gorod-geom1
.pdfA ОБ УФПМВ Щ B : Ч ПЪЙ ЙЙ (i; j) ЬФПК ФБВМЙ Щ УФПЙФ ТПЙЪЧЕДЕОЙЕ i-ФПК |
|
||||
|
|||||
УФТПЛЙ A ОБ j-ФЩК УФПМВЕ B |
|
|
|
|
|
pij = (ai1; ai2; : : : ; ain) · b21j : |
|
|
|
||
|
ТПЙЪЧЕДЕОЙСЛБЛ ABЧЕЛФУФПТЩПЙФЛПМЙОЕК |
ÏÇÏ |
|
||
ВЙОБчФПТПЕТПУФТБОУФЧБЙСПnЙУБОЙЕПМВ ПЧФБЛПЧП:НБФТЙЧ jЩ-ФПНA (ТБУУНБУФПМВЕ |
ТЙЧБЕНЩИ |
|
ТДЙОБФОНБФТЙСЛ |
|
|
bnj. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ù B. åÓÌÉ, Ë kkТЙНЕТХ,),ЪСФЩИЧ УНБФТЙЛПЬЖЖЙA =Е ЙЕОÔБНЙ, УФПСЭЙНЙ j- ПН УФПМВ Е |
- |
||||
ИПЮЕФУСФЧЙУФЧЕООП,ЮЕОПНЕТБ,£ТФЙКФЩКОБПУФЬФУФЙУБФШПМВДПУФЙЗЩОБЕЧНЕУФ,ЪБНЕОЙФШТ, ЧОЩКФУСПЧФПТПЗПУМХНОПЦЕОЙЕНУХННЕЮЕЗПОБЙИУФПМВДПВБЧЙФШaУХННЩУФПМВ112 aБA12УХННХПЧУПaЛТБЧБ132НБФТЙЧФПМХЮЕООПКЕТЧПЗОБЩН,ЩНБФТЙХНОПAЙ, ХНОПЦЕООЩИНБФТЙЦЕООЩН,ХФШЕЗП,Е ЕЭБУППФ£ ЕТОБ(3ПДЙО,×-15)ЕФЩКЙИ-
1 0 1
ПНПЭЙТЕФШЕхх ТБЦОЕОЙЕТБЦОЕОЙЕПФБЛПЗЙУБОЙЕОБВМАДЕО33..89Ò..ПЙЪЧЕрТПЧЕТШФхЧЪБЙНПДЕКУФЧХЕДЕОЙСÑ: УШ,ЬФДЧПКУФЧЕООПЮФ0ТСНЩНП01ÅÒÁ1 ЧЩЮЙУМЙС2ЧФПТПНХ3 ФТБЕОЙЕНУПОЙТПЧБОЙСПМХЮБЕЕТЧПНХÔÓÑC ÓÉÚПУПВХÎÅÇÏ. ÒÉ
|
|
|
m |
ПК. 3ЙУБФШУФТПЛЕ.1 ОБЧ ЬФПНУФТЧФПТЩННБФТ.ПСЭЙНЙ54)ПЛБЛУБОЙЙУЧЕЛФЩПABПВПНПТЩУМПЧП(УФABПЙФЛУФП)ПТДЙОБФОПЗПt€УФПМВЕ=МЙОЕКОБФВBУ tЩХНОПAt :ТПЙЪЧЕДЕОЙС•ЦЕОЙЕНСОБЛПНВЙОБУМПЧПТУФТБОУФЧБНБФТЙ€УФТПЛЙСBtnAtПУФТ•,=ТБЧЙМХФПЛ(ABНБФТЙCПМХЮЙН,)tt (УТЪБ. ЩУ- |
|||
BЮФПЬЖЖЕН(ТБУеУМЙЧЪБНЕОЙФШiУНБФТЙЧБЕНЩИ-ÄÌ |
|
7→ |
|
ЦЕЛ НБФТЙЙЙЕОФБНЙ,Е |
ÓÔ |
Ai=-ФПК УФТПЛ |
НБФТЙ Щ A. оБ ТЙНЕТ,k ),ЕУМЙЧЪСФЩИПКУ |
|
|
a211НЕУФПaÎÁ12 aЕТЧПК,213Ф ЬФПБДПЧНЕУФЙЗБЕПЧФПТПКФУСХНОПЦЕОЙЕНОБЙУБФШ |
|
УМЕЧБЕИПЮЕФУСУХННХОБ£ НБФТЙПУФБЧЙФШУЕТЧПКХ УФТПЛПК,ЧФПТХАУФТПЛХХНОПЦЕООПКОБ |
|
||
0 1
х ТБЦОЕОЙЕ(AB3)C.10=. AхВЕДЙФЕУШ,)(BC) |
ЮФП ХНОПЦЕОЙЕ§ НБФТЙ БУУП ЙБФЙЧОП, Ф. Е. |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
A |
|
|
Matm |
|
|
Matk |
|
|
Mat` |
|
||||
|
|
УПНОПЦЙФЕМЕК,+2A12AB22+) =1 2Ak ;1ÔBB. Å2.+ 1 2B`1;AC2 + 1 2Bn1B2 |
||||||||||||||||
Й МЙОЕКОПСМАВЩИ(1A1AÏ+1ЛБЦДПНХ; A12B1 =2AÉÚ12 |
|
|
|
|
|
|
× |
|
|
× |
|
|
|
|
× |
|||
НБФТЙkdet( BA)Й=Bdet(ПДЙОБЛПЧПЗПA) m É 1; ТБЪНЕТБ2; 1; 2 |
|
k. |
||||||||||||||||
äÌÑрТЕДММАВЩИПЦЕОЙЕЛЧБДТБФОЩИ3.3 Mat |
×n ; B1; B2 |
Matn× |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
дПЛБЪБФЕМШУФЧПч ЮБУФОПУФЙ, det(.ABрХУФШ)= det(A; BBA). |
|
|
|
|
· det(B) |
|
|
|
|
|
(3-16) |
|||||||
åÓÌÉ ÏÌÂ Ù v1; v2; : : : |
|
vn Matn(k). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
МЙОЕКОПЮЛЙМВ,ПОЙПЧ(3НЕОШЫЕ-НБФТЙОЕЪБЧЙУЙНЩ,16)ПЦЕk ОХМЕЧЩЕНБФТЙМЙОЕКОПn.ЩрПУЛПМШЛХA,.ЩТБЪНЕТОПУФШФПЪБЧЙУЙНЩAПОЙМЙОЕКОПУФПМВПВТПТ. ЙИЪЪБЧЙУЙНЩ,ЩБЛЙНЙПОБМШОЩНБФТЙМЙОЕКОПКФЧВТБЪЩФПН,ABВТБЪНЕТПМЧ ЕЦБФЬФПНПЮЛЙ- |
||||||||||||||||||
УМХЮБЕОПМЙОЕКОПКЦЕУФШеУМЙНЕОШЫЕЙИВЧЕЛФПТЩМЙОЕКОЮБУФЙn, ЙКЮЛТБЧЕОУФЧБЪОБЮvПВПМi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kn ВБЪЙУ. ъБ |
||
