1. Тема: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

2. Актуальность темы: дифференциальные уравнения используются при изучении различных явлений и процессов в ряде естественнонаучных задач.

3. Цель занятия: ознакомить студентов с решением дифференциальных уравнений первого порядка.

3.1 Целевые задачи:

знать: определения дифференциального уравнения, дифференциальных уравнений первого порядка с разделяющимися переменными и однородных дифференциальных уравнений первого порядка;

уметь: находить неопределенные интегралы, решать дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными и однородные.

4. Краткие сведения из теоретического курса

Дифференциальным называется уравнение, связывающие аргумент х, искомую функцию y=f(x) и ее производные ,… f ⁽ⁿ⁾(x) или дифференциалы df, d²f,….

Если искомая функция y=f(x) есть функция одного аргумента, то дифференциальное уравнение называют обыкновенным.

Обыкновенное дифференциальное уравнение можно записать в виде

F(x, f(x), f'(x), f ''(x),…, f ⁽ⁿ⁾(x))=0.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок наивысшей производной или дифференциала, входящих в состав уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения порядка k называется функция: y=f(x, C₁, C₂, …, С_k) от х с произвольными постоянными C₁, C₂, …, С_k, обращающая уравнение в тождество.

При любом наборе постоянных получаются частные решения. На практике частное решение получают из общего с учетом начальных условий. Задание таких условий можно записать: .

Задача нахождения частного решения, удовлетворяющего начальным условиям, называется задачей Коши.

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение вида: называется уравнением с разделяющимися переменными.

Оно может быть приведено к уравнению с разделенными переменными путем деления обеих его частей на :

. Интегрируя, получим общее решение:

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида называется однородными уравнениями первого порядка, если функцияможет быть представлена как функция отношения своих аргументов:.

Тогда можно записать .

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными подстановкой , гдеu – новая неизвестная функция. Выразим и, произведя замену, получим уравнение с разделяющимися переменными.