНД ТУМХЮБЕУЙЕКЛb ЗЙp;r

ÄÌÑ∩рХУФШSИЕОДЙЛ

ФПЮЛЙ x). йОБЮЕ ЗПЧПТС,′ ДМС ЛПФПТПКЕЧПДЙУЛХЗПМШ px(′ba; ТСНПК (ЙВПДСЭБb МЕЦЙФ ОБ

Å

ÅÒ

ХМСТОП ЧЕЛФПТХ

−→pa),

È

С ЮЕТЕЪ Ф

Õ a

Ô=УС УЙОЧЕТp;r£ВЕ,(Фa)ТЙФПУЙЕКÅÒ ОЧЕТОБПВПТЕОДЙЛp;rУЙЙЙОЧЕТЧХМСТОПУЖЕТХФ,МАВБПМСТОХАУЧЕЛФДЙБНЕФТПНОЕБТОЩНПТХТФПЮЛИПДС-

aЭБС[p;ЗЙbрПУЛ.ЮЕТЕЪЕТПМШЛМpУЛУЖЕТБУФШ,ЙОЧЕТУЙСУТДЙБНЕФТПНрПЛБЦЙФИПДСЭХАp;r−→pa,ВТБФОБ[p;ЕТЕЪa УБНПКbЕТЕКД

УЙНЖЕТБ(ОЕaЕТЕКД1)МЕЛЙЕ,УЙНЦБФb£2ФÞ=ФП£ООБСТЙЧМЕЛУБОЕp;rПДОПКЙОЧЕТУЙЙ(aТПИПДСЭБС2.Ф))рХУФШ.ЧУЗЙИЕТЧФПЮЕЛФУЖПЮЛЙЮМ УЛПУФЙЕЪХpiУpp.0пОБ;ЖЕТБp.1; :ПЗДБОБЪЩЧБЕФУС:УОЩН: ;ЛПММpnУХЭЕУФЧХЕФДnÉ-НЕТОПЗПБНЕФТПpbЕО.-

ÅДЙОУФЧЕООБСЧЛМЙДПЧБх4[pbТБЦОЕОЙЕ.Ï14ДЙБНЕФТПН;.b5ЙУБООПЗ2. (ЪДЕУШпÒ ЙУБООБСÔУФТБОУФЧБÏÞËÁ4b.[12a=;.a,2p;rТБЧОПХДБМ

→−

ÔÒÏÍ

ÛÁÒÁ

ÓÁ

; : : : ; pn :

÷

[p0; p1

p Т ДУФБЧМСЕФ УПВПА Е-

БНПН ДЕМЕ, зн ТБЧОПХДБМ£ООЩИ ПФ ЧУ И Ф

Ò

ÓЕЮЕОЙЕ n БЖЖЙО ЩИ ЗЙ ЕТ МПУЛП

ЕК | УТПЮЕЛДЙООЩИ ЕТ ЕОДЙЛХМСТПЧ Л n

i

ХТБЧОЕОЙКУ 1 i

n(4.-ьФП9) ЕТЕУФЕЮЕОЙЕ ЪБДБ£ФУС УЙУФЕНПК ЙЪ n МЙОЕКОЩИ

ОЕПФТЕЪЛБНПДОПТПДОЩИ[p0; pi

6 6

У ЪБДБЮЕК з4

| pi| ЖЕТЩ, лБЦДПТ ИПДСЭЕК ЮЕТ

ÏÞËÉ p0; p1; : : : ; pn (ÓÒ.

МЙОЕКОП4.5.

Ф ВТБЪЙФШ10 ЙЪ 4-З

МЙУФЛБ)УФШ. . Т УФТБОУФЧПЕЧЛМЙДПЧПV

Ò

УФТБОУФЧП V НПЦОП

V Ч МЙОЕКОХА ЖПТНХ gu : w

, УП ПУФБЧМСС ЧЕЛФПТХ u

рПМХЮБАЭЕ УС ФБЛЙН

МЙОЕКОПV(w; uu) УЛБМСТОПЗЕВТБЦЕОЙЕХНОПЦЕОЙС ОБ ЬФ

ЧЕЛФПТ.