ДЙН ОБ ВБЪЙУОПЗТ УФТБОУФЧЕ |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ÄÁУ!vЛПЬЖЖЙ(ТФОПЗПv1; v2; : :ЙЕОФПН: ; vn) = 1ПТ.!ПрПv БТБММЕМЕПТ=ФЕ!kЙПОБМШОПe(v.ДЧЕ13; v.1Й2;ЖПТНЩЬФЙ:ЕДБ:УФЙ: ;ДЧЕv!ndet)(ПЖПТНЩВЯ1A;e£2НБ:; :!Т; en, )ФБЛ= ÕÀ1, ЮФП!v,ПВЯДТХЗФБЛХАДТХЗХУФБОЮФП£Н - |
||||||||||||||||||
пВПЪОБЮЙН ЮЕТЕЪ w1; w2; : : : ; wn |
|
|
|
n |
|
· !e = det(A) · !e : |
|
|
|
(3-17) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v1; v2; : : : ; vn СЧМСАФУС(wУФПМВ1; w2;БНЙ: : : ; wНБФТЙnk) =ЧЕЛФПТЩ,det(vЩ1; vB2.; :йОЩНЙ: :ЛППТДЙОБФЩ; vn) УМПЧБНЙ,ЛПФПТЩИХУФШ Ч ВБЪЙУЕ |
||||||||||||||||||
ÏÇÄÁ Ï ÔÅÏÒ. 3.1 !v(!we1(;ww2;w:2:;::;:w:n;)w=n) = det(B),AÉ) × ÓÉÌÕ· B(3: -17) |
|
|
||||||||||||||||
у ДТХЗПК УФПТПОЩ, Ф. Л. (v1; v2; : : : ; vn) = ( 1; |
2; : :·:det(; n)B) : |
|
|
|
|
(3-18) |
||||||||||||
(w1; w2; : : : ; n) det(=v1; v2; : : : ; vn) |
|
|
· A, |
|
|
|
|
|
||||||||||
w1; w2; : :AB:;w)n=) =det(det(A)AB=). (уТБЧОЙЧБС1; 2; : : : ; enЬФП)ABУ (3-18), ПМХ- |
||||||||||||||||||
ЮБЕНПФЛХДБФТЕВПХЕНПФПТЕ. ТБЧЕОУФЧП3.1!e( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
· |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· det(B) . |
|
|
|
|
|
||
3.4.2. пВТБФЙНЩЕ НБФТЙ Щ. |
|
ДЧБ ОБВПТБ ЧЕЛФПТПЧ |
||||||
u |
; u |
; : : : ; u |
n |
w |
; w |
; : : : ; w |
m |
|
1 |
2 |
|
1 |
|
2 |
|
||
ПВБ СЧМСАФУС ВБЪЙУБНЙ n-НЕТОПЗ |
|
ЧЕЛФПТОПЗ |
|
ТПУФТБОУФЧБ V , ФП НБФТЙ Щ |
||||
ЗДЕЕТЕИПДБ Cuw Й Cwu ХДПЧМЕE = CФЧПТСАФuu = CеУМЙww ПП=ФОПЫЕОЙСН Cuw · Cwu = Cwu · Cuw = E ,
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
.10 |
:.: : |
. |
|
|
|
|
|
Ъ( ПЧБЕФУСДЙБЗПОБМЙЕДЙОЙЮОТБЧЕОУФЧБ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.ДМС:НЕУФБИ:..:МАВПК0.. |10НБФТЙОХМЙ)Щ. нБФТЙM |
Á E ÎÁ- |
||||||
|
ÏСФК НБФТДЙОÉЕКЩ,, Ч ПУЛПМШЛХПУФБМШОЩИ |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Ä×Ån |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Matn |
|
|
|||
Ù лЧБДТБФОБПМОСАУСФУСНБФТЙ БMatE = EMat = M. |
|
|
|
×n( |
k) |
|||||||||||
УФЧХЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ф НБФТЙ Б M |
|
|
|
|
|
n×n(k) ОБЪЩЧБЕФУС ПВТБФЙНПК, ЕУМЙ УХЭЕ- |
||||||||||
M |
−1 |
|
|
n(k) , ФБЛБС ЮФП MM−1 = M−1M = E . нБФТЙ Б |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Ï−M1 ОБЪЩЧБЕ:УМЙM Ч ЬФПН УМХЮБЕ ПВТБФОПК Л M. пОБ ПДОПЪОБЮОП П ТЕДЕМСЕФУС |
||||||||||||||||
|
M1−1 É M2−1 | |
|
|
ФБЛЙЕ НБФТЙ Щ, ФП |
|
|
|
|
|
|||||||
нБФТЙрТЕДМПЦЕОЙЕБ M ПВТБФЙНБ1−31.4= M,−ЕУМЙEЙ=ФПМШЛПM− |
ÅÓÌÉMdet− M |
M2−1 = M2−1 : |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 1 · |
|
|
1 1 · M · |
|
2 1 = E · |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
M |
|
|
|
|
6= 0, Й Ч ЬФПН УМХЮБЕ |
|
|
||||
ЗДЕ ТЙУПЕДЙО£ООБС НБФТЙ Б M−1 = det M · M ; |
|
|
|
|
|
|||||||||||
дПЛБЪБФЕМШУФЧПТБЧОП ЧЪСФПНХ ФУС ЪОБЛПН ( |
|
ЙНЕЕФДЕМЙФЧi- ПК УФТПЛЕ Й j-ФПН УФПМВ Е ЮЙУМП, |
