1. Тема: Применение производных к исследованию функций

2. Актуальность темы: Данный раздел математики имеет широкое применение в естественных дисциплинах при построении и анализе различных зависимостей, а также при решении оптимизационных задач.

3. Цель занятия: Выработать навыки исследования функциональных зависимостей и построения графиков функций на основании проведенных исследований.

3.1 Целевые задачи:

знать: необходимое и достаточное условия возрастания (убывания) функции на интервале; необходимое и достаточное условия существования экстремума дифференцируемой функции, схему исследования функции; правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

уметь: исследовать функцию с помощью производной первого порядка, строить график функции на основании проведенного исследовании, применять производные при решении задач оптимизации.

4. Основные сведения из теоретического курса

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале (a; b), если для любых двух точек x₁и x₂ из указанного интервала, удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство( ).

Необходимое условие возрастания (убывания): Если дифференцируемая функция на интервале (a, b) возрастает (убывает), то производная этой функции неотрицательна (неположительна) в этом интервале f’(x)0 (f’(x)≤0).

Достаточное условие возрастания (убывания): Если производная дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого интервала, то функция возрастает (убывает) на этом интервале.

Функция f(x) в точке х₁ имеет максимум, если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x₁)>f(x), при xx₁.

Функция f(x) в точке х₁ имеет минимум, если для любого х из некоторой окрестности точки выполняется неравенство: f(x₁)<f(x), при xx₁.

Экстремум функции называют локальным экстремумом, так как понятие экстремума связано лишь с достаточно малой окрестностью точки х₁. Так что на одном промежутке функция может иметь несколько экстремумов, причем может случиться, что минимум в одной точке больше максимума в другой. Наличие максимума или минимума в отдельной точке интервала не означает, что в этой точке функция f(x) принимает наибольшее или наименьшее значение на этом интервале.

Необходимое условие экстремума: В точке экстремума дифференцируемой функции ее производная равна нулю.

Достаточное условие экстремума: Если производная дифференцируемой функция в некоторой точке х₀ равна нулю и меняет свой знак при переходе через это значение, то число f(х₀) является экстремумом функции, причем если изменение знака происходит с плюса на минус, то максимум, если с минуса на плюс, то минимум.

Точки, в которых производная непрерывной функции равна нулю или не существует называются критическими.

Углы наклона касательных к кривой у=f(x) меняются с острых на тупые при переходе через точку максимума и с тупых на острые при переходе через точку минимума.

Исследовать функцию на экстремум означает найти все ее экстремумы. Правило исследования функции на экстремум:

Найти критические точки функции у = f(x) и выбрать из них лишь те, которые являются внутренними точками области определения функции;
Исследовать знак производной f'(x) слева и справа от каждой из выбранных критических точек;
В соответствии с достаточным условие экстремума выписать точки экстремума (если они есть) и вычислить значения функции в них.

Для того чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке необходимо выполнить несколько этапов:

Найти критические токи функции, решив уравнение f’(x)=0.
Если критические точки попали на отрезок, то необходимо найти значения в критических точках и на границах интервала. Если критические точки не попали на отрезок (или их не существует), то находят значения функции только на границах отрезка.
Из полученных значений функции выбирают наибольшее и наименьшее и записывают ответ, например, в виде: .