gorod-geom1

ЮЕТЕЪ(ЙМЙ p : A

) ÔÎÏ

ЕМШОП ФПЮЛЙA, p. нЩ ВХДЕНФУС ПВПЪОЕОФТ МШОПКЮБФШ ЬФПУЙННЕФТЙЕКДЧЙЦЕОЙЕ

- A. тБЧЕОУФЧП (pq) = r П П Т ДЕМЕОЙА ПЪОБЮБЕФ, ЮФП

МАпФНЕФЙН,õÉÉТБЦОЕОЙЕp. ÞÔÏ 5p2.14= .Id,рПЛБЦЙФp СЧМСЕФУСÅ, ÞÔÏ→− q=ЕДЙОУФЧЕООПК→−pr :

ОЕ ПДЧЙЦОПК ФПЮЛПК ЙОЧП-

−

уПЗМБУОПрТЙНЕТ 5ÓÌ.2. (ПФТБЦЕОЙС)4.3 ОБ УФТБОУФЧЕ.76ЛБЦДЩН ЧЕЛФПТОЩН ПД→−pqПТНХМТ. УФТБОУФЧПН U

◦ p = v, ÇÄÅ v = 2

УЧСЪБОП ТБЪМПЙЪЧПМШОЩКЦЕОЙЕ

ÏÒ

ÏÇÏ

БМШОХА ТСНХА УХННХ V = U

V

Þ ÒÅÚ U : V

2

u 2

2

u 2

uv + u 2

U . пВПЪОБЮЙН

2

Д КУФЧХЕФ ОБ

ÏÄ- VÒ

ДЙОУФЧЕ

ОЩКU ЙМЙОЕКОЩКНЕОСЕФБЛЙНЪОБЛПЕТБФЧУИПТ,ЧЕЛФ ФПТЩКЕЛФЙТХАЭЙКУСПЧЙЪU ЦДЕУФЧЕООП

U ÎÁ Ò

ЧЕЛФПТ v = uv + u

. дЕКУФЧЙЕ

ЧЕЛФПТЩ uv

v , ПТ ПЗПОБМШОП Т

U

uU (v)U= , ÚÁÄÁU (uv£+ÔÓÑ,u

ВТБЪПН, Ж

ÏÊ

v

ьФП ПТФПЗПОБМШОЩК П ЕТБФПТ, ПУЛПМШЛХ

П ФЕПТЕНЕu

рЙЖБЗПТБ2uv :

(5-11)

v ) = uv − v

= v −

-

ЕЧПНПФУСУЕТБФПТБИТБОСАЭЙИУМХЮБЕНUПФТБЦЕОЙЕН(ПДv) Т=УФТБОУФUЬФПКuv ТЙПЮЛЛЧПОУФТХЛЧМv ЕПДUЦЕОЙЙp==Тu0vУФТБОУФЧЕЙЙ:. O(+ VЕОФТБМШОБС)v =Isom(U. рТЕДЩДХЭЙКA)УЙННЕФТЙСЧv ЛБЮЕ=УФЧЕv ТЙН: УФШПДЗТХ.5.ФТБЦЕ1СЧМСЩ

ДЧЙЦЕОЙК,ОЙЕпОФУСпВТБЪОБЪЩЧБЕЮБУФОЩНОХМ|

|

|

−

|

| |

| |

|

|

|

|

p1 p2 ЧЩВТБОЩ ФБЛ, ЮФПВЩ

ÏÒ

V , ÒÉÞ£Í Ï ËÉ

2

−→p1p2 ВЩМ ЕТ ЕОДЙЛХМСТЕО U. рПЛБЦЙФЕ, Þ Ï

◦ 1 = v, ÇÄÅ v = 2 −→p1p2 .

чБЦОЩНрТЙНЕТ 5ÞÁÓÔ.3 (ПФТБЦЕОЙЕ§ÙÍ ÓÌÕÞ ÅÍ ×ПФТБЦЕОЙСЗЙ ЕТ МПУЛПУФЙ)СЧМСЕФУСЕЧПНХФТБЦЕОЙЕ Ч ЗЙ ЕТ МПУЛПУФЙ

U = u

v

ЧЕЛФПТХ u

V . ÁËÏÅ Ï -

ПЪОБЮБФШЛБЛПНХЮЕТЕЪ-ОЙВХДШu. уПЗМБУОЕОХМ-

ОПТБЦЕОЙЕ(5-11), ЕТЙОСФЕu(ДЙЛХМСТОПКv) =Вv

σU V

V

Å-

(u;ÓËÁÌpÅÒ)u); СТОЩЕМПuСНЩН: ПУФЙТПЙЪЧЕДЧЩЮЙУМ(5-12)

пФТБЦЕОЙЕх ТБЦОЕОЙЕЕН,С. ЮФП× ÁÆÆu5(.Óu;16ЙООПКИТБОСЕx. )ðÒ−=ПЧЕТШФ2ÇÉ(u;

·

−U

U

O

òÉÓ. 5

(U,V)