||||||||||||||
ÏÒÁ |
ПМХЮБЕ det. еУМЙMЙЪ НБФТЙНБФТЙ−1)ÙÁiM+j |
ХДБМЕОЙЕНПВТБФЙНБ,ТЕЕМАjФП- ПК(ПnУФТПЛЙ−ТЕДМ1).Ч3Й.(3ni-ФПЗ− 1)-УФПМВНБФТЙ БЩ0. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
|
ТДЙОБФОПЗВПТ Ф,ВТБФОЩИЕУМЙdetНБФТЙM ПВТБФОЩ=ДТХЗdet EДТХЗХ=1:Й, УФБМП ВЩФШ,НБФТЙП |
|||||||||||||||
МЙЮОЩрПЬФВТБЪХАФПНХПОХМСДПЛБЪЩЧБЕТДЕМЙФЕМЙ.оБП |
· |
det M−1 = det |
M · |
M−1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ВБЪЙУ |
|
|
|
П ТПУФТБОУФЧБ=6 0, П УФПМВ Щ НБФТЙ Щ M П ТЕДМ. 3.2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
ÏДБ Ф УФБОДБТВТБФОПКЕТЧПЕ ХФЧЕТЦДЕОЙЕВБЪЙУБНБФТЙЛЩВБЪЙУХП.ПЪОБЮЙНkЙЪ, УФПМВЙЛБЛЮЕТЕЪНЩПЧ НБФТЙЧЙДЕМЙm1; m2;ЧЩЫЕ,Щ: :M:;mПВТБФОБn |
|||||||||||||||
ЛБMдМСЕТЕИ.ьФЧЩЮЙУМЕОЙС |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
MУФПМВ Щ НБФТЙ Щ M, |
ЮЕТЕЪ x1; x2; : : : ; xn | ЬМЕНЕОФЩ j- ПЗП УФПМВ Б НБФТЙ kЩ |
|||||||||||||||
−0 1ВТБФЙФЕ, ФБЛ ЮФПЧОЙНБОЙЕ,x1m1 +ЮФПx2mi2Й+j · ·ПДЧЕТЗМЙУШ· + xnmn =ФТБОУej ЕУФШПЪЙ jЙЙ-ФЩК УÔБОДБТФОЩК ВБЪЙУОЩК
ЕЛФ Т ЛППТДЙОБФОПЗПН Т УФТБОУФЧБ |
n |
§ |
|
|
|
|
|
× i- ÏК УФТПЛЕ j- |
ÓÔÏМВ Е НБФТЙk Щ. рПM ТБЧЙМХ лТБНЕТБ ЮЙУМП xi, УФПСЭЕЕ |
||
|
det (m1; : : : ; mi |
|
−1 ТБЧОП |
чОЕОХМЕЧПКЮЙУМЙФЕМЕЬМЕНЕОУФПЙФ |П ТЕДЕМЙФЕМШЕДЙОХ,УФПСЭХАНБФТЙdet(−1; MeЧЩ,jj;)-ЙНЕАЭmУФБЧМСЕНПКi+1УФТПЛ; : :К: ;Чm.i-дЕМБСnФПН): УФiПМВФТБОУЕ ПЧОППЪЙПД О
УФПМВ ПЧ Й j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
ÉÊ |
|||
det (m1; : : :−; m1 i ÒÁÎÓ ÏÚÉ ЙК УФТПЛ, ЕТЕ |
|
|
|
|
|
|
Å£ Ч ЧЕТИОЙК ЕЧЩК ХЗПМ: |
||||||||||||||
|
|
|
=−(1; ej; mi+1; : : : ; mn) = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
= ( |
−1)i−1det (ej; m1; : : : ; mi−1; mi+1; : : : ; mn) = |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
m1j;12 |
·· ·· ·· |
|
|
j − |
|
|
j |
|
·· ·· ·· |
j |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m1;i−1 |
|
m1;i+1 |
|
m1;n |
||||||||
|
|
|
1)i+j−2det |
|
mj−+1;2 · · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
||||
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
− − |
|
− |
|
− |
|
|||||||
|
|
|
|
|
0. |
m.n;1 |
. |
mj+.1;i |
|
|
|
. |
|
. |
mj+. 1;n |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
−1 mj+1;i+1 |
· · · |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
НБФТЙЮОЩИЛЙ,оЕОХМЕЧПКЛППТЩЕЧЛМБДЬМЕНЕОФПЧП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
mn;i |
|
|
1 |
|
mn;i+1 |
|
· · · |
mn;n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
ДЕМЬФПКÉФЕМАУХННБНБФТЙ(n УППФЧЕЩДБАФФУФЧХАЭЙИПМШЛПНБФТЙЕТПЙЪЧЕЕТЩ,УФБОПЧДЕОЙК |
||||||||||||||
|
|
|
УФБЧМСАФП ТЕДЕМЙФЕМШТБЧОБ1ОБПЙУБООПКНЕУФТЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
УФПМВАЭЕКУСБ,ЧЩЛЙДЩЧБОЙЕН. . ХДБМЕОЙЕНЙЪj-Ф |
|
УФТПЛЙ ЙЧЩЫЕiДЕМЙФПЗПНБФТЙ−УФПМВ1)×ЩБ(nЕТЧПК−НБФТЙ1)- УФТПЛЙЕ M. ЕТЧПЗПМХЮБП |