ВТБЪПНg7→:

ЙОЯЕЛФЙЧОП: ДМС МАВПЗП v

7→( ; u )

(4-22)

- V

ПКЧЕЛФПТЖЕМШОП,ПТНЩ'vÅ:ОХМЕЧПКV(4-22) СЧМСЕФУС.БЛЙНgvЕЧЛМЙДПЧПН(v) =ВТБЪПН,ЙЪПН(v; vТЖ)>ЕУМЙЙЪНПН0УФТБОУФЧЕV ТП.ьТЙОЙНБЕФТБОУФЧППЪОБЮБЕФ,VОЕОХМЕЧПЕЛПОЕЮОПНЕТЮФМАВПКЪОБ-

УФЧЕООЩКОП,МЙОЕКЙ,ЮЕОЙЕУМДПЧБФВТБЦЕОЙОБ

6= 0 ЖХОЛ ЙПОБМ gv

×ÅËÔ ÓÔÒÁv'

- R ÎÁ

Ò

V УХЭЕУФЧХЕФ

ÄÉÎ-

х ТБЦОЕОЙЕ 4.13. хВЕДЙФЕУШ,V , ФБЛПКДЧПКУФЧЕООПНЮФ НБФТЙw VÁ Ge'(w) = (v'; w).

 ÚÉÓ

e

ÓÔ×Á V

É

ЕНХ ВБЪЙУe ПВТБЦe

ОЙСУФТБОУФЧБg ТПЙЪЧПМШ Н

(ÒÉЕЫЕОЙЕÅÊ(4-зТБНБ22) ПТФУСÕ GÒПЗПОБМШОПe.. 4.6) ОЕНЕДП ПМОЕОЙЕ U

ÒÏ

V

ÓÏ× Á-

рТЙНЕТÄЙЪПНПТЖЙЪНЕÓ4.ÍÁÔ9

V ÉÚ

ПТЖОПдЧПКУФЧЕООЩКХФЧЕТЦДЕОЙСВТБЦБЕ

ОБ БООХМСФПТ Ann U

U

ЕЛБАФПД ТПДУФТБОУФЧХТ

ÏÍÕ.25.1.ОБЧУ УФТVЧЕЛФ.42П УЧПКУФЧДЙОБВБЪЙУХОЩЕООХМСФПТПЧТ.e4ЖХОЛ.=.13уПЗМБУОП(e1;ЙПОБМЩe2;.ДМ: : ЕООП: ;ТeneДЩДХЭЕНХ,)ЧЩФV ЬФПЗДМСЙЪХМАВПЗУФБОПЧМУФТБОУФЧБВБЪЙУБЕООЩИЧ.

ФТПЬФПТУФТБОУФЧБ4.

ДЧПКУФЧЕООЩК ВБЪЙУ Ч V

1; e2; : : : ; e

V , УПУФБЧМСАЭЙЕ

n

ÎÅË

ПТЩНЙ

ПТБНЙ,eФБЛЦЕ ТЕДУФБЧМСА УС УЛБМСТОЩНЙ Т ЙЪЧЕДЕОЙСНЙ

ÉÚ

ОПЫЕОЙК

1 ; e2 ; : : : ; e

ПФПТЩЕ ПДОПЪОБЮОП Ï Т ДЕМСАФУС

(e

n V ,

i ; ej) =

0

i 6 j :;

( 1;

(4-23)

ÒÉ

=

В ДЕФ ВБЪЙУ ЙЪ ЧЕЛФ

{ei}

ðÏ Õ Ò. 4.13,ÏÌ Ù

{ei=(ЧЕЛФПТПЧei; ei)}. ДЧПКУФЧЕООПЗ В ЪЙУБ e

ei ÓÕÔØ ÓÔ

НБФТЙ Щ G

i Ч ЙУИПДОПН

ЙУИПДОПЗП ВБЪЙУБ:

