1. Тема: Производная функции.

2. Актуальность темы: Понятие производной является одним из основных математических понятий. Производная широко используется при изучении скорости разных процессов

3. Цель занятия: Выработать навыки нахождения производных функций одной переменной, производных сложных функций.

3.1 Целевые задачи:

знать: понятия приращения аргумента и функции, понятие производной функции, ее геометрический и механический смысл, производную сложной функции, основные правила дифференцирования и таблицу производных;

уметь: применять основные правила дифференцирования и таблицу производных при решении примеров, находить производные сложных функций.

4. Краткие сведения из теоретического курса

Пусть функция y=f(x) определена на некотором интервале. Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента Δх= х - х₀. Разность между двумя значениями функции называется приращением функции: Δy= Δf = f(x₀-x)-f(x₀)

Задача о скорости движения точки.

Пусть материальная точка М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние, которое зависит от истекшего времени t, т.е. S=S(t). Это равенство называют законом движения точки. Найдем скорость движения точки. Если в некоторый момент времени t путь равен S, то в момент времени t + Δt (Δt – приращение времени) S+S, за промежуток времени t путь изменился на величину ΔS. Предел средней скорости движения при стремлении к нулю промежутка времени Δt называется скоростью движения точки в данный момент времени (или мгновенной скоростью). Обозначив эту скорость через V, получим .

Задача о касательной к кривой

Рассмотрим график непрерывной кривой у = f(x), имеющий в точке М(х;у) невертикальную касательную (рис. 2.1). Найдем ее угловой коэффициент k = tgα, где α – угол касательной с осью Ох. Для этого проведем через точку М и точку М₁ графика с абсциссой x+Δx секущую. Обозначим через у – угол между секущей MM₁ и осью Ох. Угловой коэффициент секущей равен .

Рис. 2.1.

При Δx→0 Δу тоже стремиться к нулю, поэтому точка М₁ неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ₁, поворачиваясь около точки М, переходит в касательную. Угол φ→α, т. е. . Поэтому угловой коэффициент касательной равен

Определение. Если функция f (x) определенная на промежутке (a; b), то производной функции f(x) в точке называется предел отношения приращения функциик приращению независимого переменногоприDx, стремящемся к нулю .

Производная сложной функции

Теорема (о производной сложной функции): Если функция имеет производнуюв точкех, а функция – производнуюв соответствующей точкеи, то сложная функция в данной точкеx имеет производную , которая находится по формуле .