1. Тема: Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и их решение

2. Актуальность темы: дифференциальные уравнения используются при изучении различных явлений и процессов в ряде естественнонаучных задач.

3. Цель занятия: ознакомить студентов с решением дифференциальных уравнений второго порядка.

3.1 Целевые задачи:

знать: определения дифференциального уравнения, линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами и методы их решения;

уметь: решать линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Краткие сведения из теоретического курса

Уравнение вида , гдеp и q – постоянные коэффициенты называется линейным однородным дифференциальным уравнение второго порядка

Решение ищут в виде y=e^kx, где k – некоторое число. Подставим y=e^kx в исходное уравнение. Так как , то

.

Уравнение вида k²+pk+q=0 называется характеристическим уравнением исходного уравнения для линейного однородного дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Решение характеристического уравнения будем искать по формуле .

При этом,

Если , то корни характеристического уравненияk₁ и k₂ – действительные числа и общее решение дифференциального уравнения имеет вид: , гдеС₁ и С₂ – некоторые числа.

Если , то характеристическое уравнение имеет один корень (кратности 2)k₁=k₂=k= и решение дифференциального уравнения имеет вид:, где С₁ и С₂ – некоторые числа.

Если , то корниk₁ и k₂ – комплексные числа (k_1,2=  i), где . Решение дифференциального уравнения имеет вид:, гдеС₁ и С₂ – некоторые числа.

Решение задач

Найти общее решение уравнений:

1..

2. .

3. .

Найти общее и частное решения уравнения:

4. .

5. Самостоятельная работа студентов на занятии

5.1. Найти общее решение уравнения:

1..

2. .

3. .

4. .

5.2. Решить задачу Коши:

1., еслиипри;

2. , если.

6. Задание на дом.

6.1. Практика:

6.1.1. Решить уравнения:

1. , если.

2. , если.

6.1.3. Лобоцкая Н.Л. и др. С. 115 № 43, 44, 47, 48, 51, 52.

43. .

44. .

47. , если.

48. , если.

Проверить будут ли указанные функции решением уравнения

51. ,.

52. ,.

6.2. Теория.

6.2.1. Лекция по теме «Составление и решение дифференциальных уравнений».

6.2.2. Лобоцкая Н. Л. и др. С. 116-1129.

1. Тема: Применение дифференциальных уравнений для решения прикладных задач

2. Актуальность темы: дифференциальные уравнения средство математического моделирования, часто применяемое при изучении различных процессов и явлений.

3. Цель занятия: закрепить понятия и методы решения дифференциальных уравнений.

3.1 Целевые задачи:

знать: определение дифференциального уравнения, понятие общего и частного решения дифференциального уравнения, общий вид дифференциальных уравнений;

уметь: решать дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными, однородные дифференциальные уравнения первого порядка, линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

4. Краткие сведения из теоретического курса

Дифференциальные уравнения занимают важное место в решении задач физико-химического, фармацевтического и медико-биологического содержания. Пользуясь дифференциальными уравнениями, можем установить связь между переменными величинами, характеризующими процессы и явления.

К дифференциальным уравнениям первого порядка приводят различные физические задачи. Основную трудность при их решении представляет составление дифференциальных уравнений.

Закон радиоактивного распада. Экспериментальным путем установлено, что скорость распада радиоактивного вещества, т. е. скорость изменения его массы в зависимости от времени, прямо пропорциональна его количеству. Установим закон изменения массы т радиоактивного вещества в зависимости от времени t, считая, что начальная масса вещества при t=0 была т₀.

Коэффициент пропорциональности , являющийся характерной для данного вещества постоянной, не зависящей от времени, носит название постоянной распада. Математическое выражение закона радиоактивно распада имеет следующий вид:

где m=m(t) – количество нераспавшегося к моменту времени t вещества. Знак минус взят по­тому, что масса вещества убывает с течением времени, а производная убывающей функции отрицательна. Получено дифференциальное уравнение первого порядка, из которого надо найти зависимость массы т от времени t.

Уравнение позволяет разделить переменные: Проинтегрируем данное равенство почленно

Тогда (константу записали под знаком логарифма для удобства дальнейшего преобразования выражения). Откуда , где С – произвольная постоянная, которая может быть определена из дополнительного условия, например из начального условия , задающего количество исходного вещества в начальный момент t₀ .

.

Частное решение соответствующей начальной задачи имеет вид . Принимая t₀=0, получим

Одной из важнейших характеристик процесса радиоактивно распада является период полураспада – промежуток времени Т, за который количество распадающегося вещества уменьшится вдвое. Для периода полураспада полученное уравнение будет выглядеть так:

, откуда .

Необходимо подчеркнуть, что полученное уравнение является математической моделью не только процесса радиоактивного распада, но и многих других процессов деления или размножения, характеризуемых тем, что скорость деления (размножения) пропорциональна количеству вещества в данный момент времени, причём коэффициент пропорциональности есть некоторая постоянная, характеризующая рассматриваемый процесс.

Решение задач

1. Скорость образования некоторого продукта в технологическом процессе прямопропорциональна массе еще не прореагировавшего вещества. Найти зависимость массы вещества от времени, если коэффициент пропорциональности к=0,1 и исходная масса реагирующего вещества 100 кг.

2. В химической реакции типа А+В→D участвуют вещества А и В с одинаковыми концентрациями по 10 мг/мл (С_А =С_В= 10 мг/мл). Скорость реакции прямопропорциональна концентрации этих веществ, еще не вступивших в реакцию к некоторому моменту времени t с константой 0,3. Найти зависимость концентрации

3. Написать уравнение кривой, проходящей через точку (1; 3), зная, что угловой коэффициент касательной в любой ее точке равен квадрату абсциссы точки касания.

4. Ускорение движущейся материальной точки описывается функцией:

, где t– время, с. Найти закон изменения скорости, если при.

4.3. Найти закон движения материальной точки, зная, что ускорение движения точки прямопропорционально пройденному расстоянию (коэффициент пропорциональности k=0,25). В начальный момент времени скорость была равна 5.