−e1e1;e2;:::;en,

ВТБФОПК Л НÁФТЙ Е зТБНБ Ge1;e2;:::;en

х ТБЦОЕОЙЕ 4.14. рТПЧЕТШФЕ ЬФП, Й= eПЛБЦЙФG−e 1 : Е, ЮФПТБe

(4-24)

лПЬЖЖЙ ЙЕОФЩ ТБЪМПЦЕ ЙС

ПМШОПЗ

iv = ei.

e1; e2; : : : ; en УХФШ УЛБМСТÎЩЕ ТПЙЪЧЕv = ДЕОЙС У ×ÅËÔ

НЙ ДЧПКУФЧЕООПЗV П МАВПНХВБЪЙУБ:ВБЪЙУХ

ЛБЦДПЗ(ЮФ ВЩ ХВЕДЙФШУС(ЧЩЮЙУМЬФПН,

i

ei

X

·

ДПУФБФПЮОП УЛБМСТОП(v; ei ) ХНОПЦЙФШ ПВЕ ЮБУФЙ ОБ e(4-25)

-

ПТФПЗПОБМШОПКДБООПЗНЪБЙÉПДНЩИЬФЙИЧЕЛФПТБТПУФТБОУФЧЕЧЕЛФПТПЧvПТПЧОБÒ МЙОЕКОХАuÅËУМ1U;uДХАЭЙНВБЪЙУÉÉ)2; : : : ; uПВmПМНПЦОПВТБЪПНПЮЛХU.ЧЩЮЙiуОБДМСТП

ЮБМБЙЪЧПМШОПУМЙФШпТрТЙНЕТОЕПОБМШОХАПЖПТНХМi4ЪБДБООЩИ)ТЙВ.10ЕЗБС(4ТПЕЛЛ-МЙОЕКОП24)ПТФПЗЙАÅÎÉÅПУФТПОБМuvОЕЪБЧЙУ

ЗПОБМШОБСЕЧЛМЙДПЧПuv =ДЧТПmКУФЧЕООЕЛЙС(uÙ1 ;ТБЦБЕФУСКuЪБДБООПНХ2 ; : : : ; u ЮЕТЕЪВБЪЙУХЬФПФuВБЪЙУ1; u2; : : :П; uЖПТНХМGnu−. 1 ;Е ЕТШ ЙУЛПНБС ПТФП-

m) = (u1; u2; : : : ; um) ·

i=1 u

·

·

·

· · ·

·

X

(ui; v) = u

(u1; v) + u

+ u

ДМСч УБНПНЧУЕИ ДЕМЕ,.оП УЛБМСТОПФПЗДБi (u;ХНОПЦБСuv) =1(u;(uvПВЕ); uДМСvЮБУФЙ)=ЧУЕИ(2u ОБ;(uvu)u2; v,)НЩ+

ЪБЛМАЮБЕН,m (uЮФПm; v) :

7.X.2011. жБЛХМШФЕФ нБФЕНБФЙЛЙ чыь. зЕПНЕФТЙС. 1-К ЛХТУ. нПДХМШ I.

Листок 4

Г4 2. Найдите а) объём

б) площадь поверхности

сечения 4-мерного куба 0

6 xi 6 1 ги-

перплоскостью x1 + 2x2 + 3x3 + 4x4 = 1.

Г4 3 (кокуб).

Выпуклая оболочка1 центров граней стандартного куба

In называется стан-

n

n

дартным кокубом

C

.

а) Задайте C

системой линейных неравенств.

Нарисуйте б) 2-

мерную параллельную проекцию 4-мерного кокуба

в) развертку его 3-мерной поверхности с

указаниями по склейке.

Найдите г) количество граней каждой размерности

д) радиусы

вписанного и описанного шаров и их пределы при n

→ ∞

.

*

куб

ó4, все вершины которого лежат на описанной вокруг I4 сфере. Выпуклая оболочка

Г4 4

(октаплекс).