· U

ЕТЕЧПДСФУС ДТХЗ Ч ДТХЗБПМШЛФТБЦЕОЙÅÍ a

6= b ПДЙОБЛПЧПК ДМЙОЩ |a| = |b|,

дПЛБЪБФЕМШУФЧП. ðÏÓË

(a +

; a −b.

a

− b) = |a|2 − |b|2 = 0, ЙНЕЕН

(a2 (a; a − b)

−b(a) = a −

= a

· (a − b) =

− b; a − b)

2 (a; a −(ab) − (a + b; a − b)

−

− b; a − b)

= a

· (a − b) =

−

(a − −

· (a − b) = b

− b; a − b)

ъБНЕЮБОЙЕ 5.2 еУМЙ dim V =МЙЮБАФУС1,ППЕТБФПТ a

ЧЕЛФеУМЙПТЩ dimПДЙОБЛV ПЧПК ДМЙОЩ П

ÄÒÕÇ

ДТХЗБb = ЪОБЛId(ОБН). ТСНПК ТБЪОЩЕ

Ô −

−

>

ПЕОДЙЛЕТБФ. 1.10ХМСТБПТОБa УФТЛb ДЙБЗТ. 22)ДУФПОБМЙ. ЧМСЕФПНВБУВУПКУФППФÒБЦЕОПОБНÉЕaПФОПЙb (ÓÉÒ-.

ЕМШОПТЙН.УЕТЕДЙООПЗ4.4ОБУФТ.2,71ФПЕТ Х

−

мАВПКрТ ДМПТЦЕОЙЕПЗПОБМШОЩК5.6

П ЕТБФПТ ОБ n-

ФТБЦЕОЙК

ЧЕЛФ ТО Н Т УФТБО-

ÓÔ×Å V СЧМСЕФУС ЛПН ПЪЙ ЙЕК ОЕ ВПМЕЕ n

ÇÉ ÅÒ ÌÏÓË ÓÔÑÈ.

. йОДХЛ ЙС П n. еУМЙ V = 0 ЙМЙ F

= Id,

Д ЛБЪЩЧБФШ

дПЛБЪБФЕМШУФЧПЕЮЕЗ,ЕТЕЧПДСЭЕ.еУМЙЦЕFЕУФШ(v) ЧЧЕЛФПТv. ПЗvБ=6FF=(vНЕТОПН), Ф ПЕЧЛМЙДПЧПНЕН. 5.1 УХЭЕУФБЧМСЕУФЧХЕУФТБОУФЧПФТБЦЕОЙЕ

Î

ÍÅ

. îÏ

ПЗДБ G ЕТЕЧПДЙФЗЙЧ ЕТУВСМ◦G(n, ÇÄÅ G = ◦F

ЧЕЛФПТ v

Й ПЗТБОЙЮЕОЙЕ G ОБ v

− 1)-НЕТОП

ПД ТлБЦДП

v ,

СЧМСЕФУС П ЙОДХ ЙЙ ЛПН ПЪЙ ЙЕК ОЕ ОЕВПМПДЧЙЦОХА(n − 1)

ФТБЦЕОЙК

ФУС ПЗТБОЙЮЕОЙЕН2)-НЕТОЩИ ОБФСОХФv ПУЛПКУФСИ ЧОХФТЙ v .

ÉÚ ÜÔÉÈ

(n

СЧМСЕei (n −

ПФТБЦЕОЙС i

ЧУЕЗП Т УФТБОУФЧБ V

ÇÉ Ò− М1)-УЛН ТОПКУФШ ФТБЦЗЙЕТ ОЙСМУЛ УФЙ,

ÎÁ ( − 2)-НЕТОХА

рПЬФПНХ F =

i ЧЕЛФПТ v. лПН ПЪЙ ЙС ПФТБЦЕОЙК i

ТБЧОБ G.

ДУФЧЙЕФОПЗФТБЦЕОЙК5В.ЮЙУМБ4УФЧЕООЩК5(ЗТХ.1GПФТБЦСЧМСЕЗЙЩПТÅOФУОЙКТ2ПЗ=МПОБМШОЩКЛПН.УЛO(УФСИ,ПЪЙЙЕКПЧУСЛЙКЕТБФОЕВПМЕПТОЕУПВУФЧЕООЩКСЧМСЕn ФУСФТБЦЕОЙКЛПНПЪЙ.| ЛЙЕКПН ЮПЪЙ£ФОПЗЙЕК

óÌчУСЛЙКЮЙУМБОЕЮрТЙНЕТ£

◦

e

2

2

ТСНЛЙКУФЧЕОЕО,ЧПНu ЧЕЛФПТПВУФЧЕООЩКПНТФУФЧЕООП,ПТПЗПОТБОУФЧЕМШОЩК)ÉVSOСЧМСЕМЙО2 = ПSO(ФУСКОЩКЕТБФ)ПТБЦЕОЙЕН) ЕТБФПТ ОБuДЧХНЕТОПНФОПУЙФЕМШОПЕЧ-

чУЛМЙД

R

R

ЛБЛМПНХОЕКОЩК-ОЙВДЧХИДШОЕОХМЕЧПНХПТF : ЧЕЛФПТХV

u.