|||||||||||||||||||
пВТБФОБСрТЙНЕТ 3НБФТЙ.3 Á 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
× 2-НБФТЙ Е П ТЕ |
|
ЕМС 1 ОБИПДЙФУС П ЖПТНХМЕ |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(Ч ПВЭЕН УМХЮБЕ ЧУЕ НБФТЙЮОЩЕa dbЬМЕНЕОФЩ1 = dУ ТБЧБ ОБДП ПДЕМЙФШ ОБ ad |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пВТБФОБС НБФТЙ Б Л 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− b ). |
|||||
|
|
|
|
× 3-НБФТЙA = Е |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
П ТЕДЕМЙФЕМСA |
det A = 1 ОБИПДЙФУС |
a312 a213 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
aП3211ЖПТНХМЕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Б Ч ПВЭЕН |
|
−(a |
a332 − |
3 |
|
− 2 |
3 − |
|
3 1 |
|
|
|
−ÎÁ det A3 |
.− |
3 |
|
|
||||
|
|
|
|
− |
|
2 |
− |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
− |
|
21 |
|
||
−1 = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
УМХЮБЕ ЧУЕ21 Е£ ЬМЕНЕОФЩ ОБДП ЕЭ£ ПДЕМЙФШ |
(a11a22 − a12a ) |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
− a22a31) −(a11a32 − a12a32) |
|
|
||||||||||||||||
рТЙНЕТх ЙЪЧЕДЕОЙЕТБЦОЕОЙЕ3.4 (ÂÁÒÉПВТБФОПК3.11.ЕОФТЙЮЕрТПЧЕНБФ ЙШФÓËÉÅЩ ОБТСНЩНЙУИ ДОХАЕТЕНОПЦЕОЙЕН,ЧОП EËÁË. ÞÔÏÏÂß×£ÏÍÙ)ПЙИ УМХЮБСИ Т -
ОЙВХДШчЮЕЛÓÔХУМТБОУФЧПpA0ПЧЙСИ;np1;ЮЛЕ:ЛБЮЕУФЧЕA:n:n◦;+1pq2n.6Й,.3ОЕЪБЖЙЛУЙТХЕНТБУУНПФТЙНБЖЖЙООПКМЕЦБЭЙИОЙЗЙЧЧ БЖЖЧAЕТnËÁË+1ЙООПНÌËПТДЙОБФЩУЛКПТДЙОБФОЩКЗЙУФЙЕТЧУФТБОУФЧЕМ(nУЛПУФЙ,+ 1)ТЕ-НЕТОПЕТAПНЕnУ ОБВПТОБЮБМПНУФЙНБЖЖЙЪЙООПТnЧ +1ЛБЛУФТБОЕТÏÊ-
e06=An Й ВБЪЙУОЩНЙ ЧЕЛФПТБНЙ
ПЗДБ ЛППТДЙОБФЩ→−qp(x00;; x1e;1: =: : ;−→qpxТБЧЙМХ1n); eПЙЪЧПМШОПК2 = →−qp2 ; : :ФПЮЛЙ: ; ena= −→qpn :
ЬФПЗП ТЕ ЕТБ НПЦОПxi =ЙУЛБФШ! ( П |
|
лТБНЕТБ: |
An ПФОПУЙФЕМШОП |
||||
|
|
→−qp0; : : : !;→−q(api |
−→qa; −→qpi+1; : : : ; →−qpn) |
||||
|
|
|
−1; |
|
|
|
|
рПДУФБЧМСС ЧЮЙУМЙФЕМШ |
|
−→q 0; : : : ; →−qpn) |
|
; |
|||
ОЕКОПТВТБЪХЕНУФШАПВЯ£НБ |
|
→−qp = →−qa + −→ |
ДМС ЛБЦДПЗМЙОЕКОП |
|
|||
ЕМШ!ФЕН,(Л ЧЙДХЮФП ПО ЪБОХМСЕФУС ОБ |
6= iЪБЧЙУЙНЩИПМШЪХСУШЧЕЛФПТБИ,ПМЙМЙ- |
||||||
бОБМПЗЙЮОП, ПДУФБЧМСС−→ap0Ч; ЪОБНЕОБФЕМШ: : : ; −→api →−qa; ap−→i+1; : : : ; −→apn) : |
|||||||
|
|
|
−1; |
|
|
|
|
ТЕПВТБЪХЕН ЕЗ Л !ЧЙДХ( |
|
−→q |
= −→qpi + −→ip ДМС ЛБЦДПЗП 6= i, |
||||
рПУЛПМШЛХ ЧЕЛФПТЩ |
−→pip0; : : : ; −→pipi |
−→qpi; −→ipi+1; : : : ; −→ipn) : |
|||||
|
|
−1; |
|
|
|
|
|
ЙА ЧЕЛФПТПЧ |
−→qpi É →−qaЪОБНЕОБФПМЙЮБАФУС ДТХЗ ПФ ДТХЗБ ОБ МЙОЕКОХА ЛПНВЙОБ- |
||||||
−→pip Ó! ( 6= i, |
ЕМШ ТБЧЕО |
|
|
||||
БЛЙН ПВТБЪПН, xi = −→p!ip0(; : : : ; −→pipi |
→−qa; −→pipi+1; : : : ; −→pipn) : |
||||||
|
|
|
−1; |
|
|
|
|
|
! ( −→ap0; : : : ; −→ap |
−→ |
−→api+1; : : : ; −→apn) |
||||
|
|
|
− |
qa;; pi |
ipi+1ПВЯ; : :£:НПЧ; ipДЧХИn) ; (n + 1)-НЕТОЩИ |
||
зЕПНЕФТЙЮЕУЛЙЙТБНЙДУПВЭЕК[ЬФp0ЧЕТЫЙОПК; p1;ФОПЫЕОЙЕ: : :−p;→ipn0q; :Й:ЙТБЧОПУОПЧБОЙСНЙ: ; [−pp→i0;i :ФОПЫЕОЙА: : −→ −→ |