Нарисуем в R4 стандартный куб I4

и гомотетичный стандартному ко-

го

e) количество граней каждой размерности

) длины рёбер и радиус вписанного шара.

объединения вершин куба I4 и кокуба ó4 называется октаплексом O4. Подсчитайте у не-

Выясните, как выглядят

) 3-мерные

e

а

б

в

гиперграни и каковы их объёмы

г) 2-мерные грани

и каковы их площади. д) Найдите 4-мерный объём октаплекса.

1

P

(x)dx

Z−1

2

*

Г4 8. Найдите минимум

по всем многочленам P степени k со старшим коэффици-

ентом 1 для а) k = 2

б) k = 3 в ) любого k.

соответственно

а) для n = 1 (m любое)

б) для n = m = 2

в) для любых n и m ?

*

образуем симметричную k k матрицу Dp

;p

;:::;p

= ( pipj 2) и

Г4

10 . Для k точек p1; p2; : : : ; pk

c

×

1

2

k

| |

обозначим через Cp1;p2;:::;pk матрицу размера (k+1)×(k+1), получающуюся приписыванием к D

единичной строки сверху, единичного столбца слева и нуля в левом верхнем углу. Покажите,

что

а

) ` (p0p1;

p

p

;

;

p0pn) =

(−1)n+1

det C

(внимание: размер у матриц разный!)

0

2

n

p0;p1;:::;p

−→

−→

· · ·

−→

2

n

б) (n + 1) точек p0; p1; : : : ; pn лежат в гиперплоскости det Cp0;p1;:::;pn = 0

в) (n+2) точек p0; p1; : : : ; pn+1 лежат на сфере или в гиперплоскости det Dp0;p1;:::;pn+1 = 0

г) квадрат радиуса описанного шара симплекса [ p

; p

; : : : ; p

] равен

1 det Dp0;p1;:::;pn .

0

1

n

−2

det Cp0;p1;:::;pn

д) симплекс [p0; p1; : : : ; pn] с предписанными длинами сторон dij = |pipj | существует тогда

и только тогда, когда все главные миноры 5 всех порядков 2

6

r

6

(n + 1) в матрице

2

отличны от нуля и имеют знаки (−1)r−1

D = dij

1

т. е.

множество всех барицентрических комбинаций с неотрицательными весами

2т. е. с нулевым следом

3матрица (c

ij

) называется симметричной (соотв. кососимметричной), если

c

ij

= c

ji

(соотв. c

ij

=

−

cji)

4

таких (cij ), у которых cij

= 0 при i > j

П)ПВТБЪЩВБЪЙУБ5МЙОЕКОП.u1= (euF1=;ОЕЪБЧЙУЙНЩИu1(2)e;;1:;F:e:(2;ОЕЪБЧЙУЙНПe;u2:v)n:;:);:e:Vn: )ОБВПТПЧ; ЧFwV(ev=n)МЙОЕКОП)=(wЧЧЕЛФПТПЧ01ЛФ; w=2ТПЧ;0ОЕЪБЧЙУЙНЩ: :;: ;ЛБЛПЗПwn) -ОЙВХДШ. (Б ЪОБ-

äÌÑрТЕДМЮЙФ,ЙМЙ ФМАВЩИЙПНХ,ЦЕОЙЕЮФПЗДЧХИ

{ |

}

n-ÍÅÒ Ç

ПТОПЗП Т УФТБОУФЧБ V

УФЧХЕФ ЕДЙОУФЧЕООП

ÂÉ-

ÎÏ

ВБЪЙУБНЙЧЕЛФПВТБЦЕОЙЕЧЕЛФПТ. йЪ.йУЛПНПМЙОЕКОПКvF= x1GL(u1МЙОЕКОПV ),2uФБЛ2 +УХЭЕФПВТБЦЕОЙЕЮФПУФЙFОБВПТ(ui) =ПЧwВСЪБОПiЧЩФЕЛБЕФ,ТЙ ЧУДЕКУФЧПЧБФШИМЙОЕКОПiЮФ. ВБ ПÎÉÁ