óÏВУФЧЕООЩКЕТ ЕПТДЙЛХМСТОПКПЗПОБМШЩК

- V

ÌÉÂ

Ô -

ЦДЕТСНЩИ

u

МЙВП СЧМСЕФУС ЛПН ЪЙ ЙЕК

ФТБЦЕОЙК 2◦ 1П ПТФОПУЙФЙПОБМШОЩ

ЮЙЧБЕТОБЮЕУПВТБЪЛБЦДЩК2ПЧБОЙС2=Й 1uЙЪ,1ЙОЙИFF=П= ПД212 ДЕКУФЧЙЕН=Id). рПУЛПМШЛХТЙЮ£Н ЧЕЛФПТЩuu11

uu22 ОЕУПУФБЧМСАФТ

× V ÂÁ-

(Ú

U2

-

σU2 σU1 (U1)

U1 = σU1 (U1)

ÏÒÁu2

ОБНЙ ХuДЧП1БЛЙНФУСЕООЩКu2 (УНОБ. ТЙУТБЧМЕОЙЙ.5НЕЦДХ◦Ï1×ÅËÔuÏ×1 Ë

Ч Т ФПН ОБ ХЗПМ 2 4), F СЧМСЕФУС

òÉÓ. 5

σU1

(U2

σU2 σU1 (U2)

- ПНЙФ ЙЪПМПЦЙФПЧПТЕМШОПФПЧ. рП×ÏÒ

Ï×Á%' ООПНТ ФЙЧПТФПЮБ-

Ç ОБМШОБЕЧЛМЙДПЧБУФТЕМЛЙСВТБЪПН,ВБЪЙУЕЗТХОБТПУФТБОУФЧБХЗПМБУНБФТЙSO(uЕ1'uЙБМШОБV2ЙНЕ.) ХДЧХНЕ%'ФV=ПТУПУФМАВ

ÎПТНБМШОПНЧПК

d

ÔÓ

4. л Н ПТЙЕОФЙТПЪЙЙС ФТБЦЕОЙК.

БЛЙЕ НБФТЙЛПННХФБФЙЧОХАЩ ВТБЪХАФ Ч

SLos2(

(5-13)

ÇÒÕ Å sin ' − sinos'

ДЕМЙФЕМС

ПДЗТХ Х, ЛПФПТБСR) ЧУЕИ ПВПЪОБЮБЕФУС2Ч 2 НБФТЙ ЕДЙОЙЮОПЗПSO2(

Ï ÒÅ-

R).

х ЧЕЭЕТБЦОЕОЙЕУФЧЕООБ§(5С.НБФТЙ17. рПЛБЦЙФБ

Е ТСНЩН БМЗЕВТБЙЮЕУЛЙН ЧЩЮЙУМЕОЙЕН, ЮФП ЧУСЛБС

ОПН ЕЧЛМЙДÏЧПН ЧЕЛФП

ÏÍ

ТПУФТБОУФЧЕ V СЧМСЕФУС ПН ПЪЙ ЙЕК ДЧХИ

рТЙНЕТ1ОЙЕН ЧЙД -13) ДМС ОЕЛa ФПТПЗПdb У ПТФ' ПОПТНБМШОЩНЙ УФПМВ БНЙ П ТЕДЕМЙФЕМЕН

Ö

ÍÁÔ É , ÞÔ

%'

R,

ФБЛЦЕ ХДПУФПЧЕТШФ УШ ТСНЩН ХНОП-

5.5 (ÇÒÕ Á SO3◦%= SO(= %'+3 .

чУСЛЙК ОЕФ ЦДЕУФЧЕООЩК УПВУФЧЕООЩКR )) ПТФПЗПОБМШОЩК П ЕТБФПТ F ОБ ПТБН£И ЕТ

-

ДБАФ,ЮЙНЦДЕ2 ЧЕООП,1УФЧЕООПuМЙ1 F2ЙУЛЛ-uНЕ=U2УФШ,ТЙЮId)ЮЕТЕЪДЕКУФЧХЕФТСНПКЩИ.£ПТПЦДН UМПУЛПУФСИЬФЙ.пЧЕЛФПТЩ£ОБЕО- u2 ,ОЕu1 ,ТПЕТПТЕОДЙЛЙПОБМШОЩХМСТОЩИ(ЙОБЮЕЧЕЛФПФТБЦЕu2

