Ймовірність появи хоча б однієї події

Ймовірність появи події , яка полягає в появі хоча б однієї з подій незалежних в сукупності, дорівнює різниці між одиницею та добутком ймовірностей протилежних подій до :

(*)

27. Прилад складається з трьох елементів, які працюють незалежно один від одного. Ймовірності виходу з ладу першого, другого і третього елементів відповідно рівні 0,1; 0,15; 0,2. Знайти ймовірність того, що прилад вийде з ладу, якщо для цього достатньо, щоб відмовив хоча б один елемент.

Розв’язання. За формулою (*) маємо .

28. Для руйнування мішені достатньо влучення в неї одного снаряду. Знайти ймовірність того, що мішень буде зруйнована, якщо по ній було проведено чотири постріли і ймовірності влучення кожного із снарядів відповідно дорівнюють 0,3; 0,4;0,6; 0,7.

29. Три дослідники, незалежно один від одного, проводять вимірювання деякої фізичної величини. Ймовірність того, перший дослідник допустить помилку при зніманні показів приладу, дорівнює 0,1. Для другого та третього дослідників ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,15 та 0,2. Знайти ймовірність того, що при одному вимірюванні хоча б один дослідник зробить помилку.

30. Ймовірність влучення в мішень кожним з двох стрілків дорівнює 0,4. Стрілки стріляють по черзі, причому кожний повинен виконати по два постріли. Якщо хоча б один з них влучить в ціль, стрілки отримають приз. Знайти ймовірність того, що вони отримають приз.

31. Ймовірність хоча б одного влучення стрілком по цілі при трьох пострілах дорівнює 0,875. Знайти ймовірність влучення при одному пострілі.

Розв’язання.Ймовірність влучення по мішені хоча б при одному з трьох пострілів (подія А ) дорівнює

де q - ймовірність того, що стрілок промахнеться.

За умовою Отже,Звідси.

Шукана ймовірність .

32. Ймовірність хоча б одного влучення в ціль при чотирьох пострілах дорівнює 0,9984. Знайти ймовірність влучення в ціль при одному пострілі.

Формула повної ймовірності

Ймовірність події , яка може відбутися лише при появі однієї з несумісних подій (гіпотез) , які утворюють повну групу, дорівнює сумі добутків ймовірностей кожної із гіпотез на відповідну умовну ймовірність події :

(1)

де

Рівність (1) називають формулою повної ймовірності.

33. В двох ящиках є деталі. Ймовірність того, що деталі в першому ящику стандартні дорівнює 0,85, а в другому - 0,9. Яка ймовірність того, що взята навмання деталь з будь-якого ящика буде стандартною.

Розв’язання. Введемо позначення подій:

взята навмання деталь з будь-якого ящику буде стандартною;

–деталь, взята з першого ящика;

–деталь, взята з другого ящика.

За формулою повної ймовірності маємо:

За умовою беремо одну деталь із одного з дох ящиків, тому. Ймовірність взяти стандартну деталь з першого ящика дорівнює 0,85, з другого - 0,9.

Отже,.

34. В піраміді є п’ять гвинтівок, три з яких мають оптичний приціл. Ймовірність того, що стрілок влучить в ціль при пострілі з гвинтівки з оптичним прицілом дорівнює 0,95; для гвинтівки без оптичного прицілу ця ймовірність дорівнює 0,7. Знайти ймовірність того, що стрілок влучить в ціль із навмання взятої гвинтівки.

35. В ящику є 12 деталей, виготовлених на першому станку; 20 - на другому; 18 - на третьому. Ймовірність того, що деталь, виготовлена на першому станку буде стандартною, дорівнює 0,9, для деталей, виготовлених на другому та третьому станках, ці ймовірності, відповідно, дорівнюють 0,7 та 0,8. Знайти ймовірність того, що взята навмання деталь буде стандартною.

36. В першій урні є 10 куль, з них 8 білих; в другій урні 20 куль, з них 4 білих. З кожної урни навмання взяли по одній кулі, а потім з цих двох куль навмання взяли одну. Знайти ймовірність того, що взята куля виявиться білою.

37. В кожній з трьох урн є по 6 чорних та 4 білих куль. Із першої урни навмання взяли одну кулю і переклали її в другу урну, після чого із другої урни навмання взяли одну кулю і переклали в третю. Знайти ймовірність того, що взята навмання куля з третьої урни виявиться білою.

38. На конвеєр надходять деталі від трьох автоматів. Перший дає 90 %, другий — 93 %, а третій — 95 % придатної продукції. Протягом зміни від першого автомата надходить 60, від другого — 50, від третього — 40 деталей. Знайти ймовірність потрапляння на конвеєр:1) нестандартної деталі; 2)стандартної деталі.

39. На складі зберігаються кінескопи, 70 % яких виготовлено на заводі № 1, а решта — на заводі № 2. Імовірність того, що кінескоп витримає гарантійний строк, дорівнює 0,9 для заводу № 2 і 0,8 для заводу № 1. Знайти ймовірність того, що навмання взятий кінескоп: 1) не витримає гарантійного строку; 2) витримає гарантійний строк.

40. На двох верстатах-автоматах виробляють однакові деталі, які надходять на транспортер. Продуктивність першого верстата утричі більша, ніж другого, причому перший верстат виробляє нестандартну деталь з імовірністю 0,15, а другий — з імовірністю 0,2. Знайти ймовірність того, що навмання взята з транспортера деталь буде стандартною.