1. Тема: Производные и дифференциалы высших порядков

2. Актуальность темы: производные и дифференциалы высших порядков имеют широкое применение при решении многих прикладных задач физики и химии.

3. Цель занятия: пыработать навыки нахождения производных и дифференциалов высших порядков функции одной переменной.

3.1. Целевые задачи:

знать: понятие о производных и дифференциалах функции, физический смысл производной второго порядка.

уметь: находить производные и дифференциалы функций одной переменной, решать прикладные задачи.

4. Краткие сведения из теоретического курса.

Производнаяфункцииесть также функция отх и называется производной первого порядка.

Если функция дифференцируема, то ее производная называетсяпроизводной второго порядка и обозначается или. Итак,.

Производной n –го порядка или n-ой производной называется производная от производной (n-1) порядка: .Производные порядка выше первого называются производными высших порядков.

_{Механический смысл производной второго порядка}

Пусть материальная точка М движется прямолинейно по закону S = f(t). Как уже известно, производная S_t’ равна скорости точки в данный момент времени: S_t’= V.

Пусть в момент времени t скорость точки равна V, а в момент t +t – скорость равна V + V, т. е. за промежуток времени t скорость изменилась на величину V.

Отношение выражает среднее ускорение движения точки за времяt. Предел этого отношения при t 0 называется ускорением точки М в данный момент t и обозначается буквой а: Итак, вторая производная от пути по времени есть величина ускорения прямолинейного движения точки, т. е. .

Дифференциалы высших порядков

Пусть y=f(x) дифференцируемая функция, а ее аргумент х – независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал есть также функциях, можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается :.

Дифференциал второго порядка от данной функции равен произведению второго порядка этой функции на квадрат дифференциала независимой переменной: .

Решение задач

Найти вторые производные следующих функций:

1. .

2. .

3. .

4. .

Найти второй дифференциал функций:

5. .

6. .

7. Закон движения точки имеет вид . Определить закон скорость и ускорение этой точки.

5. Самостоятельная работа студентов на занятии.

5.1.Найти производные второго порядка и записать дифференциалы второго порядка для следующих функции:

1. .

2. .

3. .

6. Задание на дом.

6.1. Практика:

6.1.1. Найти производные второго порядка функции:

1. .

2. .

6.1.2. Найти дифференциалы второго порядка

3. .

4. 

6.1.3. Лобоцкая Н. Л. и др. С. 56, 57 №№ 67-69, 72, 73, 95-102.

Найти производную второго порядка

67.

68.

69.

72. Уравнение движения точки имеет вид (м). Найти 1) положение точки в моменты временис ис; 2) среднюю скорость за время, прошедшее между этими моментами времени; 3) мгновенные скорости в указанные моменты времени; 4) среднее ускорение за указанный промежуток времени; 5) мгновенные ускорения в указанные моменты времени.

73. Точка движется прямолинейно по закону . Вычислить скорость и ускорение в моменты времении.

Найти дифференциал функции

95.

96.

97.

98.

99.

100.

101.

6.2. Теория.

6.2.1. Лекция по теме «Приложение производных. Исследование функций».

6.2.2. Лобоцкая Н. Л. и др. С. 58-67.

6.2.3 Казуб В.Т. , Воронина С.В. и др. Основы математического анализа. Учебно-методическое пособие для студентов I курса специальности «Фармация»// Пятигорск: Пятиг. гос.-фармац. акад., 2006. С 57-58.

6.2.4. Казуб В.Т., Воронина С.В. Математический анализ. Дифференциальные уравнения: учебно-методическое пособие для студентов I курса специальности «Фармация» »// Пятигорск: Пятиг. гос.-фармац. акад., 2006. С. 32-36