ТБФПТЦЕОЙКЕТХАЙСu1пВУЧЕЛФЕОДЙЛХМСТОПКUУПЧПЪОБFFФЧЕФУБФПТБНЙ=

= u

u2

=

-

ПТЧUФПЗПОБМШОХАТЙНu[u1ПЧЮФ1ТПЙЪЧЕДЕ;УЕВСЙ.u5ОБ2u.42;.ЙХЗПМДЕКрПУ

ЕЛФПТЛБЛУЛПУФШДЙФОЩНПЧПТ

×Ï

ÜÔОЙЕНПТЧХЕКПЦДЧЕЛФХ1 ТСНПК[Fu£ОБООПК1; uОЕКЕТДЩДХЭЕНХ21 М

2УЗМБУОП

∩

R ·

ОПКu1йОБЮЕu2 ОБПТНПТБЧМЕОЙЙЦОПН[u1УЛБЪБФШ,; u2 , ОБu1ХЗЛ uМF2.2СЧМСЕФУС ПЧ Т ФПН ЧПЛТХЗ5. рПЧПТТСНПК,Ф. ПТПЦД£О-

d

-

НЕТОПЗЧЕЛФПТБЕЛПНПТФЕЧЛМЙДБЛЙНÅÍÁПТДОЙЕПК[uТ15ДЧБ;ВТБЪПН,.ТСuЧПНУФТБОУФЧБ12 .ПКТЙНЕТБЧЕЛФ.ьФЧУСЛЙКПТОПН.ФЙНЕАФЖБЛФУППТПУФТБВУФЧЕОЙЪЧЕУФЕОУМЕТБФuДХАЭЕЕ1uÎ2 УФЧЕЩКПЛБЛПТФЮБУПВТФЕПТЕНБÏÇДУФЧПКВЭЕОЙЕОМШОЩКЧМСЕФУФТЕМЛЕ,ьКМЕТБ. УП ВПАЕТБФУМЙЧТБЭЕОЙСИПЧПТЗМСДЕОБПÔШЧПЛТХЗ£ЧДПМШИНЕТФТ£

ðÏÓÌ

d

дМС МАВПЗП ПТФПЗ МШОПЗП

ПТБ F ОБ ТПЙЪЧПМШ

Ë

Å×-

ЧЕЛФПТО Н Т

V УХЭЕУФЧХЕФ ТБЪМПЦЕОЙЕПОЕЮОПНЕТОПНТ УФТБОУФЧБ V

ТСНХА УХННХ Ï ÁÒÎ

ПТ ПЗПОБМШОЩИ ДТ З ДТХЗХ

ÎÏÍЕТОЩИ Й ДЧХНЕТОЩИ

ДЕКУФЧХЕUm , ФБЛОБПЕ ОЮФПДМЙВП£Н ЕТБФЛБЛПТ FПЧПТПЕТЕЧПДЙФ(ЕУМЙ

ЛБЛV ОУФЧП=IdUЙМЙ1УФТБОУФЧЕUi U2 ВСУМЙ

ÓÔÒ

· · ·

dimЛБЦДПЕЛМЙДПЧПНПДUТi =УФТБОУФЧ:2),ПД МЙВПТП

1ÓÍ. ÒÉÍ. 4.7 ÎÁ ÓÔÒ. 79

−Id (Å

dim Ui = 1).

ъБНЕЮБОЙЕ 5.3 õÇÏÌ Ï×ÏÒ ÔÁ,

ÏÒÙÍ F Ä

Ф ОБ ДЧХНЕТОПН ПД ТП-

УФТБОУФЧЕ Ui, ДМС ТБЪОЩИ ПД Т

ÍÏÖÅ

ВЩФШ ТБЪОЩН.

ÒÏДЕКУФЧХЕУФШУФТБОУФЧ,ПВЛБЛПДУФЧЕОЮФПТПId,--

Д..УЛБЪБФШ,F

ÏÌ

ÎÅПТЩИОХМЕЧЧ,ОЙС,ПТОБВПМFЛFКНПЦОПДЧХНЕТОДЕКУФЧХЕСЧМСЕФУСДЧХИХЗПТ

ÁÒÕ.ОБ1ВЯЕПКУФЧХЕПФУСОУФЧЛПДОПНЕТОЩИОБЕТБФ

НЕ5ДЙОЙФШ

ÏЛДЕКУФЧХЕДЮОЛБЛХЗПМПДОПНЕТОЩИТПТПНВУФТБОУФЧ£ООПКДХФ.FЖПТНХМЙТДЕКУФЧПЧБФШПЮОПЛБЛДЧХНЕТОПДЕКУФЧХЕТПДЕМБОЩUId,ПДiБЛЦЕУФТБОУФЧ,НПЦОПТПДОПНЕТОЩИЧЛЕПТЛБЛМАВХАЧУЕПД.Ф5.ЬФЙТВЯЕ1ПЧПТПУФТ.