СЧМСАФУСЕЛФЙЧдПЛБЪБФЕМШУФЧПТПЙЪЧПМШОЩК

F (x1u1 + x2u2 +

· · · + xnun П ТБЧЙМХ

+

xFnuПn)ТЕДЕМ= x1w£ООПЕ1 + x2wП2ЬФПНХ+ · · · +ТБЧЙМХ,xnwn : ПЮЕЧЙДОП,

МЙОЕКОу ДТХЗÏКЙУФПТПОЩ,ВЙЕЛФЙЧОÏВТБФЙНЩИ.ПВТБЦЕОЙЕ· · ·

M.4 ÎÁ ÓÔÒ. 63n(

)

M−1 87

n(

) : MM

−1 = M−1M = E :

(5-1)

П(НВТБЪХАФУФПМВФУСЗТХПЕЗТХТЕЛППКДЕМЙФПТПВТБФЙНЩИХПКЕМЕНФОПУЙФУФПСФОБЪЩЧБАФУСЕМШОПЛНБФТЙПТДЙОБФЩПЕТБОЕЧЩТПЦДЕООЩНЙЙЙЧЕЛФПТБВПЪОБЮБЕФУСХНОПЦЕОЙСF (;ej) ЧНБФТЙЙМЙВБЪЙУЕПВТБФЙНЩНЙ. eьФБ.нБФТЙЗТХ Щ1Б.

пУОБЪЩЧБЕGLj-ЕОХМЕЧЩНn

k) = {

×

k | det M 6= 0} =

1ÓÍ. ÒÅÄÌ.{3

Matn×

k |

Matn×

k

}

det(F ) def= ! F (v1); F (v2); : : : ; F (vn)

V ФОПЫЕОЙЕ

!(v1; v2; : : : ; vn)

= det Fvv

!

ÎÅЪБЧЙУЙНЩИЪБЧЙУЙФМЙОЕКОПЗОЙЧЕЛФЧЩВТВТБЦЕОЙСЧvОЕОХМЕЧПК1; v2; : : : ; vnЖПТНЩ ПВЯ£НБ

ÎÁ V , É ÏÔ kЧЩВПТБ;

МЙОЕКОП(5-2)

ФЕМСЧЩВПТБУФЧЙЕТПФЕМЕНйОБЮЕ5Õ.1Í1ОПЦБЕФУС.УХФШП3.БТБЕТБФуПЧПТС,МЙОЕКОЩЕЕПТБЕМЕЙБМШОБВЯÏFÉÔ£Ï(ЬФЕДБ,ДЕМПФПН ÑÏÒМЙОЕКОБЮЙУВТБЦЕОЙС,ТЙЕОФЙТУХУМПШЕFМЙОЕКОПЗПЧЙЙ,ЙБМШОПК.ЪБЧЙУЙФБООПЗПÇÒÕVИТБОСАЭЙЕÁÒ.ÏüÔÁnÏ.ММЕМЕОЙВТБЦЕОЙС-НЕТОПЗмЙОЛПОУФБОФБВТБЦЕОЙСФЙЧЩВКОЩЕППЕДЗТХВЯПТБЙБТБММЕМ£НЩУФБЧМСАФ|ЕЕОБЪЩЧБЕЖПКВТБЦЕОЙСПТНЩЧУЬФОЕОХМИЮЙУМП,ЙПТЙЕУФТБОУФЧБПВЯФУСЕЧПКЕДБ£ПНБ,ФЙТПЧБООБТЕДЕМЙПДВЯОЙЛДЕКФФ£Н)-

-.

ОЩИ n-НЕТОЩИ БТ ММЕМЕ Й ЕДПЧ. БЛЙЕ

Ô

Ó

ÒÏ

GL(V ) ÏÄ

ÇÒÕ Õ, ËÏ ÏÒÁÑ

ЪЩЧБЕФУС

def

МЙОЕКОПК

V É

ПВПЪОБЮБЕФУС