
- •Математика и информатика
- •1. Тема: Предел функции. 3
- •1. Тема: Предел функции.
- •Второй замечательный предел. Число e
- •1. Тема: Производная функции.
- •4. Краткие сведения из теоретического курса
- •1. Тема: Дифференциал функции.
- •4. Основные сведения из теоретического курса
- •1. Тема: Производные и дифференциалы высших порядков
- •6. Задание на дом.
- •6.1. Практика:
- •1. Тема: Применение производных к исследованию функций
- •4. Основные сведения из теоретического курса
- •1. Тема: Производные и дифференциалы функции нескольких аргументов. Приложение полного дифференциала функции
- •Частные производные второго порядка
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии.
- •1. Тема: Неопределенный интеграл и его основные свойства. Основные методы интегрирования.
- •Основные понятия
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Метод непосредственного интегрирования
- •Свойство инвариантности неопределенного интеграл
- •Метод замены переменной (подстановки)
- •6. Задание на дом.
- •1. Тема: Определенный интеграл и его основные свойства.
- •Свойства определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •Формула Ньютона-Лейбница
- •Метод замены переменных в определенном интеграле
- •1. Тема: Приложения определенного интеграла.
- •Задача о площади криволинейной трапеции
- •Работа переменной силы
- •Приближенное вычисление определенного интеграла. Формула прямоугольников
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии
- •1. Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка
- •Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии
- •1. Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии
- •1. Тема: Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии
- •6. Задание на дом.
- •1. Тема: Знакомство с персональным компьютером. Основные приемы работы с операционной системой Windows
- •1. Оперативное запоминающее устройство (оперативная память)
- •2. Быстродействие эвм
- •3. Характеристики внешней памяти (внешнее запоминающее устройство - взу)
- •4. Характеристики монитора
- •5. Тип интерфейса и возможности расширения конфигурации технических средств
- •Периферийные устройства
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии
- •1. Тема: Контрольная работа
- •1. Тема: Работа с программой графической обработки данных.
- •4. Краткие сведения из теоретического курса
- •Базовое (системное) и прикладное программное обеспечение
- •6. Задание на дом
- •1. Тема: Работа с текстовым редактором ms Word.
- •4. Краткие сведения из теоретического курса
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии
- •1. Тема: Работа с электронными таблицами. Ms Excel.
- •4. Краткие сведения из теоретического курса
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии
- •1. Тема: Базы данных. Компьютерные сети.
- •4. Краткие сведения из теоретического курса
- •Компьютерные сети
- •Интернет
- •Электронная почта
- •Протокол ftp
- •Www (World Wide Web) – всемирная путина
- •5. Самостоятельная работа студентов на занятии
- •Библиографический список
- •Математика и информатика
- •Часть I
Метод непосредственного интегрирования
Метод непосредственного интегрирования, при котором данный интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции и использовании свойств неопределенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам.
Свойство инвариантности неопределенного интеграл
Таблица интегралов
сохраняет свое значение, если под х
принимать
любую непрерывную дифференцируемую
функцию от независимой переменной.
Если
,
то и
,
где
– произвольная функция, имеющая
непрерывную производную. Таким образом,
путем формальной заменых
на u
можно получить обобщенную таблицу
простейших интегралов:
;
,
гдеu
– любая непрерывная дифференцируемая
функция от независимой переменной.
Выбирая различным образом функцию u,
можно расширить таблицу простейших
интегралов: Например,
, заменяях
на lnx,
получим
.
Метод замены переменной (подстановки)
Этот способ
заключается в переходе от данной
переменной интегрирования к другой
переменной для упрощения подынтегрального
выражения и приведения его к табличному
виду. В интеграле
сделаем
подстановку
,
где функция
имеет непрерывную производную. Тогда:
на
основании независимости неопределенного
интеграла от выбора аргумента (§ 7.4):
– формула замены переменных в
неопределенном интеграле. Иногда
целесообразно подбирать подстановку
в виде
,
тогда
,
где
.
Метод интегрирования по частям
Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение заданного интеграла представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv (это, как правило, можно осуществить несколькими способами); затем, после нахождения v и du, используется формула интегрирования по частям.
Если u=u(x)
и v=v(x)
– дифференцируемые функции, тогда
d(uv)=vdu+udv,
откуда udv=d(uv)-vdu.
Интегрируя последнее выражение,
получаем:– формула интегрирования по частям,
которая применяется в тех случаях, если
интеграл в правой части более прост,
чем исходный. Эта формула дает возможность
свести вычисление интеграла
к вычислению интеграла
,
который может оказаться существенно
более простым, чем исходный.
Решение задач
Найти интегралы
.
.
.
.
.
.
.
5. Самостоятельная работа студентов на занятии.
5.1. Найти интегралы:
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
6. Задание на дом.
6.1. Практика:
6.1.1. Найти интегралы:
.
.
.
.
.
6.1.3. Лобоцкая Н.Л. и др. С. 86 № 22,24,38,37.
22.
.
24.
.
37.
.
38.
.
6.2. Теория.
6.2.1. Лекция по теме «Определенный интеграл и его основные свойства».
6.2.2. Лобоцкая Н. Л. и др. С. 88-97.
6.2.3. Казуб В.Т. , Воронина С.В. и др. Основы математического анализа. С 96-109.
6.2.4. Казуб В.Т., Воронина С.В. Математический анализ. Дифференциальные уравнения. С. 59-64.
1. Тема: Определенный интеграл и его основные свойства.
2. Актуальность темы: понятие определенного интеграла широко используется в математике и других науках для вычисления площадей плоских фигур, работы переменной силы и т.п.
3. Цель занятия: освоить методы вычисления определенного интеграла.
3.1 Целевые задачи:
знать: понятие определенного интеграла, свойства определенного интеграл, формулу Ньютона-Лейбница, определенный интеграл с переменным верхним пределом;
уметь: вычислять определенный интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница; применять методы интегрирования для вычисления определенного интеграла
4. Краткие сведения из теоретического курса.
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Пусть функция
y=f(x)
определена на отрезке [a,
b], a<b.
Выполним следующие действия: разобьем
отрезок [a,
b] точками
а=х0,х1…,хn=b
(х0<х1<…<хn)
на n
частичных отрезков [x0,
x1],
[x1,
x2],…
[xn-1,
xn];
в каждом
частичном отрезке [xi-1,
xi]
возьмем произвольную точку сi
и вычислим f(ci);
умножим f(ci)
на длину соответствующего частичного
отрезка xi=xi–xi-1:
f(ci)xi
и составим
сумму всех таких произведений. Сумма
всех таких произведений
называется интегральной суммой функцииy=f(x) на
отрезке [a,
b]. Найдем
предел интегральной суммы, когда n
∞ или
maxxi0.
Если при этом
интегральная сумма имеет предел I,
который не зависит от способа разбиения
отрезка на частичные отрезки, ни от
выбора в них, то число I
называют определенным интегралом и
обозначается
.
Таким образом,
.
Числа а и b называются, соответственно, нижним и верхним пределами интегрирования, f(x) – подынтегральной функцией, х – подынтегральной функцией, отрезок [a, b] – областью (отрезком) интегрирования.
Функция у=
f(x), для
которой на отрезке [a,
b] существует
определенный интеграл
,
называется интегрируемой на этом
отрезке.