−

ПДОПНЕТОЩИУФТБОУФЧП,ЛНПЛЦОПЛчрПУМмАВХАФБЛПКЧПТПТЩИВЯЕДЙОЙФШФПЗП,ФОБХФБТХFОБ

ОЩН ФПЗДБ Й ФПМШЛ ПЗДБ, ЛПЗДБ

ÎÁ Ï

Ò ÓÔÒÁ

ÒÔÓÑ

ÎÅ ÂÏÌ

Å

Ï, Ò Þ£Í F ÂÕÄÅ

ÏÄ

БЛ Id. бОБМПЗЙЮОП, П ЕТБФПТ F СЧМСЕФУС ОЕУФБЧЫЕНУСВУФЧЕООЩНУФЧПЗДБ Й

ПМШЛП ПЗДБ,

ПДОПЗДБ УТ ДЙ

УФБЧЫЙИУС ПДОПЗ ЙМЙ ДЧХИ

ПДОПНЕТОЩИ

ТПНЕТОПНУФБОЕУФТ ОУФЧ Е

ТБОУФЧПЧОП

дПЛБЪОБФЕМШУФЧПЛНОПВТБЦЕОЙЕНФТПНУФЧПФЕПТF ДЕКУФЧХЕДТХЗЙИ. 5.1. чТЙМЛБЛУОПЧЕЦЕОЙКIdДПЛБЪБФЕМШУФЧБ.ЧЗЕПНЕФТЙЙДЕКУФЧХАЭМЕЦЙФОБПМУМЕНДХАЭБС МЕННБ,

ЙНЕАЭБСПДОП,

−

мЕННБМАВПЗДЧХНЕТОП5.2 МЙ ЕКОПЗП УФТБОУФЧПДОПНЕТОПВТБЦОЙС

F : V

.

äÌÑ

2

R

НЕТОПН ЧЕЛФПТ ПН ТП

МЙОЕКОП ОБ ПДПМЕНТ

ЧЕЭЕУФЧЕООЩИ- V ,

ÞÉÓÅМЗП ОБ ЛПОЕЮОП

дПЛБЪБФЕМШУФЧПУФЧХЕ

ÉÌÉ

Å

ПУФТБОУФЧП U

RУЧПКУФЧБНЙ,V УХЭЕ

ДЙФУС

. дПУФБФПЮОПF ВС. ХЛБЪБФШЧЩТБЦБЕV ОЕОХМЕЧПК ЧЕЛФПТV ,wЛПФПТ Е ЕТЕЧ -

F УТБЧОПТБЧБУФhУФПЙФ(FТБЧЕОУФЧП)=ЧЕЛФПТf(F ) ЧЕЛФgg((FFПТПЧ)),vЙ ДМСh(FМАВПЗП)v = f(FЧЕЛФПТБ)[g(F )vv, ЗДЕV ×

ЛЧБДТБФТ УФТБÎФЩУЛБОЙСУФЧЕЩИVПВЛБИRЙНЕПОЕЮОПНЕТОПН[

·

ЧЕЛФПТдМС vП

ОХЦОПЗ ЧЕЛФПТБ w ТБУУНПФТЙНV . ТПЙЪЧ МШОЩК О ОХМЕЧПК

МЙОЕКОП ЪБЧЙУЙНПV . ч

НОПДЕОЙЕНЦЕУФЧПf(F ) ЧЕЛФПТПЧ

. ьФПК ПЪОБЮv ; ЕФ,FvТ;ЮФFУФТБОУФЧЕП2vУХЭЕУФЧХЕ; F 3v ; V:ФУС:УЮ:

£НОФОПЕЗПЮМ

УФБВЗ ÒЫЙНЩБОБМЙЪБ,ЛПЬЖЖЙ МАВЙЕОФПННОПЗПЮМЕО1,Ф

R

ÁËÏÊ

Ч П f(F )v = 0. лБЛПЙЪЧЕУФОП ЙЪ ЛХТУПЧ[F БМУП-

R[x СЧМСЕ

Ò

МЙОЕКОЩИ Й

deg gi

· gm−1(F ) ·

· · ·

· g1(F ),

Å

УЧПКУФЧБНЙДМС Л 6ПТПЗП2 ЧУЧЕЛФgi ПТЙНЕАФw = УФБТЫЙКgk

ЛПЬЖЖЙ ЙЕОФ 1. тБУУНПФТЙН ОБЙВПМШЫЕЕ k,

k(F )w = 0

ПД Т УФТБОУФЧП1(UF )

·

· · ·

·

g2(F )

·

g1(F ) v

ФМЙЮЕО ПФ ОХМС. ПЗДБ

−

.

