Свойства определенного интеграла

1. Определенный интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования:

2. Определенный интеграл с одинаковыми пределами равен нулю:.

3. .

4. при .

5. Если с – постоянное число и функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то , т. е. постоянный множитель с можно вынести за знак определенного интеграла.

6. Если функции f₁(x) и f₂(x) интегрируемы на [a, b], тогда

, т. е. интеграл от суммы равен сумме интегралов.

7. Свойство аддитивности. Если f(x) интегрируема на отрезке [a, b] и a<c<b, то ,т. е. интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка.

8. Если на отрезке [а, b], где а<b, f(x) ≤ g(x), mo u , т.е. обе части неравенства можно почленно интегрировать.

9. Пусть на отрезке [а, b], где a<b, т≤ f(x)≤M, где т и М – некоторые числа. Тогда .

10. (Теорема о среднем). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [а, b], (где а < b), то найдется такое значение c[a, b], что

или .

Геометрический смысл определенного интеграла

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y=f(x)0. Фигура ограниченная сверху графиком функции, снизу – осью Ох, сбоку – прямыми х=а, х=b, называется криволинейной трапецией.

Рассмотрим функцию y=f(x), которая определена на отрезке [a, b]. Разобьем отрезок [a, b] точками а=х₀,х₁…,х_n=b (х₀<х₁<…<х_n) на n частичных отрезков, в каждом из которых возьмем произвольную точку с_i. Умножим f(c_i) на длину соответствующего частичного отрезка x_i. Сумма всех таких произведений равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади криволинейной трапеции. За точное значение площади криволинейной трапеции принимают предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры S_n, когда n стремится к :

.

Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на [a,b] (F’(x)=f(x)), то имеет место формула: .Данное равенство называется формулой Ньютона-Лейбница.

Понятие определенного интеграла с переменным верхним пределом

Если функция y=f(x) интегрируема на отрезке [а, b], то, очевидно, она интегрируема также на произвольном отрезке [а, х], вложенном в [а, b]. По определению , где х[а, b], а функция Ф(х) называется интегралом с переменным верхним пределом.

Метод замены переменных в определенном интеграле

Пусть для вычисления интеграла от непрерывной функции сделана подстановка. Если функция и ее производнаянепрерывны;()=а, ()=b, то . При вычислении определенного интеграла методом замены переменных возвращаться к исходной переменной не требуется, так как определенный интеграл есть некоторое постоянное число. Достаточно лишь найти пределы интегрированияα и β по новой переменной t как решение относительно переменной t уравнений и.

Метод интегрирования по частям в определенном интеграле

Если u=u(x) и v=v(x) имеют непрерывные производные на отрезке [a,b], то имеет место формула: . Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.

Решение задач

Вычислить определенные интегралы:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

5. Самостоятельная работа студентов на занятии.

5.1. Найти интегралы:

1. .

2. .

3. 

4. e^x cosxdx.

5. 

6. dx.

7. 

6. Задание на дом.

6.1. Практика:

6.1.1. Вычислить определенные интегралы:

1. x³ ln xdx. 3.

2. dx. 4. .

6.1.2. Лобоцкая Н.Л. и др. С. 104 № 2, .6, 19, 20

2. .

6. .

19. .

20. .

6.2. Теория.

6.2.1. Лекция по теме «Приложение определенного интеграла».

6.2.2. Лобоцкая Н. Л. и др. С. 99-104.

6.2.3. Казуб В.Т. , Воронина С.В. и др. Основы математического анализа. С 122-130.

6.2.4. Казуб В.Т., Воронина С.В. Математический анализ. Дифференциальные уравнения. С. 70-73.