−→ |
||||||
−1;
МЕЦБЭЙНЙЮФЧПЦЙДБФШ, ПДОПКФБЛЕЙПФОПЫЕОФПКЦЕЗÉ ЕТ МТБЧОПУЛПФОПЫЕОЙАУФЙA−1n;, a;ОЕnp-iТП+1НЕТОЩИПДСЭЕК; : : : ; pnВЯЮЕТЕЪ;£НПЧ qПУОПЧБОЙК. и ЮЕФУС
дПЛБЪЬФЙИВТБЪЙТБНчЩВЕТЕНПТБСПЧБООЩКЙФДЩТБНЙДЕМШУФЧП,ХДБООЩИТП. чЧЕЛФ(ПТnЕЧЛМЙДПЧПНТБВ+ДЧХИЙПТНЕТОПЗ1)ФБАЭЕЕТОПНЙТБНЙДЕОu0 Т=ОБДТПЙЪЧЕУФТБОУФЧЕТПДЙОБЛПЧБПТОПЗМАВЩНУФТБОУФЧЕ,ДЕОЙА ПМЬФП(НЩВЯЕН,§£БУУУТБЪХНБЧЩЗМСДЙФПЛБЦЕНП УОПЧБОЙСЙЙТУМ ДХЕФПЧБООПНЬФУМЕДХАЭЙНЙЪОБФПЗП,ТЙНДМЙОХA.nЮФП4+1.ПВТБЪПН8ЧЩУПФЩ,, ОЙЦЕ)ВБЪЙУ,ПВЯ£Н.
ВЩМAЧМСАЭЙНЙТЕДМn!. (ъБДБДЙНТ.ЧЕО3.4ВБЪЙУПЛБЪЩЧБЕДЙОЙЖПТНХnЕ.- Ф,(nЮФПДБ+ ФПЮОП1)-ЧЕЛФНЕТОПЗ−→qaФБЛ,Й ЕМАВЩНЙПВЯПЦЕ£ТПУФТЧЩЮЙУМЕОЙЕ,НБ ФБЛ,ЧЕЛФОУФЧБПТБНЙЮФВЩЛБЛV , uБУУППВЯЙ1; uЧ£2НДПЛБЪБФ;ЙЙТ: :ЬФ: ;ПЗuЧБООn,ЕМШУФЧЕВБЪЙУБÏЗПУФБ-
−→ap0; : : : ; −→api =−→qa;det−→ap( i+1 |
|
−→n) = |
|
|
|
|||
−1; |
ap0; =:::(; ap |
|
|
api+1; : : : ; apn) = |
|
|||
|
−→ |
|
−→ |
−1; u0; |
−→ |
−→ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ЗДЕЩ ЙУБОЩЧЕТЕДЙОЕ УФПЙФ НБФТЙ Б ТБЪНЕТБi |
(nap−→+0;1): : : ; −→api −→api+1; : : : ; −→apn) |
(3-19) |
||||||
|
|
|
−1) det ( |
|
−1; |
|
||
ЛППТДЙОБ Щ ЧЕЛФПТПЧ |
−→api |
|
|
× (n + 1), П УФПМВ БН ЛПФПТПК |
||||
× ВБЪЙУ u | ПОБ ЙНЕЕ |
×ÉÄ0 |
|
Й ЧЕЛФПТБ u0 (ПО УФПЙФ Ч (i + 1)- УФПМВ Е) |
|||||
|
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
0 |
|
|
·· ·· ·· |
|
|
·· ·· ·· |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
· · · |
|
||||
|
. . . . . |
. . |
. |
|
||||
|
· · · |
|
· · · |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÓÔ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
БФТЙПМВЛЮФБЩЕ£ТБЪНЕТБП Т ДЕМЙФЕМШn |
· · · |
|
· · · |
|
||||
ПМХЮБАЭЕКУСФПЮУФШАДП ЪОБЛБ УПЧ БДБЕФВБЪЙУПТЕДЕМЙФЕМЕНОБЙУБОД |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЮБУФЙУПДЕ ЦБЭЕК× nЛП, ДЙОБФЩ n ЧЕЛФПТПЧЧЩЛЙДЩЧБОЙЕН ТЧПК УФТПЛЙ |
i-ÔÏÇÏ |
|||||||
|
|
|
|
|
|
−→api |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
ТЙЮЙОБН,ЬФПФVП ЧТЕДЕМЙФЕМШu1; u2; : : : ; un nЧ |
|||
ÍТБЧПКЕТО! ( ЗП ЧЕЛФ ЖОПЗПТНХМЩТПУФ(3-Ò19)БОУФЧБ.рПФЕНV |ЦЕЙНЕООП |
|
|
||||||
−→pip0; : : : ; −→pipi= det→−qa;( −→pipi+1; : : : ; −→pipn) = |
|
|
|
|||||
−1; |
|
|
|
|
|
|
|
|
−→pip0; : : :=; −p(→ipi |
|
−→pipi+1; : : : ; −→pipn) = |
|
|||||
|
|
|
|
−1; u0; |
|
|
|
|
БЛЙНЕМШОПВТБЪП , ВБТЙ ЕОФТЙЮЕУЛЙЕ Л ПТДЙОБФЩi −→pip0; :x:0:; ;x1−→p;ip::i : ; xФОПЫЕОПЮЛЙ−pn→ipi+1; : : :a; Âß−→pip£nÍÏ×:) |
||||||
|
|
|
−1) det ( |
|
−1; |
|
ОПУЙФ |
УЙН МЕЛУБxi = p0det; p1(; : : : pn НÏЦОП ЧЩЮЙУМСФШ ЛБЛ П |
Ñ Ï An Ô- |
||||
|
|
det ( −→ap0; : : : ; −→ap |
−→api+1; : : : ; −→apn) |
|
||
0× |
|
|
− |
|
|
(3-20) |
|
|
i ЛППТДЙОБФЩipi+1; : : : ;ЧЕЛФПТПЧipn) ; |
||||
|
ПФНЕЮЕООЩИ ЪЧ£ЪДПЮЛБНЙ−→pi 0ÚÉ; :ÉÑÈ: : ; −pУФПСФ→i |
−→ |
−→ |
|
||
|
|
|
−1; |
|
|
|
|
|
|
−→api V Ч ВБЪЙУЕ |
|||
u1; u2; : : : ; un n-НЕТОПЗП ЧЕЛФПТОПЗÏ ТПУФТБОУФЧБ V |