V , ПТПЦД£ООПЕ w Й Fw ПВМБДБЕФ ОХЦОЩНЙ

Ú

ВТБОЩдПЛБЦЕНУФТБОУФЧПЧЩЫЕЕПТХ. 5Т..15ЙОДХЛ.13 ТЙНЙЕК. 5П.4dim.рХУФШV . уМХЮБЙdimV dim V

= 1; 2 ÕÖÅ ÂÙÌÉ ÒÁ

ТБФПТ F : V

> 3. уПЗМБУОПЙМЙЕН. 5.2 П Е-

ПДЕЧПДЙФ

-UV

ЕТЕЧПДЙФ Ч УЕВС ОЕЛПФПТПЕ ПДОПНЕТОПЕ

ДЧХНЕТОПЕ

ÅÒ

ТБЪНЕВС Й

ПТФПЗV . ПОБМШОЩНЙрПУЛПМШЛХU FПДУ ИТБОСЕТУФТБОУФЧХУЛБМСТОП ПД Т

ЪЧЕДЕОЙЕ,

F

ЙНЕАЭЙИU ОБ U

Ë

Ï

U. пЗТБО ЮЕОЙС F

МХЮБЕНЛБЦДПНОХЦОПЙЪпФЩУЛБОЙЕОЙИСЧМСАФУСФТ

Å ÎÁÏ-

ТБЪМОПУФЙВХПЦЕОЙЕПТНЩЕУФТПЗПЗТБЪМДМСПЧПТНЕОШЫЙЕ,VЦЕОЙС=U .ПуЛМБЮЕНЕТФПТБНЙДЩЧБСdimV .ЬФЙрПЬФЙИМЙОЕКОПЗТБЪМЙОДХЛЦЕОЙ ,ПСУФТБОУФЧБИ,FЧНЕЙНЕ

F : V5.5.3.

ХЗМПЧ

U

ПНФПВТБЦЕОЙС

ÏÔÏ×. дМС. ЛБЦДПЗПЬЖЖ

ЦЕОЙС

F :- V

ЮЙУМБ t R tТБЪОПУФШId ЗПНПФЕФЙЙ У

É ÉÅÎÔ

t

ÏÔÏ

-

ТБЛФЕТЙУФЙЮЕУЛЙНЬФПЗПСЧМСЕФУСМОЕКМЙ

ÎЕКОЩНПЗППФНОПЗПЮМЕОПНВТБЦЕОЙСФВТБЦЕОЙЕНF (t) СЧМСЕФУС=− det(FП :ЕТБФПТБЙЪvt Id7→ТНОПЗtvУФТБОУФЧБ−FПЮМЕОFЙ(ПВv)ПЪОБНV ЮБЕФЧt.ФУСЕВСпО.ОБЪЩЧБЕпТ ДЕМЙФЕМШФУСИБ-

уПЗМБУМЙФБФШПЮП

−

R

Ó

ÎÏТЕДЕМЙФЖПТНХМОБЙУБФШЕМШ(5НБФТЙ-2) ДМСХЩЧЩЮЙУМЕОЙСdet(FeeE П ЕТБФПТИÁFТБЛФЕТЙУФЙЮЕУЛПЗПF) Ч ЛБЛПН[t : -ОЙВХДШ НОПЗПЮМЕОБВБЪЙУЕЙЧЩЮЙДП-

F (t) =

t−IdFee:

оБЛПЬЖЖЙТЙНЕТ,Id(t) ЙЕОФПН=det(ИБТБЛФЕТЙУФЙЮЕУЛЙКt Id ОБ n-НЕТОПН ТНОПЗУФТБОУФЧЕ−ПЮМЕОF ) = det(ПТБЧЕОЕТБФПТБt E − FeeЗПНПФЕФЙЙ)

F

= Id

Ó

− Id) = det

t

t .

0

−

.

0

=

det ..

0

..

=0

t

0

−

...

t 0

= (t − )n

t −

t

−

б ИБТБЛФЕТЙУФЙЮЕУЛЙК НОПЗПЮМЕО П ЕТБФПТБ ПЧПТПФБ (5-13) ЕЧЛМЙДПЧПК МПУ-

ЛПУФЙ ОБ ХЗПМ ' ТПФЙЧ ЮБУПЧПК УФТЕМЛЙ ТБЧЕО

%' (t) = det(t Id − %') = det= det0

os

− sinos'

=

0t − sin '

ЕФУСНОПЗПЮМЕОйЪ ФЕПТТПЙЪЧЕ.5.1ПТФПЗПОБМШОДЕОЙЕНУМДХАЭЕЗПОЕЛ

t

= t2 + t

·

− sin ' t − os '

− os '

sin '

УФЧБt5.3ОБЧЩФЛЕБЛМЙДПЧПНЕЛБЕДТБФОЩИ, ЮФПФТИБТБЛФЕТЙУФЙЮЕУЛЙКПУФТБ£ИЮМЕОПЧ2УФЧЕosЧЙДБ'V +СЧМС1: -

ÏÇÔÏТПЗЪБП%' (ЕТБФОЕАt)ЛПМЙЮЕ=ПТБЪБНt2 +.F

'

· 2 os ' + 1

(5-14)

ЕОБВЩФШ,(t Б

ЕЭ£ МЙОЕКОПЗП Д ХЮМЕОБ (t + 1) ЙМЙ (t

−

1), ÌÉÂÏ

ЛЧБДТБФО[0; ЗПЙ,ДЧХЮМНПЦЕНБФТЙ

ÔÒÏ

ØОЩИ ЬМЕНЕОФПЧ,.чЩЮЙУМССТБЧОЩИПТЕ+1 ЕМШ1. чУЕНБ-

Щ t E ЬМЕНЕОФЩ−1, МЙВПFee НБФТЙДЧХИ ДЙБЗПОБМЩВХДХФОХМЕЧЩНЙ

−

ÉÌÉ (t

−Fee, ПМ Б Н ТПЙЪЧЕДЕОЙЕ ФТ£ИЮМЕОПЧ (5-14)

МЙВ ДЧХЮМЕОБ (t+1)

дПЛБЪБФЕМШУФЧПЮЕУЛПЗ НОПЗПЮМЕОБ F (t), ТБЧОЩИ−Id1Й, ТБЧОП ЛПМЙЮЕУФЧХ Л

ИБТБЛФЕТЙУ Й-

. нОПЗПЮМЕО %' (t) = t−2 +1 tУ ФЧЕФУФЧЕООП.

ТСЦДЧХЛТБФОЩКПТОС£ООЩИ

t

·2 os '+1 ЙНЕЕФ ДЧБ ЛПНЕЧТБЭБАФУСМЕЛУОП П

Ë

ЕОШ,=ТБЧОЩКos ' i1sinЙ ' , ЛПФ

ÒÉ ' = 0

' = Ò

±

±

ТБЪМПЦЕОЙС,ОЙЮЕОЙСЪБНоЕóÌÕ.ДУФЧЙЕ5ПТСДПЮЕООЩК.3,ЛБОПОЙЮЕУЛЙНПФБЛЦЕЕТБФ5.2ПТБФПТПНПМЙЮЕУОБВПТF ОБЙД

−

ЬФЙХЗМПЧЧППДОПНЕТОЩЕЕЮШУФБЧЫЙИ£ ПЧПТПФП1 УППТЙУБОЙЕУСПЧФЧЕ. ПД5.1ОПНЕТОЩИФУФЧЕООП.ТДЧХНЕТОЩИУФТБОУФЧБ.ПДОЕПДТЪБЧЙУСФУФТБОУФЧБИТППЙЧЩВПТБПЗТБЙЪ-

а) `1 ◦ `2 = %p;'

б) `1 ◦ `2 = v

в) u◦ w = v

г) %p;'◦%q; = %r;#

д) `◦%p;'◦ ` = %q;

е) %p;'◦ `1 ◦%p;−' = `2

ж) %p;'◦ `1

= `2

ной прямой A1(C) б)

для любых двух пар точек a = b и a0

= b0 существует единственное

собственное подобие

: (a) = a и (b) = b в)

6

6

0

0

всякое собственное подобие является либо

сдвигом либо поворотной гомотетией.

г) По данным a = b и a0 = b0 циркулем и линейкой

6

6

через параметры движений из левой

а) 1 ◦ 2 = %v;' ;

б) 1 ◦ 2 = v ;

в) ◦%u;'◦ = %v;

г) %u;'◦%w; = v◦%v;#

д) %u;'◦ ◦%u;−' = 2

е) %u;'◦ 1 = 2

ния:

а) F ◦ v◦F −1 б) F ◦ ◦F −1 в) F ◦%v;'◦F −1

*

. Покажите, что группа SO3(R) проста3.

Г5 10*

*

Г5 11 . Докажите, что группа SOn(R) компактна4 и линейно связна5. *

Проста ли она?

Г5 12. Опишите все конечные подгруппы в: а) SO2(R) б) O2(R) в ) SO3(R)

г ) O3(R)

1

орбитой точки x X относительно группы G преобразований множества X называется множество всех

точек, которые можно получить из x всевозможными преобразованиями из G

2

т. е. композицией поворота с переносом на вектор, параллельный оси поворота

H G, таких

что3

группа G называется простой, если у неё нет отличных от единицы и всей группы подгрупп

ghg−1 H для всех h H и g G

4

т. е. ограничена и замкнута в евклидовом пространстве квадратных матриц R

5

т. е. любые две точки соединяются непрерывной кривой

рТЙНЕТ 6.1 (ДЙУЛТ

Ñ

ÏÇÉÑ)

Ô(ФТЙЧЙБМШОБППТБЛБЦДПЕПМХЮЙФУСФЛТЩФНЙПДНОПЦЕУФЧПФÑÔÏТПЧОППЗЙС,ÏÌÄ×ÁÏÇÉÑ)ОБЪЩЧБЕНБСYПДНОПXЦЕУФЧБПÄБОФЙДЙУЛТЕФОПКОПЧТ1: НЕООП. Й ПФЛТЩФЩН Й