|
|||||
ХЛБЪБООЩИъДЕУШ УФПСФЧЕЛФПТП ТЕДЕМЙФЕМЙТПЙЪЧПМШОПНП УФВБЪЙУ n-НЕТОПЗПТЩИ ЧЕЛФЪБ ЙУБТ ЩПЗЛ ПÒДЙОБФЩУФТБО |
||||||
УФЧБ V , БУ П ЙЙТПЧБООПЗ НБФТЙУ A |
ÉÌÉ, |
| ПМВЮФ БНФ ЦЕ УБНПЕ | ВЯ£ |
Щ n-НЕТОЩИ |
|||
ÌÌ |
ÌÅ É Å |
ОБФСОХФЩИ nОБ ХЛБЪБООЩЕ ЧЕЛФ |
(ПФОПЫЕОЙЕ |
Ô ËÉÈ Âß |
||
£ÍÏ× ÎÅ |
ДПЧ,Ф ЧЩВПТБ ЖПТНЩ ПВЯ£НБ ОБ V ). ьФПТЩ Й ЕУФШ ЖПТНХМÁ, БОПОУЙ- |
|||||
БТПЧБООБСЪБЧЙУЙФЛПО Е n◦ 2.6.3.
28.IX.2011. жБЛХМШФЕФ нБФЕНБФЙЛЙ чыь. зЕПНЕФТЙС. 1-К ЛХТУ. нПДХМШ I. Листок 3
Примеры векторных пространств и базисов
Г3 1. Сколько всего в n-мерном векторном пространстве над конечным полем из q элементов:
а) векторов |
б) упорядоченных наборов из k линейно независимых векторов |
|
в) k-мерных подпространств? |
||
Г3 2. |
Чему равен предел последнего количества при фиксированных n и k и q → 1? |
|
Г3 3. |
Всегда ли число элементов конечного поля является степенью его характеристики 1? |
|
Г3 4 (пространства многочленов). Укажите базис и найдите размерность пространства а) многочленов степени 6 n от m переменных;
б) однородных многочленов степени d от m переменных;
в) однородных симметрических многочленов степени 10 от 4 переменных; г) симметрических многочленов степени 6 3 от 4 переменных.
Г3 5. Пусть векторное подпространство V k[x] содержит по многочлену каждой из степеней d = 0; 1; : : : ; m. Верно ли, что оно содержит все многочлены степени 6 m ?
Г3 6. Пусть k F | два поля, и F | конечномерно как векторное пространство над k. Любой ли элемент поля F является корнем некоторого многочлена из k[x] ?
Г3 7. Дано m + 1 попарно разных чисел a0; a1; : : : ; am k. Постройте в пространстве многочленов k[x]6m степени 6 m такой базис, в котором координатами многочлена f являются
|
|
а) значения f в точках ai |
б) значения f и его первых m производных в точке a0 |
||||||||
Много ли существует таких базисов? |
|
|
|
|
|
||||||
Г3 |
|
8. Дано |
несколько разных точек a1; a2; : : : ; an |
(j) k |
и для каждой точки ai задано mi чисел |
||||||
|
1) |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0) |
(1) |
(mi |
− , так что всего таких чисел bi |
задано m+1 = |
mi. Сколько существует |
|||||
bi |
|
; bi ; : : : ; bi |
|||||||||
многочленов f степени 6(jm) , таких что f и его первые mi − 1 |
|
P |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
производных f(j) принимают |
|
предписанные значения bi |
в каждой точке ai? |
|
|
|
|
|
|||||
Г3 9. Убедитесь, что множество V M всех функций на данном множестве M со значениями
в произвольном векторном пространстве V является векторным пространством (сложение функций и умножение их на константы определяется поточечно). Пусть M | конечное множество из n элементов и V = k | основное поле; укажите в V M базис и найдите dim V M .
Г3 10. |
множества M векторное про- |
Составляет ли множество всех подмножеств данного def |
|
странство над полем F2 = Z=(2) относительно операций X+Y = (X Y )\(X∩Y ) , 1·X def= X , |
|
и 0 |
· X def= ? Если да, то постройте в нём какой-нибудь базис и найдите его размерность |
(для конечного M). Обязано ли семейство подмножеств {X1; X2; : : : ; Xn} быть линейно неза-
Г3 |
|
11. |
На n-мерном |
|
|
S |
X при всех i = 1; 2; : : : ; n б) X1 |
X2 |
|
Xn: |
- |
|
. Пока- |
|||
висимым, если а) Xi |
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
6 · · · 6 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
=i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
def |
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
|
|
пространстве V задана ненулевая линейная функция ' : V |
|
|
|
|
||||||||||
жите, что ker ' = {v V | '(v) = 0} | векторное подпространство, и найдите dim ker '. |
||||||||||||||||
Г3 12. |
Тот же вопрос про сюрьективную линейную функцию ' : V |
|
- W , где W | произ- |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
вольное m-мерное векторное пространство. Покажите, заодно, что m 6 n. |
|
|
k |
|
||||||||||||
Г3 13. |
Покажите, что для |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
любых пяти различных точек на координатной плоскости |
|
2 суще- |
||||||||
ствует кривая второй степени , проходящая через эти пять точек.
Г3 14. Сколько точек координатного пространства k3 гарантированно лежат на поверхности второй степени?
Г3 15. Любые ли три прямые координатного пространства k3 гарантированно лежат на поверхности второй степени?
1напомним, что характеристикой поля называется число элементов в его простом подполе, буде оно конечно; простое подполе , в свою очередь, | это наименьшее подполе, содержащее 0 и 1; если простое подполе бесконечно, характеристику полагают равной нулю
2т. е. фигура, заданная уравнением f (x; y) = 0, где f k[x; y] | многочлен степени 2
чУАДХеЧЛМЙДПЧЩЬФПНБТБЗ БЖЕУФТБОУ§П4. ПЧОПЕеЧЛМЙДПЧБЕЧЛМЙДПЧЩНПМ З ПНЕФТЙС
|
Ò |
ЧБ. оБ ПНОЙН= 1., ЮФП ЧЕЛФПТОПЕ VДБОПД ПМЕН ЧЕ- |
||
ЭЕУФЧЕООЩИ4.1. |
ЮЙУЕМ ЕЧЛМЙДП |
k |
R |
|
ТПЙЪЧЕДЕОЙЕ (ЙМЙ R ÎÁÚÙ×Á( ÅУФТХЛФХТБÓÑ |
) | УЙННЕ,УМЙФТЙЮОБ£СНЖПТНБЪБ УЛБМСТОПЕ |
|||
УП ПУФБЧМСАЭБС БТЕ ЧЕЛФПТПЧ; u;) :wV × V |
- R u; |
|||
ЧЩ ПМОСЕФУС УФБОДБТФОП(1u1 + 2uТБЧЙМП2 ; 1w1ТБУЛТЩФЙС+ 2Vw2ЮЙУМП)= УЛПВПЛ:(w) = (w; u) R, ÔÁË ÞÔÏ
Й УЛБМСТОЩЕ ЛЧБДТБФЩ ЧУЕИ ОЕОХМЕЧЩИ(v; v) > 0 ЧЕЛФПТПЧXi;j ПМПЦЙФЕМШОЩ:i j(ui; wj)
ПВрТЙНЕТУФЧЕЛБЕЧЛпЗТБОЙЮЕОЙЕУХЦДБЧЫХАУМАВПКЙДТ ЧХДУФБЧМУФТХЛФХТХБТЩУЛБМСÑОЕОБНЙТПВПАОПЗПЧПТnЬФПНЙПОБМШОЩИВЩЮОХАТПЙЪЧЕДЕОЙСПД Т€ЫЛПМШОХА•УФТБОУФЧЕЧЕЛФПТПЧОБvМАВП=6 0.ЕЧЛМЙДПЧХч: МАВПНЮБУФОПУФЙ,ПД Т ЕЧЛТБОУФЧПМnЙДПЧПНУЛМЙОЕКОБСУФШ,ЧVТÏÄÒЪБДБУФТБОВПМВОППЮ£Ф-
4.1 (УФБОДБТФОБС◦ 1.5.ЕЧЛМЙДПЧБn УФТХЛФХТБ ОБ
ъБЛППТДЙОБФОПЗПДЙН УЛБМСТОПЕТПУФТБОУФЧБu =ТПЙЪЧЕДЕОЙЕ(x1; x2; : : : ; xДЧХИn) ЙЧЕЛФПТПЧw = (y1; y2; : : : ; ynR) )
(u; w) =Rx1yЖПТНХМПК1 + x2y2 +