åÓÌÉрТЙНЕТЪБНЛОХФЩН,еУМЙ ПВЯСЧЙВЯСЧЙФШ6.2

ПФПТЩЕЗЙС,БЧФПНБФЙЮЕЛСОБЪЩЧУЛЙ ПЛ ЕЦХФУСФТЙЧЙБМШЕДЙОУФЧЕ106

ОЩНЙПК (ЙМЙДЧХНС ЪБНЛОХФЩНЙX, ФПДНОП). ПМХЮЙФУСЦЕУФЧБНЙ

ÔÏ1ËÏÌ

рТЙНЕТ 6.3 (ЖЙОЙФОЩЕ

-Æ

ÔÏ ÏÌ

УЮеУМЙ£ФОЩЕ)ТБЦОЕОЙЕЛТНЕПДНОП(ФПXЦЕУФЧБПМВЯСЧЙФШZ

ЪБНЛОХФЩНЙУЮ£ФОП ЙОЙФОЩЕЧУ ЛПОЕЮОЩЕПЗЙС,(УÏÇÉÉ)ФЧ. ЧУЕ ЛП ЕЮОЩЕ ЙМЙ

ЖЙОЙФОПКõ X =6.(Ó4

n

ÎБЪЩЧБЕФУС

ФЧ6..2УЮ. хВЕДЙФЕУШ,£ПЗЙСФОП-ЖЙОЙФОПКъБТЙУУЛXЮФ, ЬФПЗП)ПМХЮЙФУС. ДЕКУФЧЙФЕМШОПП ПМФП ПМ Л ФПТБС.

рХУФШрТЙНЕТ

n

An k) | БЖЖЙООПХТБЧОЕОЙК

ÏÌÅÍ

ПТДЙОБФОППОЕЮОПК)Т УФТБО

ЧП ОБД ТПЙЪЧПМШОЩН

ТБЦОЕОЙЕ.ЕЫоБЪПЧ. К£НОЕЛ6.3. ДНОПЦЕУФЧПФПТрПЛБЦФЧЕ(ЧПЪНЕ, ЮФПÏZПТХА),ЦОВВЯЕЪБНЛОХФЩН,УЛ(ЕТЧЩКУЙУФУМЙЕНЩОП СЧПМЙОПНЙСЕФУС НОПЦЕМШОЩИ-

ХТБЧОЕОЙКУФЧПõ k

A

ОЕОЙК1=0УЙУФ0

ХТБЧОУЙУФ ОЙНЩ-

ПМХЮЕООПК

ООП ЙПЧУ£ ДЙОЕОЙЕТ УФТБОУФНОПЦЕУФЧБПХТБЧОЕОЙКЪБДБАФУСЕЫЕОЙК

ХТБСНЙ

= 0 Ó

ФУФЧЦЕ

A

ÚÁÄÁ£ÔÓÑ

{fÅÍÕ,(xÏÊ)= 0}

ÍÎÏ

УФЧБ ТЕЫЕОЙК

ÅÍÙ

{g (x) = 0}

ЮФЕТЧХАПЗЙЕКДЙОЕОЙЕНОБФПМШЛУЙУФБЖЖПМЙОПЙООПКЧУЕИЮФПЙБМШОЩИЧФПТПКЬФЙИТСНПКПУЙУФЕНПМПЗЙС| ОЕОЙКfЧОБЪЩЧБЕФУС(ПДОХx ЪБДБgУЙУФЕТ(x£ УУСЕНХ=ЕЮЕОЙЕФП0УЙУФЕНПК.ПМПЗЙЕКЕЫЕОЙКХТБЧОЕОЙК,НОПЦЙФЕМШъМАВПЗПТЙУУЛПЗПНОПЦТ. ВпФНЕЗБЕФУФЧБ-

пЙН,ЙУБООБСПВЯЕУЙУФ

{

·

}

ÔП ПМ 6.5ЙЪ(УФБОДБТФОБТЙН. 6.3.

1

n

n

рТЙНЕТ

ФПA ПМППЗЙСПМПЗЙСОБъБТЙУУЛ

УПЧ БДБЕФ

ЖЙОЙФОПК

ЛППТДЙОБФОЩИЧЙМШОЩКч"(p)ЛХВdef= ПЕОФТПНЕК: Ч p Й Т£ВТБНЙ ДМЙОЩ 2", ЙДХЭЙНЙ ЧДПМШ УФБОДБТФОЩИR ÒÁ-

уЛБЦЕН, ЮФП {НОПx =ЦЕУФЧПx1; x2;U:: : ; xnn) Rn : |xi − pi| ≤ " i}

(ÇÄÅ " > 0) :

(6-1)

ьФБЧПЛППТДЙОБФОПКUõ МЕЦЙФТБЦОЕОЙЕППМПЗЙСЛОБЪЩЧБЕФУС6.ФПТЩК4. дПЛБЦЙФ"- ХВУФБОДБТФОПКÅ,R÷ÞÔ"ПФЛТЩФП(p) ПМХЮЙÅÎÔ,ÔÏÓÑТПНУМЙПМПЗЙЕКЧЧНЕУФЕp.ÏÇÉÑОБЪЧБОЙС. У ЛБЦДПК ФПЮЛПК p U

n

ÎÅn,ЪБЧЙУЙФЙМЙТПСУОЙФУСФП ПМПЗЙЕКЧЩВПТБÎÉ-

Î6ОПКЕОЙЕ.15 ÓÉÓÔ6УИПДЙНПУФЙ.Ì5ÅÍÙ..6хВЕДЙФЕУШ,.2)ËÏ. ПТДЙОБФ(ЬФЙНПМÞÔ1 Ч УФБОДБТФОБСПЗЙС УМ ДОЕЗПÏÇ

ÖÅõ×БЖЖТБЦÕ ÒÓÌÉ.

R