НХМПКъБДБДЙНрТЙНЕТх ФЕМШОБТБЦОЕОЙЕ4УЛБМСТОП.2 ( Т4.1ÅУФТБОУФЧП. хВЕДЙФЕУШ,ТПЙЪЧЕДЕОЙЕÎÅÞÔÏÎÅÒÜÔÁЕТЩЧОЩИЖХОЛbÒ ЖПТНБ·ВЙМЙОЕКОБ,· · + xnynÉÊ): УЙННЕФТЙЮОБОБ ПФТЕЪЛЕ [Éa; bПМПЦЙÆÏÒ(4-1)--
1ÓÍ. Ï Ò. 1.2 ÎÁ ÓÔÒ. 19 |
(f; g) = Za 68f(x)g(x) dx : |
(4-2) |
|
|
|
|
|
х ОЩИТБЦОЕОЙЕЖХОЛ ЙК,4.2ЮФ. чЩЧЕДЙФЬФ ПЙЪЧЕДЕОЙЕЙЪЧЕУФОЩИ ЧБН УЧПКУФЧПМ ЦЙЙОФ ЗТБМШ ПЧ. |
ОЕ ТЕТЩЧ |
||||||||||||||||||||
|
|
(4-2) СЧМСЕФУС |
ТСНЩН ПВ ВЭЕОЙЕН Ж |
|
|
(4-1), ÅÓÌÉ ×ÏÓ ÒÉÎÉ |
|||||||||||||||
ÆÕÎË ÉÉ ËÁË €ËПОФЙОХБМШ ЩЕ ОБВПТЩВЙМЙОЕКОППТДЙОБФ•,Ë |
ОПНЕТБ ËÏÔÏÒÙÈ ÓÕÔØ |
||||||||||||||||||||
ЮЛЙ ФТЕЪЛБ. рТПЙЪЧЕДЕОЙЕ (4-2) |
ДП ХУЛБЕ |
|
ТБЪОППТНХМЩВТБЪОЩЕ ЧБТЙБ ЙЙ. чНЕ- |
||||||||||||||||||
жПТНХМБНБФШЛ ПТЩИ ЧЩ ПМОСЕФУСЖХОЛУЧПЙКУФЧП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
УФ ОЕ ТЕТЩЧОЩИ |
|
|
НПЦОП ТБУУНБФТЙЧБФШ ДТХЗЙЕ ЛМБУУЩ ЖХОЛ ЙК, ДМС |
||||||||||||||||||
нПЦОПТЙНЕТ,ПЗТБОЙЮЙЧБФШОБЛОЕЮОПНЕТОПТПЙЪЧЕfПД6≡ДЕОЙЕ |
a b f2(x) dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Z |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
0ТПУФТБОУФЧП(4-2) ОБ ТБЪМЙЮОЩЕ=0 : ПД ЕОПЧТУФТБОУФЧБ | ОБ |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|v| def |
|
(v; w) |
|
: |
|
|
|
|
|
(4-4 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
vw) = |
p |
R |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЧЕ ПНЕЧЕЛФПТБНЙ.ЕОЙоБЛПОЕмЕВОЕЕЗБ,ЧЩ |
||
ЧНПЦОПЙОФЕЗТБМЫЕЕЧЛМЙДПЧПНn4..1íÏÖÎ.ЪБНЕОЙФШ1. тЙНБОБтБУУФЧБТШЙТТПСОЙСУФТБОУФЧЕЕЪПЛПЧБФШ.É.)ДТХЗЙМЙÌÙУБНПППКТЕДЕМСАФУСЙОФЕЗТЙТПЧБФШ. дМЙОБПВМБУФШАПОСФЙЕЧЕЛФПТБЙОФЕЗТЖЙОФЕЗТЙТПЧБОЙСПТНХМБНЙ:[Уx Л6ХЗПМnЛЙНМБНОПЗПЮМ(ВТБФШ-НЕЦДХОЙВ.ДШЙОФЕЗТБМДЧХНС |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
os( |
|
|
|
(v; v) |
|
|
|
|
|
|
3) |
||||
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
ЛПУЙОХУБ,,ЮФПТÁЧБСДМЙОБЮБУФШ(4-Ж3) |
|
| | · | |
|
| |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ОЕТБЧЕОУФЧХv wМШОП МЕЦЙФФТХЗПМШОЙЛБЧНОПЦЕУФЧЕ2: ЪОБЮЕОЙК |
|||||||||||||
|
|
|
|
ПТНХМЩДПЧМЕФЧПТСЕ(4-4) ДЕКУФЧЙФ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
ЧЩФЕЛБЕФ ЙЪ ВПМЕЕ ПВЭЕЗП ОЕТБЧЕОУФЧПu;(v;wv) |u| + |ëÏÛÉw| > |u{ вХОСЛПЧУЛПЗП+ w| ; |
{ û×ÁÒ Á1 |
(4-5) |
|||||||||||||||||||
ТБЧЕОУФЧПчЕЧЛМЙДПЧПНФПТЛППТДЙОБФОПНТБЧОПУЙМШОПТПУФТБОУФЧЕ· (w;ÒÏwÏÒ)>ЙПОБМШОПУФЙ(v; w) ; |
ЧЕЛФПТПЧ u Й w. |
|
|||||||||||||||||||
ÉÍÅ (x×ÉÄ12 + x2 + |
|
2 |
2 |
2 |
|
2 |
|
Rn |
ЙЪ ТЙН. 4.1 ОЕТБЧЕОУФЧП2 |
(4-6) |
|||||||||||
|
|
ÎÁОЕТБЧЕОУФЧПНЧЕЭЕУФЧЕООЩИÓÔÒÉ. 21+ПМШЛxn)(y1 ПЗДБ,+лПЫЙЮЙУЕМy1 +ЛПЗДБ{xвХОСЛПЧУЛПЗП1; x+ЬФЙ2;y:n: ):ОБВПТЩ; xn(xЙ1.yyпОП11;+ТПy2x;У1ПТ:y:ТБЧЕ1: ;+ЙПОБМШОЩynДМЙЧП+ВТБЭБЕФУСxДМСn.ynМАВЩИ)Ч |
|||||||||||||||||||
|
1ФУСТПЧ.23ÏÇÄÁ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ÓÌ.Ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÓÍ.ÎÁÂ |
|
|
· · · |
|
|
|
|
· · · |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
· · · |
|
|
ТБЧЕОУФЧДЧХИЙ ОБЪЩЧБЕ12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
> |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|